Sistemas de Controle 2

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes 8. Técnicas do Lugar das Raízes 8.1 Introdução 8.2 Definindo o Lugar das Raízes 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes 8.5 Refinando o Esboço 8.6 Um Exemplo 8.7 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho 8.8 Lugar das Raízes Generalizado 8.9 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva 8.10 Sensibilidade dos Pólos Bibliografia principal: Engenharia de Sistemas de Controle Norman S. Nise

3 O esboço pode ser refinado através do cálculo dos: - Pontos de entrada ou saída do eixo real. - Pontos sobre o eixo imaginário (jω) - Ângulos de partida dos pólos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos Spirule (Espírula) Régua usada antigamente para o cálculo dos pontos notáveis no plano complexo Programas em PC/calculadoras/celulares O método moderno é a utilização de programas de computador.

4 Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real Ângulo dos ramos do lugar das raízes quando entram ou saem do eixo real: Ponto de saída Ponto de entrada n = número de pólos Exemplo: Ramos a 90 graus Ramos a 90 graus 2 pólos ângulo = 90 graus

5 Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real Ganho>0 (aumentando) Ganho=0 Ganho>0 (aumentando) Ganho máximo no eixo real entre os pólos (ponto de saída) Ganho infinito Ganho mínimo no eixo real entre os zeros (ponto de entrada)

6 Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real Esboço do valor dos ganhos no eixo real Ganho mínimo no eixo real entre os zeros (ponto de entrada) Ganho máximo no eixo real entre os pólos (ponto de saída)

7 Pontos de Saída e de Chegada sobre o Eixo Real Três métodos para encontrar os pontos de entrada e saída: Método 1) Método do cálculo diferencial - Maximizar e minimizar o ganho K usando cálculo diferencial σ 1 Ponto de entrada σ 2 Ponto de saída Curva K versus σ

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9 Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta e montando equação: Sabe-se que todos os pontos sobre o lugar das raízes:

10 Sobre o eixo real: Isolando K: Derivando e igualando a zero:

11 Derivando e igualando a zero: dk dσ = σ2 + 3σ + 2 σ 2 8σ + 15 σ 2 + 3σ + 2 σ 2 8σ + 15 (σ 2 8σ + 15) 2 dk dσ = 2σ + 3 σ2 8σ + 15 σ 2 + 3σ + 2 2σ 8 (σ 2 8σ + 15) 2

12 Resolvendo:

13 Método 2) Método de transição É uma variação do método com cálculo diferencial. É chamado método de transição e elimina a etapa da derivação (Franklin, 1991) Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação: Onde zi e pi são, respectivamente, os negativos dos valores dos zeros e dos pólos de G(s)H(s).

14 Solução: Retirando do gráfico pólos e zeros em malha aberta: Aplicando a equação:

15 Simplificando:

16 Método 3) Cálculo por programa de computador MATLAB e outros Experiência realizada no laboratório 1 do capítulo 8. Clique em cima do ponto e descubra seu valor juntamente com o ganho.

17 Pontos de Interseção do Eixo jω Pontos que separam entre o comportamento estável e o instável O valor de ω no ponto de interseção fornece a frequência de oscilação. Exemplo ao lado: O ganho no ponto de interseção com o eixo imaginário é o valor limite máximo para estabilidade do sistema.

18 Pontos de Interseção do Eixo jω Uma das formas de encontrar o ponto sobre jω é aplicando o critério de Routh-Hurwitz Cap. 6 (Controle I)

19 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz

20 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz K(s + 3) G = s(s + 1)(s + 2)(s + 4) T = G 1 + G T = (K (s + 3))/(s ((K (s + 3))/(s (s + 1) (s + 2) (s + 4)) + 1) (s + 1) (s + 2) T=

21 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz K 7 1 3K = 90 K 7 = 21K K 90 K K = K2 65K K 90 K 21K K 2 65K K K 2 65K K = 21K

22 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz Uma linha completa de zeros resulta na possibilidade de raízes no eixo imaginário. Raizes:

23 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz Formando o polinômio par usando a linha s 2 Se duas linhas puderem ser iguais multiplicando-se uma dela por um valor positivo então teremos um polinômio par na linha

24 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz Formando o polinômio par usando a linha s s (9.65) = 0 s = O lugar das raízes cruza o eixo jω em ±j1,59 com um ganho de 9,65. O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65

25 Pontos de Interseção do Eixo jω através do Critério de Routh-Hurwitz Formando o polinômio par usando a linha s 3 7*s 3 +(8+K)*s=0 7*s 3 +(8+9.65)*s=0 s = O lugar das raízes cruza o eixo jω em ±j1,59 com um ganho de 9,65. O sistema é estável para um ganho de 0 até 9.65

26 Ângulos de Partida e de Chegada Para esboçar corretamente o lugar das raízes, é preciso calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos. Considere o sistema com realimentação unitária abaixo: Para encontrar o ângulo de partida dos pólos complexos: 1 ) Marque no plano complexo todos os pólos e zeros do sistema a malha aberta:

27 Ângulos de Partida e de Chegada Zeros: -2 Pólos: -3, -1+j,-1-j Pólo complexo 1 2 ) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido. Pólo complexo 2 Ângulo de saída = θ 1

28 Ângulos de Partida e de Chegada Zeros: -2 Pólos: -3, -1+j,-1-j Pólo complexo 1 θ 2 =90 2 ) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido. θ 2 =90

29 Ângulos de Partida e de Chegada Pólo complexo 1 θ 3 1 θ 3 Zeros: -2 Pólos: -3, -1+j,-1-j 2 ) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido. θ 2 =90 θ 3 = tg = 45 1

30 Ângulos de Partida e de Chegada Pólo complexo 1 θ θ 4 Zeros: -2 Pólos: -3, -1+j,-1-j 2 ) Escolher um pólo ou zero complexo e determinar os ângulos das retas que partem dos demais pólos e zeros até o pólo escolhido. θ 2 =90 θ 3 = tg = 45 θ 4 = tg = 26,56

31 Ângulos de Partida e de Chegada Pólo complexo 1 θ 1 3 ) Calcular ângulo de saída considerando que os ângulos que partem dos pólos são negativos e os ângulos de chegada nos zeros são positivos e a soma deles é igual a um múltiplo impar de 180: θ 2 =90 θ 3 = tg = 45 θ 4 = tg = 26,56 θ 1 θ 2 +θ 3 θ 4 = (2k + 1)180 θ = 180 θ 1 = = 108.4

32 Ângulos de Partida e de Chegada θ 1 = 108.4

33 Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes Devemos poder localizar pontos específicos sobre o lugar das raízes bem como encontrar seus ganhos associados. Por exemplo: Determinar ponto exato no qual o lugar das raízes cruza a reta de relação de amortecimento igual a 0,45 e o ganho nesse ponto.

34 Traçando e Calibrando o Lugar das Raízes Para o ponto onde r=2: Para o ponto onde r=0.747: ângulo=-180 Não é múltiplo impar de 180. Não é faz parte do lugar das raízes. Faz parte do lugar das raízes Ganho neste ponto: