Estimadores ou Observadores de Estado

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1 Estimadores ou Observadores de Estado 1. Estimadores ou Observadores de Estado: sistemas SISO 1. Extensões para Sistemas a Tempo Discreto pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

2 Estimadores ou Observadores de Estado: sistemas SISO Veja, a realimentação pressupõe que todas as variáveis de estado compondo o vetor de estado x estão disponíveis, ie, são mensuráveis u = r kx Alguns estados podem não ser/estar acessíveis Limitação quanto ao número de medidores E aí? Como realimentar? pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

3 Estimadores ou Observadores de Estado Estimador de Estado Malha Aberta Dados: A, b, c, u, y. Reconstruir x? ẋ = Ax + bu ; y = cx ˆx = Aˆx + bu u b + ẋ Z x c y + A b + ˆx Z ˆx + A Estimador pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

4 Estimadores ou Observadores de Estado Se ˆx(0) = x(0), então ˆx(t) = x(t), t 0 (A, c) observável x(0) pode ser determinado através de u e y Desvantagens/Dificuldades cômputo de x(0) e se A for instável? Note, a saída y(t) não está sendo usada. Ie, não há informação adicional sobre o comportamento do sistema original. Reavaliar... Pode-se incluir uma comparação entre a saída do sistema original dada por cx(t) com a saída do sistema que se propõe a estimar: cˆx(t). Ponderada por um ganho constante l a ser ajustado pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

5 Estimadores ou Observadores de Estado u b + ẋ Z x c y + A l + ŷ b + ˆx Z ˆx c ˆx + A pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

6 Estimadores ou Observadores de Estado Estimador assintótico ou em malha fechada ˆx = Aˆx + bu + l (y cˆx) }{{} inovação = (A lc)ˆx + bu + ly, l R n 1 Definindo-se o erro de estimativa e(t) x(t) ˆx(t) ė = Ax+bu (A lc)ˆx bu l(cx) = (A lc)(x ˆx) = (A lc)e Boa nova: Se os autovalores de (A lc) puderem ser arbitrariamente alocados, atua-se na forma como o erro e(t) tende a zero!! pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

7 Estimadores ou Observadores de Estado Se o estado estimado ˆx(t) vai ser usado para a realimentação, os autovalores do estimador devem ser mais rápidos do que os autovalores em malha fechada do sistema controlado (isto é, parte real mais negativa), no contexto que a dinâmica do sistema seja dominada pelos autovalores do projeto de controle Teorema Os autovalores de (A lc) podem ser alocados arbitrariamente através da escolha de um ganho l se e somente se o par (A, c) for observável Demonstração Por dualidade, se (A, c ) é controlável, então os autovalores de (A c k) podem ser alocados arbitrariamente. Basta fazer l = k... pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

8 Observadores de Estado via Lyapunov Projeto de estimador de ordem n para o sistema ẋ = Ax + bu y = cx via equação de Lyapunov (procedimento dual à alocação de pólos) 1. Escolha uma matriz F R n n estável com os autovalores desejados (diferente de A) 2. Escolha l arbitrário tal que (F, l) seja controlável 3. Obtenha a solução única T da equação de Lyapunov TA FT = lc = condições duais para que T seja não singular pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

9 Observadores de Estado via Lyapunov 4. As equações geram um estimador para x ż = Fz + Tbu + ly ˆx = T 1 z Definindo-se e z Tx, então ė = ż Tẋ = Fz + Tbu + lcx TAx Tbu e, como TA = FT + lc, tem-se ė = Fz + lcx (FT + lc)x = F(z Tx) = Fe Se F é estável, e(t) 0 quando t, e z Tx, e portanto T 1 z é um estimador para x pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

10 Estimador de estado de ordem reduzida ẋ = Ax + bu y = cx Se o sistema é observável, pode ser colocado na forma canônica observável. Por exemplo, para n = 4: α β 1 α β 2 ẋ = x + u α β 3 α β 4 [ ] y = x Note que y(t) = x 1 (t) (primeira variável de estado), e portanto pode-se construir um estimador de estado apenas para as demais variáveis x i, i = 2, 3,..., n pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

11 Estimador de estado de ordem reduzida Método por equação de Lyapunov 1. Escolha F R (n 1) (n 1) estável com autovalores distintos de A 2. Escolha l arbitrário tal que (F, l) seja controlável 3. Obtenha a solução única T R (n 1) n da equação de Lyapunov TA FT = lc 4. A equação de estado (n 1)-dimensional estima x ż = Fz + Tbu + ly ˆx = c T 1 y z pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

