1. Sinais de teste. 2. Sistemas de primeira ordem. 3. Sistemas de segunda ordem. Especificações para a resposta

Transcrição

1 Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados 1. Sinais de teste. Sistemas de primeira ordem 3. Sistemas de segunda ordem Especificações para a resposta Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle Aula 4

2 Desempenho de Sistemas Realimentados A resposta temporal de um sistema de controle é dividida em duas partes: a resposta transitória, y t (t), e a resposta em regime permanente ou em estado estacionário ( steady-state ), y( ): y(t) = y t (t) + y( ) Fernando de Oliveira Souza pag. Engenharia de Controle Aula 4

3 Desempenho de Sistemas Realimentados A resposta transitória é definida como a parte da resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito: lim y t(t) = 0 t A resposta em estado estacionário é a parte da resposta que permanece quando a resposta transitória iguala a zero, podendo ser constante ou podendo ser um sinal que varia no tempo com padrão constante. Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle Aula 4

4 Desempenho de Sistemas Realimentados Especificações de Desempenho? Pode-se incluir vários índices de resposta temporal para uma entrada de comando específica bem como uma precisão em regime permanente esperado Especificações concorrentes? No geral sim... O que fazer? Compromisso entre características desejadas que é obtido após ajustes sucessivos Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle Aula 4

5 Sinais de Teste Impulso Unitário, δ(t) Propriedades δ(t)dt = 1 e g(t τ)δ(τ)dτ = g(t) Considerando um diagrama de bloco padrão com entrada r(t) = δ(t) r(t) R(s) g(t) G(s) y(t) = t 0 Y (s) = G(s)R(s) g(t τ)r(τ)dτ então a integral tem um valor apenas em τ = 0 e portanto y(t) = g(t), sendo g(t) (G(s)) a resposta impulsiva Fernando de Oliveira Souza pag.5 Engenharia de Controle Aula 4

6 Degrau r(t) = Sinais de Teste A t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s Rampa r(t) = At t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s Parabólica r(t) = At / t > 0 0 t < 0 R(s) = A/s 3 Fernando de Oliveira Souza pag.6 Engenharia de Controle Aula 4

7 Sinais de Teste R(s) = 1 s 1.4 r(t) 1. 1 R(s) = 1 s R(s) = 1 s Tempo Fernando de Oliveira Souza pag.7 Engenharia de Controle Aula 4

8 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem Considere um sistema modelado por equações diferenciais ordinárias (ODEs), então sua função de transferência é dada pela razão de dois polinômios G(s) = Y (s) R(s) polos: s tal que R(s) = 0 Zeros: s tal que Y (s) = 0 G(s) = 0 polos e Zeros caracterizam G(s), exceto por uma constante de ganho. Fernando de Oliveira Souza pag.8 Engenharia de Controle Aula 4

9 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem G(s) = Y (s) R(s) = k s + a Para uma entrada tipo impulso unitário, a saída do sistema é Y (s) = G(s)R(s) = k s + a 1 L 1 {Y (s)} = L 1 {G(s)} = h(t) = ke at Fernando de Oliveira Souza pag.9 Engenharia de Controle Aula 4

10 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem h(t) = ke at Para a > 0, polo no SPE sistema estável Para a < 0, polo no SPD sistema instável Para a = 0, polo no eixo jω sistema BIBO instável Fernando de Oliveira Souza pag.10 Engenharia de Controle Aula 4

11 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem h(t) = ke at Para a > 0, polo no SPE sistema estável Para t = τ = 1/a, então h(τ) = ke a1/a = 0,3679k O transitório atinge 36,79% de seu valor em t = τ. τ: constante de tempo. Fernando de Oliveira Souza pag.11 Engenharia de Controle Aula 4

12 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem 1k 0,9k 0,8k ke at h(t) 0,7k 0,6k 0,5k τ = 1/a 0,4k 0,3k k/e = 0,3679k 0,k 0,1k 0 0 0,5τ 1τ 1,5τ τ,5τ 3τ 3,5τ 4τ t Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle Aula 4

13 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem Para uma entrada tipo degrau unitário: ( ) k 1 Y (s) = G(s)R(s) = s + a s = k/a s k/a s + a y(t) = L 1 {Y (s)} = k a (1 e at ) Para a > 0, polo no SPE sistema estável Para t = τ = 1/a, então y(τ) = k/a[1 e a1/a ] = 0,631k/a O transitório atinge 63,1% de seu valor em t = τ. Fernando de Oliveira Souza pag.13 Engenharia de Controle Aula 4

14 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem y(t) inclinação = 1/τ k/a 95,0% 98,% 99,3% 0,75k/a 0,63k/a 0,5k/a 63,% 0,5k/a 0 τ τ 3τ 4τ 5τ t Fernando de Oliveira Souza pag.14 Engenharia de Controle Aula 4

15 Desempenho de Sistemas de Primeira Ordem G(s) = k s + a Para a > 0, polo no SPE sistema estável τ = 1/a: constante de tempo G(s) = k s + 1/τ Fernando de Oliveira Souza pag.15 Engenharia de Controle Aula 4

16 Exercício Determine a função de transferência do sistema com resposta ao degrau abaixo 1 Resposta ao degrau Amplitude Tempo (s) Fernando de Oliveira Souza pag.16 Engenharia de Controle Aula 4

17 Exercício Solução: G(s) = s + Fernando de Oliveira Souza pag.17 Engenharia de Controle Aula 4

18 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Exemplo Considere o sistema de segunda ordem s + 1 (s + 1/) G(s) = = s + 3s + (s + 1)(s + ) = 1 s s + g(t) = L 1 {G(s))} = e t + 3e t polo s = é mais rápido que o polo s = 1 O numerador de G(s) influência no coeficiente de cada componente Fernando de Oliveira Souza pag.18 Engenharia de Controle Aula 4

19 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Considere H(s) = N(s) D(s) um sistema de segunda ordem com polos complexos definidos como então s = σ ± jω d D(s) = (s+σ jω d )(s+σ+jω d ) = (s+σ) +ω d Fernando de Oliveira Souza pag.19 Engenharia de Controle Aula 4

20 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem H(s) = N(s) D(s) = N(s) (s + σ) + ω d Sistema de segunda ordem tipicamente estudado: logo, G(s) = ω n s + ζω n s + ω n σ = ζω n e ω d = ω n 1 ζ ω n : frequência natural não-amortecida ζ: coeficiente de amortecimento Fernando de Oliveira Souza pag.0 Engenharia de Controle Aula 4

21 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem polo no Plano- s θ 0.6 Eixo imaginário s = σ ± jω d σ = ζω n ω d ω n σ 0.4 θ = sen 1 (ζ) ζ = sen(θ) 0.6 ω d = ω n 1 ζ Eixo real Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle Aula 4

22 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem σ = ζω n e ω d = ω n 1 ζ pólo X jω Plano - S cos 1 (ζ) = θ ω n ω = ω 1 ζ d n α = ζω n σ Fernando de Oliveira Souza pag. Engenharia de Controle Aula 4

23 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem G(s) = ω n s + ζω n s + ω n = ω n (s + ζω n ) + ω n (1 ζ ) g(t) = L 1 {G(s))} ω n = 1 ζ e ζω nt sen(ω n 1 ζ t), t 0 Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle Aula 4

24 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem g(t) = ω n 1 ζ e ζω nt sen(ω n 1 ζ t), Para ζ = 0: g(t) = ω n sen(ω n t), t 0 Sistema não-amortecido Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle Aula 4

25 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem g(t) = ω n 1 ζ e ζω nt sen(ω n 1 ζ t), Para 0 < ζ < 1: Sistema subamortecido Fernando de Oliveira Souza pag.5 Engenharia de Controle Aula 4

26 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem G(s) = Para ζ = 1: ω n (s + ζω n ) + ω n (1 ζ ) G(s) = ω n (s + ω n ) g(t) = L 1 {G(s))} = ω n te ω nt Sistema criticamente amortecido Fernando de Oliveira Souza pag.6 Engenharia de Controle Aula 4

27 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem Para ζ > 1: G(s) = ω n s + ζω n s + ω n G(s) = ω n (s + ζω n + jω n 1 ζ )(s + ζω }{{} n jω n 1 ζ ) }{{} Real Real g(t) = L 1 {G(s))} = composição de duas exponenciais reais Sistema sobre amortecido Fernando de Oliveira Souza pag.7 Engenharia de Controle Aula 4

28 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao Impulso de um sistema de segunda ordem Para ζ < 0: G(s) = ω n s + ζω n s + ω n G(s) = ω n (s + ζω n + jω n 1 ζ )(s + ζω n jω n 1 ζ ) s > 0: Sistema instável Fernando de Oliveira Souza pag.8 Engenharia de Controle Aula 4

29 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem O sistema de segunda ordem pode ser classificado de acordo com o valor de ζ que define o tipo dos polos do sistema: ζ = 0 p 1,p =±jω n não-amortecido 0 < ζ < 1 p 1,p = ζω n ±jω n 1 ζ subamortecido ζ = 1 p 1 = p = ω n ζ > 1 p 1,p = ζω n ±ω n ζ 1 criticamente amortecido sobre amortecido ζ < 0 p 1,p = ζω n ±jω n 1 ζ }{{} α±jω d instável ( ζω n > 0) Fernando de Oliveira Souza pag.9 Engenharia de Controle Aula 4

30 Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem 1 Resposta ao Impulso 0.8 ζ = g(t) 0. 0 ζ = ω n t Fernando de Oliveira Souza pag.30 Engenharia de Controle Aula 4

31 Resposta do Sistemas de Segunda Ordem Resposta ao degrau unitário y(t) 1.8 ζ = 0,1 ζ = 0, ζ = ζ = 0,4 ζ = 0, ζ = ζ = ω t n Fernando de Oliveira Souza pag.31 Engenharia de Controle Aula 4

32 Localização das Raízes no Plano-s Resposta Transitória j t Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle Aula 4

33 Especificações de Resposta Transitória 1. tempo de subida t r ( rise time ): é o tempo necessário para a sinal de saída variar de 10% a 90% do valor final (ou para sistemas subamortecidos de 0% a 100%). tempo de acomodação t a ( settling time t s ): é o tempo gasto para o sinal acomodar na faixa de ±% a ±5%) do valor final 3. sobre-sinal máximo percentual M p ( overshoot ): diferença entre o valor máximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final 4. tempo do primeiro pico t p : instante de tempo em que ocorre o sobre-sinal máximo do sinal 5. tempo de atraso t d ( delay time ): é o tempo para o sinal alcançar 50% do valor final Fernando de Oliveira Souza pag.33 Engenharia de Controle Aula 4

34 Especificações de Resposta Transitória M p e ss y(t) t r td t s t Fernando de Oliveira Souza pag.34 Engenharia de Controle Aula 4

35 Especificações de Resposta Transitória Tempo de Subida: t r Considere: G(s) = com ζ = 0,5 ω n s + ζω n s + ω n Pode-se observar que: t r 1,8 ω n Fernando de Oliveira Souza pag.35 Engenharia de Controle Aula 4

36 Especificações de Resposta Transitória Resposta ao Degrau de um sistema de segunda ordem G(s) = Y (s) R(s) = ω n s + ζω n s + ω n Y (s) = y(t) = L 1 {Y (s))} = 1 e ζω nt ω n s + ζω n s + ω n 1 s ( cos(ω d t) + σ ) sen(ω d t) ω d ω d = ω n 1 ζ Tempo de acomodação definido por: e ζω nt Fernando de Oliveira Souza pag.36 Engenharia de Controle Aula 4

37 Especificações de Resposta Transitória 4 e ζω nt cos(ω d t) ζ > 0 0 t 4 e ζω nt e ζω nt σ ω d sen(ω d t) ζ > 0 0 t 4 e ζω nt Fernando de Oliveira Souza pag.37 Engenharia de Controle Aula 4

38 Especificações de Resposta Transitória Tempo de Acomodação: t a Veja que se convencionar % para tolerância no tempo de acomodação, t a, a envoltória da resposta é então limitada por e ζω nt a < 0,0 t a = 4τ = 4 ζω n Fernando de Oliveira Souza pag.38 Engenharia de Controle Aula 4

39 Especificações de Resposta Transitória Sobre sinal e Tempo de Pico M p e t p são calculados no ponto máximo de y(t) e são especificados em termos de ζ portanto basta considerar dy(t) = 0... para encontrar y max (t) dt Definindo: β = 1 ζ Fernando de Oliveira Souza pag.39 Engenharia de Controle Aula 4

40 Especificações de Resposta Transitória dy(t) dt = 1 β ζω ne ζω nt [βcos(ω n βt) + ζsen(ω n βt)] + 1 β β ω n sen(ω n βt)e ζω nt 1 β ζω nβcos(ω n βt)e ζω nt = ( 1 β ζ ω n + βω n ) e ζω nt sen(ω n βt) = ζ ω n + (1 ζ )ω n β = ω n β e ζω nt sen(ω n βt) e ζω nt sen(ω n βt) Fernando de Oliveira Souza pag.40 Engenharia de Controle Aula 4

41 Especificações de Resposta Transitória Então dy(t) dt = ω n β e ζω nt sen(ω n βt) = 0 Logo para que dy/dt = 0, sen(ω n βt) = 0... E isto ocorre no tempo de pico... ω n βt p = π t p = π ω n 1 ζ Fernando de Oliveira Souza pag.41 Engenharia de Controle Aula 4

42 Especificações de Resposta Transitória Do mesmo modo, veja que a sobre-elevação máxima ocorre exatamente no instante do tempo de pico, t p, logo y max (t) = 1 1 β e ζω nt p [βcos(ω n βt p ) + ζsen(ω n βt p )] M = 1 1 β e ζω nt p [βcos(ω n βt p ) + ζsen(ω n βt p )] 1 = 1 β e ζω n ωn π 1 ζ [βcos(π) + ζsen(π)] M = e ζπ/ 1 ζ M p = 100e ζπ/ 1 ζ (%) Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle Aula 4