VI. MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE VI. MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES Prof. Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Abril/2017 São José dos Campos

2 MPS-43: Sistemas de Controle 2 Sumário VI. MÉTODO DO LGR VI.1. Definição VI.2. Aplicações em Sistemas de Controle VI.3. Condições de Módulo e Fase VI.4. Propriedades dos LGRs VI.5. Esboço de LGRs VI.6. Ajuste de Ganho de Controladores Usando o LGR

3 MPS-43: Sistemas de Controle 3 VI.1. Definição Considere a seguinte equação algébrica na variável s C: F s = 1 + K Q s P s = 0, (1) onde K R é um parâmetro arbitrário e Q s = s m + b m 1 s m b 1 s + b 0, P s = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, em que a i R, i = 0, 1,, n 1 e b j R, j = 0, 1,, m 1 são constantes conhecidas; n > m.

4 MPS-43: Sistemas de Controle 4 VI.1. Definição Definição: O Lugar Geométrico das Raízes (LGR) referente à equação (1) consiste no gráfico, no plano s, das raízes de (1) para todos os valores do parâmetro arbitrário K,. F s = 1 + K Q s P s = 0, (1) grau n

5 MPS-43: Sistemas de Controle 5 VI.1. Definição Comentários: 1. Neste curso, o LGR será aplicado na localização dos polos de malha fechada de sistemas de controle em função de um parâmetro da planta ou do controlador. 2. Considera-se K Embora seja possível a construção de LGRs considerando a variação de múltiplos parâmetros (contorno das raízes), isso será evitado neste curso, pois a complexidade adicionada inviabiliza o uso do método em questão.

6 MPS-43: Sistemas de Controle 6 VI.2. Aplicações em Sistemas de Controle Seja o sistema de controle modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Controlador K p C(s) Sensor Planta G(s) s + a Y(s) H(s) A equação característica desse sistema é 1 + K p s + a C s G s H s = 0, (2) onde C s, G s e H s são funções racionais em s e K p R e a R são parâmetros da malha.

7 MPS-43: Sistemas de Controle 7 VI.2. Aplicações em Sistemas de Controle Aplicação 1: Considerando o ganho K = K p ajustável, a equação característica (2) fica com a forma da equação (1), fazendo-se Q s P s C s G s H s = s + a. Logo, conclui-se que, em sistemas de controle, O LGR pode ser usado para estudar a influência de um ganho K p de malha aberta sobre a localização dos polos de malha fechada do sistema.

8 MPS-43: Sistemas de Controle 8 VI.2. Aplicações em Sistemas de Controle Aplicação 2: Manipulando a equação característica (2), obtém-se s + a + K p C s G s H s s + a que, para s a, equivale a = 0, ou ainda s + a + K p C s G s H s = 0, 1 + a s + K p C s G s H s = 0. (3)

9 MPS-43: Sistemas de Controle 9 VI.2. Aplicações em Sistemas de Controle Considerando o módulo da posição do polo de MA K = a ajustável, a equação característica (3) fica com a forma da equação (1), fazendo-se Q s P s = 1 s + K p C s G s H s. Logo, conclui-se que, em sistemas de controle, O LGR pode ser usado para estudar a influência da posição a de um polo de malha aberta sobre a localização dos polos de malha fechada do sistema.

10 MPS-43: Sistemas de Controle 10 VI.3. Condições de Módulo e Fase De agora em diante, será considerado como parâmetro dos LGRs somente um ganho de malha K 0, que pode indistintamente ser um ganho do controlador ou da planta. Seja o sistema modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + KC(s) G(s) Y(s) H(s) A equação característica desse sistema é 1 + KC s G s H s = 0,... Figura 1

11 MPS-43: Sistemas de Controle 11 VI.3. Condições de Módulo e Fase donde obtém-se a equação algébrica C s G s H s = 1 K, (3) que é satisfeita desde que as seguintes duas condições também sejam: 1. Condição de Módulo (Magnitude): C s G s H s = 1 K 2. Condição de Fase (Ângulo): C s G s H s = ±180 o 2l + 1, l = 0,1, 2,

12 MPS-43: Sistemas de Controle 12 VI.3. Condições de Módulo e Fase Comentários: A condição de fase fornece o traçado do LGR do sistema. A condição de módulo fornece o valor de K para cada ponto do LGR.

