Princípios de Controle Robusto

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1 Princípios de Controle Robusto ENGA71: Análise e Projeto de Sistemas de Controle Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 27 de junho de 2018

2 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

3 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

4 Introdução Contextualização O que veremos na aula de hoje: Revisão de conceitos introdutórios (Critério de Nyquist, Margem de Ganho, Margem de Fase); Requisitos de malha; Problema de garantia de estabilidade robusta. Referências principais M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1 a edição, Prentice Hall (1989).

5 Introdução Contextualização O que veremos na aula de hoje: Revisão de conceitos introdutórios (Critério de Nyquist, Margem de Ganho, Margem de Fase); Requisitos de malha; Problema de garantia de estabilidade robusta. Referências principais M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1 a edição, Prentice Hall (1989).

6 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

7 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Considere um contono fechado σ: o mesmo deve iniciar num ponto x 0 e retornar ao mesmo ponto x 0 sem cruzar qualquer outro ponto de contorno. Deve-se definir o sentido do contorno (ponto inicial=ponto final). Considere uma função de transferência F(s): função racional. Pode-se definir o mapeamento do contorno sujeito a F(s): σ F (s). Os polos e/ou zeros de F(s) são chamados de singularidades.

8 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Exemplo com F(s) = (s+0, 5).

9 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Exemplo com F(s) = (s+1, 5).

10 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Exemplo com F(s) = 1 s+0,5.

11 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Princípio do Argumento ou Teorema de Cauchy Considere uma função racional F(s) e um contono fechado σ, o qual não passa por qualquer singularidade. Então o contorno σ sujeito a F(s) envolverá a origem, sendo o número voltas igual à diferença de zeros e polos de F(s), os quais pentencentem ao interior de sigma. Valores positivos mantém o sentido do giro, valores negativos invertem o mesmo. Caso exista alguma singularidade sobre o eixo imaginário ( s = jω ), utiliza-se um desvio infinitesimal. Por exemplo, s = re jθ com r 0 e θ = [ π/2, π/2] quando a singularidade for do tipo s = 0.

12 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento Princípio do Argumento ou Teorema de Cauchy Considere uma função racional F(s) e um contono fechado σ, o qual não passa por qualquer singularidade. Então o contorno σ sujeito a F(s) envolverá a origem, sendo o número voltas igual à diferença de zeros e polos de F(s), os quais pentencentem ao interior de sigma. Valores positivos mantém o sentido do giro, valores negativos invertem o mesmo. Caso exista alguma singularidade sobre o eixo imaginário ( s = jω ), utiliza-se um desvio infinitesimal. Por exemplo, s = re jθ com r 0 e θ = [ π/2, π/2] quando a singularidade for do tipo s = 0.

13 Revisão Critério de Nyquist / Estabilidade em Malha Fechada Condidere um sistema com realimentação unitária, sendo G(s) o processo a ser controlado e C(s) o controlador. O sistema em malha fechada é dado por H(s) = C(s)G(s) 1+C(s)G(s). para garantir estabilidade, todas as raízes de F(s) = 1 + C(s)G(s) devem pertencer ao semi-plano esquerdo. Podemos utilizar um contorno para mapear F(s) = 1 + C(s)G(s). Alternartivamente, podemo considerar F(s) = 1+C(s)G(s) = 1+ B(s) A(s) = A(s)+B(s) A(s) A(s)+B(s) = 0 define polos de malha fechada e A(s) = 0 define polos de malha aberta.

14 Revisão Critério de Nyquist / Princípio do Argumento As raízes de A(s) = 0 são conhecidas; Nenhuma raiz de A(s)+B(s) = 0 pode pertencer ao semi-plano direito para assegurar a estabilidade. O número de voltas na origem de um contorno sujeito a F(s) = 1 + C(s)G(s) pode ser obtido analisando o número de voltas em torno do ponto 1 deste contorno sujeito a C(s)G(s). N v = Z P sendo N v o número de voltas em torno de 1 do contorno do semi-plano direito sujeito a C(s)G(s), P o número de raízes de A(s) = 0 no semi-plano direito e Z o número de polos de malha fechada no semi-plano direito.

15 Revisão Margens de Estabilidade Estabilidade Relativa 1 A estabilidade relativa está associada às possíveis variações nos coeficientes da equação característica que mantém a estabilidade do sistema em malha fechada. Estabilidade Relativa 2 A estabilidade relativa será definida em função da proximidade com os pontos críticos da curva de resposta em frequência ou curva polar. Pontos 1+0j ou 0dB 180 o.