12 Estimador de estado de ordem reduzida Note que a equação 1 ˆx = c T y z pode ser escrita da forma y z = c T ˆx e portanto y = cˆx e z = T ˆx. Então, y é um estimador para cx e z para Tx, pois e = z Tx e ė = ż Tẋ = Fz + Tbu + lcx TAx Tbu = Fe e, novamente, se F é estável, então e(t) 0 quando t pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

13 Estimador de estado de ordem reduzida Teorema Se A e F não têm autovalores em comum, então a matriz quadrada P c T com T solução única de TA FT = lc é não singular se e somente se (A, c) for observável e (F, l) for controlável pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

14 Estimador de estado de ordem reduzida Demonstração Segue passos similares aos da demonstração para a realimentação de estados. Considere n = 4 e (s) = det(si A) = s 4 + α 1 s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 Pode-se mostrar que (dual a (8.22), Chen, pg. 252) α 3 α 2 α 1 1 c [ ] (F)T = l Fl F 2 l F 3 α 2 α ca l }{{} α ca 2 C ca 3 }{{}}{{} Λ O e (F) é não-singular se A e F não tiverem autovalores em comum. Note que F é 3 3 (ordem reduzida) e A é 4 4 pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

15 Estimador de estado de ordem reduzida A matriz Λ é sempre não singular, O é a matriz de observabilidade de (A, c) e C 4 é a matriz de controlabilidade de (F, l) acrescida da coluna F 3 l. Então, T = 1 (F)C 4 ΛO e a matriz P pode ser escrita da forma: P = c c = T 1 (F)C 4 ΛO = (F) c C 4 ΛO Note que n = 4, P, O e Λ são 4 4; T e C 4 são 3 4 e (F) é 3 3 Se (F, l) não é controlável, C 4 tem posto no máximo igual a 2, T tem posto no máximo igual a 2 e P é singular. Se (A, c) não é observável, existe r R 4 1 tal que Or = 0, o que implica cr = 0 e Pr = 0, e portanto P é singular. Isto conclui a necessidade pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

16 Estimador de estado de ordem reduzida Para mostrar a suficiência, por contradição, supõe-se P singular. Nesse caso, existe r 0 tal que Pr = 0, e c cr r = = 0 C 4 ΛO C 4 ΛOr [ Definindo a ΛOr = a 1 a 2 a 3 a 4 ] [ ], a 1 a 2 a 3 a 4 = ā a 4 isto é α 3 α 2 α 1 1 α 2 α = α c ca ca 2 ca 3 r Portanto, a 4 = cr e, da equação anterior, cr = 0. Substituindo a 4 = 0 em C 4 ΛOr tem-se... pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

17 Estimador de estado de ordem reduzida a 4 = 0 C 4 ΛOr obtém-se (lembrando a ΛOr = [ ā a 4 ] ) C 4 ΛOr = C 4 a = Cā = 0 sendo C a matriz de controlabilidade de (F, l) e, se o par (F, l) é controlável, Cā = 0 implica ā = 0 e portanto a = 0 Considere agora ΛOr = a = 0. A matriz Λ é sempre não singular. Se (A, c) é observável, O é não singular e ΛOr = 0 implica r = 0, o que contradiz a hipótese inicial Assim, se (A, c) é observável e (F, l) é controlável, P é não singular pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

18 Realimentação a partir de Estados Estimados ẋ y = Ax + bu = cx Se (A, b) é controlável, a realimentação de estados u = r kx pode alocar os autovalores de (A bk) de forma arbitrária Estados não disponíveis: observador de estados Veja se (A, c) é observável, então um observador de estados de ordem completa ou reduzida pode ser projetado com autovalores posicionados de forma arbitrária pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

19 Realimentação a partir de Estados Estimados Estimador de ordem n (completa) ˆx = (A lc)ˆx + bu + ly A escolha de l (ou melhor, dos autovalores de (A lc)) determina a taxa com que o estado estimado ˆx aproxima-se do estado do sistema Realimentando os estados estimados: u = r kˆx Os autovalores de (A bk) e de (A lc) se alteram devido a combinação? O estimador altera a FT de r para y? pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