13 MPS-43: Sistemas de Controle 13 VI.3. Condições de Módulo e Fase Exemplo: Seja o sistema da Figura 1 com FTMA dada por: C s G s H s = s + z 1 s s + p 2 s + p 3. Como verificar se o ponto s 1 C pertence ao LGR desse sistema?

14 MPS-43: Sistemas de Controle 14 VI.3. Condições de Módulo e Fase Desafio: Seja o sistema da Figura 1 com FTMA dada por: C s G s H s = 1 s s + 1. Usando a condição de fase, trace o LGR desse sistema.

15 MPS-43: Sistemas de Controle 15 VI.4. Propriedades dos LGRs 1. Origem e Destino dos Ramos do LGR: Origem, K = 0: polos de malha aberta Destino, K = : zeros de malha aberta Explicação: C s G s H s = 1 K, se K 0 0, se K

16 MPS-43: Sistemas de Controle 16 VI.4. Propriedades dos LGRs 2. Número de Ramos do LGR: É igual ao grau n do polinômio característico. Explicação: Para cada valor de K, a equação característica 1 + KC(s)G(s)H(s) = 0 apresenta n raízes, em geral, distintas.

17 MPS-43: Sistemas de Controle 17 VI.4. Propriedades dos LGRs 3. Simetria: Os LGRs são simétricos em relação ao eixo real. Explicação: Como os coeficientes do polinômio característico são sempre reais, suas soluções são reais e/ou pares complexos conjugados.

18 MPS-43: Sistemas de Controle 18 VI.4. Propriedades dos LGRs 4. Ângulos das Assíntotas: Quando n > m, a função C(s)G(s)H(s) apresenta zeros no infinito; o número de zeros no infinito é n m. Logo, o LGR apresenta n m assíntotas. Seus ângulos de inclinação são: α i = ± 180o n m 2i + 1, i = 0, 1, Explicação: Considere que a FTMA tenha a forma: C s G s H s = K sm + b m 1 s m b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, n > m. (i)

19 MPS-43: Sistemas de Controle 19 VI.4. Propriedades dos LGRs O comportamento de (i) no infinito pode ser aproximado por: lim C s G s H s = s lim s K sn m. Então, num ponto s no infinito, a condição de fase é tal que Ks n m = ±180 o 2l + 1, l = 0,1, n m s = ±180 o 2l + 1, l = 0,1, s = ± 180o n m 2l + 1, l = 0,1,

20 MPS-43: Sistemas de Controle 20 VI.4. Propriedades dos LGRs 5. Interseção das Assíntotas: Considere que a FTMA tenha a seguinte forma: C s G s H s = s + z 1 s + z 2 s + z m s + p 1 s + p 2 s + p n, n > m. (4) As assíntotas do LGR se cruzam no eixo real, na coordenada: σ α = n p i m i=1 j=1 z j n m.

21 MPS-43: Sistemas de Controle 21 VI.4. Propriedades dos LGRs Explicação: Da Álgebra, sabe-se que a equação (4) pode ser reescrita como C s G s H s = sm m + j=1 z j s n n + i=1 p i s m 1 + s n 1 + (i) Dividindo o denominador de (i) pelo seu numerador, obtém-se n s n m + p i i=1 m j=1 z j s n m 1 +

22 MPS-43: Sistemas de Controle 22 VI.4. Propriedades dos LGRs Portanto, C s G s H s = s n m n m + i=1 p i j=1 z j 1 s n m 1 + e a equação característica se torna n s n m + p i i=1 m z j j=1 s n m K = 0, que, para grandes valores de s, pode ser simplificada por

23 MPS-43: Sistemas de Controle 23 VI.4. Propriedades dos LGRs s + n p i m i=1 j=1 z j n m n m = 0. (ii) Logo, a interseção dos n m ramos de (ii) ocorre em sua raiz de multiplicidade n m: σ α = n p i m i=1 j=1 z j n m.

24 MPS-43: Sistemas de Controle 24 VI.4. Propriedades dos LGRs 7. LGR sobre o Eixo Real: Existe nos intervalos do eixo real tais que a soma do número de polos e zeros de C(s)G(s)H(s) à sua direita seja ímpar. Explicação: Im s Re s

25 MPS-43: Sistemas de Controle 25 VI.4. Propriedades dos LGRs 8. Interseções do LGR com o Eixo Imaginário: Podem ser determinadas mediante o critério de Routh-Hurwitz.