16 Revisão Margem de Ganho Margem de Ganho É o inverso do módulo de G(jω) na frequência em que o ângulo de fase mede 180 o. Representa a quantidade de ganho necessária para tornar o sistema instável. Definindo a frequência de crusamento de fase (ω cf ) como a frequência na qual G(jω cf ) = 180 o, a margem de ganho em valor absoluto pode ser calculada por: M.G. = 1 G(jω cf ).

17 Revisão Margem de Fase Margem de Fase É a quantidade que mede o quanto o ângulo de fase G(jω) excede 180 o na frequência em que G(jω) = 1. Definindo a frequência de crusamento de ganho (ω cg ) como a frequência na qual G(jω cg ) = 1, a margem de fase em radianos por unidade de tempo pode ser calculada como M.F. = 180 o + G(jω cg ) sendo G(jω cg ) obtida no sentido horário (valor negativo).

18 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

19 Descrição de incertezas Representação de incertezas: Robust Process Control Incertezas aditivas Seja uma família de plantas LTI representada por Π = {P : P(jω) P n(jω) l a}. Então, qualquer elemento de Π deve obedecer com Descrição de incertezas multiplicativas P(jω) = P n(jω)+l a(jω) l a l a(jω). Se considerarmosl a(jω) = P n(jω)l m(jω), teremos { } Π = P : P(jω) P n(jω) P n(jω) lm. Neste case, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(jω) = P n(jω)[1+l m(jω)] l m l m(jω).

20 Descrição de incertezas Representação de incertezas: Robust Process Control Incertezas aditivas Seja uma família de plantas LTI representada por Π = {P : P(jω) P n(jω) l a}. Então, qualquer elemento de Π deve obedecer com Descrição de incertezas multiplicativas P(jω) = P n(jω)+l a(jω) l a l a(jω). Se considerarmosl a(jω) = P n(jω)l m(jω), teremos { } Π = P : P(jω) P n(jω) P n(jω) lm. Neste case, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(jω) = P n(jω)[1+l m(jω)] l m l m(jω).

21 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

22 Requisitos de malha Sistema considerado Os sinais n(t), d y(t) e d u(t) são perturbações externas normalizadas. Tipicamente n(t) representa o ruído de medição de altas frequências. Em geral, d y(t) e d u(t) têm componentes relevantes de baixas frequências.

23 Requisitos de malha Função de sensibilidade O efeito da variação de P(s) com relação à Y(s) R(s) = F(s)H(s) = F(s) P(s)C(s) 1+P(s)C(s) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(s) H(s) P(s) H(s) P(s) O filtro de referência F(s) não afeta o comportamento da malha de controle.

24 Requisitos de malha Função de sensibilidade O efeito da variação de P(s) com relação à Y(s) R(s) = F(s)H(s) = F(s) P(s)C(s) 1+P(s)C(s) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(s) H(s) P(s) H(s) P(s) O filtro de referência F(s) não afeta o comportamento da malha de controle.

25 Requisitos de malha Função de sensibilidade O efeito da variação de P(s) com relação à Y(s) R(s) = F(s)H(s) = F(s) P(s)C(s) 1+P(s)C(s) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(s) H(s) P(s) ( ) 1 H(s) = C(s)[1+P(s)C(s)] C(s)[C(s)P(s)] P(s) [1+P(s)C(s)] 2 = C(s)P(s) [1+P(s)C(s)] 2 1 H(s) = 1 1+P(s)C(s) P(s) H(s)

26 Requisitos de malha Função complementar de sensibilidade S(s) pode ser utilizado para avaliar o efeito de variações em P(s) S(s) 1 1+P(s)C(s) Por outro lado, C(s) = H(s) é complementar à função de sensibilidade pois S(s)+C(s) = 1 1+C(s)P(s) + P(s)C(s) 1+C(s)P(s) = 1

27 Requisitos de malha Função de sensibilidade A relação S(s) + C(s) = 1 impõe um compromisso. Notar que Y(s) N(s) = C(s), Y(s) D y(s) = S(s), Y(s) D u(s) = P(s)S(s).

28 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

29 Problema de controle robusto Objetivo Definir um controlador C(s), baseado num modelo P n(s), que seja estável ao controlar qualquer planta P(s) que pertença a Π.