20 Realimentação a partir de Estados Estimados Combinando as equações usando u = r kˆx ẋ ˆx = Ax bkˆx + br = (A lc)ˆx + b(r kˆx) + lcx tem-se o sistema aumentado de dimensão 2n ẋ = A bk ˆx lc A lc bk [ ] y = c 0 x ˆx xˆx + b b r pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

21 Realimentação a partir de Estados Estimados r + u ẋ = Ax + bu y y = cx Estimador k ˆx pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

22 Realimentação a partir de Estados Estimados Transformação de equivalência x e = x x ˆx = I 0 I I xˆx P I 0 I I ; P 1 = P pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

23 Realimentação a partir de Estados Estimados [ ] : Sistema equivalente para realimentação e erro de estimação, ẋ ė I 0 A I I lc } {{ } P bk A lc bk [ I 0 I I } {{ } P 1 I 0 b = I I b } {{ } P ] c 0 I 0 = I I } {{ } P 1 b 0 [ = c 0 A bk ] bk 0 A lc pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

24 Realimentação a partir de Estados Estimados Sistema equivalente para realimentação e erro de estimação: ẋ = A bk bk x + ė 0 A lc e [ ] y = c 0 x e b 0 r Autovalores da matriz dinâmica são a união dos autovalores de (A bk) e (A lc); portanto o estimador não altera os autovalores nem tem seus autovalores modificados pela conexão é denominado Princípio da Separação pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

25 Realimentação a partir de Estados Estimados Note que o sistema aumentado é não controlável (forma canônica), e que a FT do sistema é igual à da equação ẋ = (A bk)x + br com y = cx, ie, dada por G f (s) = c(si A + bk) 1 b = não aparece o estimador! De fato, no cômputo de funções de transferência, as condições iniciais são assumidas nulas: x(0) = ˆx(0) = 0, então x(t) = ˆx(t) t FT de r para y não é afetada pela presença ou não do estimador... pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

26 Sistemas a Tempo Discreto? Os procedimentos de alocação de pólos são os mesmos tanto para realimentação quanto para o observador, lembrando apenas que o contexto de estabilidade é o ponto que os difere Plano-s Plano-z pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

27 Controle Baseado no Observador Faça δ[x(t)] representar ẋ(t) ou x(k + 1)... Regulador: Lei de Controle + Observador δ[ˆx(t)] = (A Bk l C) }{{} A C u(t) = }{{} k ˆx(t) C C ˆx(t) + l }{{} B C y(t) com ζ representado s ou z... FT: = U(ζ) Y (ζ) = C C (ζi A C ) 1 B C pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

28 Controle Baseado no Observador Exemplo Considere o modelo simplificado de um satélite da forma G(s) = 1/s 2, ie, ÿ(t) = u(t), definindo-se x 1 = y; x 2 = ẏ com ẋ 1 = x 2 e ẋ 2 = ÿ = u então ẋ(t) = y(t) = 0 1 x(t) }{{} A [ ] 1 0 x(t) }{{} C 0 u(t) 1 }{{} B pag.28 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

29 Controle Baseado no Observador Se alocar os pólos do controlador em obtém-se K = s 1,2 = ± j0.707 [ ] (ξ = 0.707, ω n = 1rad/s) Se os pólos do estimador são alocados em ω n = 5rad/s e ξ = 0.5, obtém-se L p = 5 25 FT do controlador baseado no observador: 40.4(s ) D(s) = (s j4.77)(s j4.77) pag.29 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

30 Controle Integral Sistemas Discretos Modelo considerado: x(k + 1)] = Ax(k) + Bu(k) + Bw(k) y(k) = Cx(k) Resultado esperado? 1. y(t) r(t) 1, t > t 0 2. rejeitar w = sinal constante, porém de magnitude desconhecida O que fazer? Integrar o erro... De forma análoga ao caso contínuo (vide aula 18) e(k) = y(t) r(t), e portanto e(k) = x I (k + 1) x I (k) = Cx(k) r(k) pag.30 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

31 Controle Integral Definindo-se: η(k) = [ ] T x I (k) x(k) Obtém-se o modelo aumentado: η(k + 1) = 1 C η(k) + 0 A 0 u(k) + B 0 w(k) B 1 r(k) 0 y(k) = [ ] C 0 η(k) Controle ou Observador? pag.31 Teoria de Sistemas Lineares Aula 19

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