26 MPS-43: Sistemas de Controle 26 VI.4. Propriedades dos LGRs 9. Ângulo de Chegada/Saída: O ângulo de chegada num zero de MA ou de saída de um polo de MA pode ser determinado mediante a aplicação da condição de fase a um ponto de teste t muito próximo do polo/zero em questão. o z 1 p 2 φ 1 θ 2 p 3 θ 3 0 Im(s) θ 1 p 1 Re(s) Da condição de fase, θ 1 θ 2 θ 3 φ 1 = ±180 o 2l + 1

27 MPS-43: Sistemas de Controle 27 VI.4. Propriedades dos LGRs 10. Pontos de Interseção entre os Ramos: No livro (OGATA, 1983), tais pontos são chamados de pontos de separação. Eles correspondem aos pontos de soluções múltiplas da equação característica do sistema: F(s) = 1 + KC(s)G(s)H(s) = 0. Os pontos de separação podem então ser determinados resolvendo-se a equação df s ds = 0.

28 MPS-43: Sistemas de Controle 28 VI.4. Propriedades dos LGRs Pode-se mostrar que os pontos de separação podem opcionalmente ser determinados resolvendo-se a equação onde dk s ds = 0 K s 1 C s G s H s. Explicação: Seja a equação característica: F s = 1 + KC s G s H s. (i)

29 MPS-43: Sistemas de Controle 29 VI.4. Propriedades dos LGRs Derivando (i), a condição df/ds = 0 fica df s d C s G s H s = K ds ds donde obtém-se a nova condição = 0, Mas definiu-se d C s G s H s K(s) = ds = 0. 1 C s G s H s. (ii) (iii)

30 MPS-43: Sistemas de Controle 30 VI.4. Propriedades dos LGRs Derivando (iii) com relação a s, obtém-se dk s ds = 1 C s G s H s 2 d C s G s H s ds. (iv) Logo, usando (ii), a equação (iv) pode ser reescrita como dk s ds = 0.

31 MPS-43: Sistemas de Controle 31 VI.5. Esboço de LGRs Exemplo 1: Seja um servomecanismo de posição angular, controlado por um controlador proporcional, modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + K p k s s + a Y(s) Esboce o LGR desse sistema, considerando K p como parâmetro ajustável.

32 MPS-43: Sistemas de Controle 32 VI.5. Esboço de LGRs Exemplo 2: Seja um servomecanismo de posição angular, controlado por um controlador PD, modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + K p + K d s k s s + a Y(s) Esboce o LGR desse sistema, considerando K p como parâmetro ajustável.

33 MPS-43: Sistemas de Controle 33 VI.5. Esboço de LGRs Exemplo 3: Seja um sistema de controle modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + K 2 s s + 2 s + 3 Y(s) Esboce o LGR desse sistema, considerando K como parâmetro ajustável.

34 MPS-43: Sistemas de Controle 34 VI.6. Ajuste de Ganho de Controladores Usando o LGR Seja um sistema de controle modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + K c C s H s G s Y(s) Frequentemente se deseja ajustar o ganho K c do controlador para que o sistema em malha fechada apresente um par de polos complexos conforme especificado: s 1,2 E = ζ E ω n E ± jω n E 1 ζ E 2.

35 MPS-43: Sistemas de Controle 35 VI.6. Ajuste de Ganho de Controladores Usando o LGR Desde que s 1,2 E estejam sobre o LGR do sistema, tal ajuste pode ser feito mediante a condição de módulo: C s 1 E G s 1 E H s 1 E = 1 K c

36 MPS-43: Sistemas de Controle 36 VI.6. Ajuste de Ganho de Controladores Usando o LGR Exemplo: Seja um sistema de controle modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + K c 1 s s + 0,5 Y(s) Ajuste o ganho K c para que o sistema tenha o seu par de polos de malha fechada em s 1,2 E = 0,25 ± j0,5. Com tal valor de ganho, qual deve ser o tempo de pico t p e a máxima ultrapassagem M p da saída y(t) quando a entrada r(t) for comandada com um degrau unitário?

37 MPS-43: Sistemas de Controle 37 Obrigado pela presença e atenção!