30 Problema de controle robusto Estabilidade Interna Definição: Um sistema de controle é estável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma saída limitada em todos os outros pontos. Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo ] [ Pn(s)C(s) ] P n(s) [ ] 1+P = n(s)c(s) 1+P n(s)c(s) Rf (s) D u(s) [ Y(s) U(s) com F(s) estável. C(s) 1+P n(s)c(s) Pn(s)C(s) 1+P n(s)c(s)

31 Problema de controle robusto Estabilidade Interna Definição: Um sistema de controle é estável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma saída limitada em todos os outros pontos. Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo ] [ Pn(s)C(s) ] P n(s) [ ] 1+P = n(s)c(s) 1+P n(s)c(s) Rf (s) D u(s) [ Y(s) U(s) com F(s) estável. C(s) 1+P n(s)c(s) Pn(s)C(s) 1+P n(s)c(s)

32 Problema de controle robusto Estabilidade Interna Considere o sistema abaixo: [ ] Y(s) = U(s) [ Pn(s)C(s) 1+P n(s)c(s) P n(s) 1+P n(s)c(s) C(s) 1+P n(s)c(s) Pn(s)C(s) 1+P n(s)c(s) ] [ Rf (s) D u(s) ] já temos as seguintes condições necessárias para garantir estabilidade robusta: i) C(s) não pode apresentar zeros de fase não-mínima que são pólos instáveis de P(s); ii) C(s) não pode apresentar pólos instáveis que são zeros de fase não-mínima de P(s); iii) As raízes de 1+P n(s)c(s) devem pertencer ao semi-plano esquerdo. Como garantir iii) para todo P(s) que pertence a Π?

33 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(jω)P n(jω)(1 +l m(jω)) C(jω)P n(jω) O vetor que liga P(jω)C(jω) a 1 é v(jω) = 1 + P(jω)C(jω). O vetor que liga P n(jω)c n(jω) a 1 é v n(jω) = 1+P n(jω)c(jω). Se a distância entre A e B (mesma freqüência) é menor do que a distância entre A e 1, então B não cruza o ponto 1.

34 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(jω)P n(jω)(1 +l m(jω)) C(jω)P n(jω) Matematicamente: C(jω)P n(jω)[1+l m(jω)] C(jω)P n(jω) < 1+C(jω)P n(jω), ω > 0 Assim, l m(jω) < 1+C(jω)Pn(jω) C(jω)P n(jω), ω > 0

35 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(jω)P n(jω)(1 +l m(jω)) C(jω)P n(jω) Matematicamente: C(jω)P n(jω)[1+l m(jω)] C(jω)P n(jω) < 1+C(jω)P n(jω), ω > 0 Assim, l m(jω) < 1+C(jω)Pn(jω) C(jω)P n(jω), ω > 0

36 Problema de controle robusto Observações A condição de estabilidade robusta l m(jω) < 1+C(jω)P n(jω) C(jω)P n(jω), ω > 0 pode ser expressa como C(s)l m(s) sup C(jω)l m(jω) < 1 ω onde C(s) = P(s)C(s)/(1+P(s)C(s)). Ela é conservadora uma vez que não se considera a informação da fase. Ela é condição suficiente e necessária para a estabilidade robusta da família de plantas Π.

37 Problema de controle robusto Análise via pequeno ganho du r e dy u y + C + + Pn + l M l Note que M M(s) = Pn(s)C(s) = C(s) C(jω)l(jω) = M(jω)l(jω) < 1, ω 1+P n(s)c(s)

38 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

39 Exemplo Projeto IMC Considere um sistema dado por P(s) = 1 (s+1)(0.5s+1)(0.25s+1)(0.125s+1) Um modelo de ordem reduzida é escolhido como 1 P n(s) = (1.15s+1)(0.8s+1), com lm(s) = 0.5s (0.5/1.4)s

40 Exemplo Controlador IMC Escolheu-se para o caso robusto H d (s) = Y(s) R(s) = 1 1 e C(s) = (0.5s+1) 2 (0.3s+1) 2 Escolheu-se sem considerar o problema de robustez H d (s) = Y(s) R(s) = 1 (0.5s+1) 2 e C(s) = 0.6s+1 (0.3s+1) lm lb m 1/Fr1 1/Fr

41 Exemplo Projeto IMC Resposta para o caso nominal P(s) = P n(s)

42 Exemplo Projeto IMC Resposta com o efeito do erro de modelagem

43 Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Descrição de incertezas 4 Requisitos de malha 5 Problema de controle robusto 6 Exemplo 7 Comentários finais

44 Comentários finais O que vimos na aula de hoje? Requisitos de malha podem ser formulados através das funções S(s) e C(s). Faz-se necessário obter um compromisso entre os requisitos. O Teorema do Pequeno Ganho permite estabelecer um critério para assegurar a estabilidade robusta (robustez).