Transformada de Laplace

Transcrição

1 Sinais e Sistemas Transformada de Laplace lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas p.1/60

2 Resumo Definição da transformada de Laplace. Região de convergência. Propriedades da transformada de Laplace. Sistemas caracterizados por equações diferenciais. Estabilidade e causalidade. Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de pólos e zeros. Diagramas de Bode. Sinais e Sistemas p.2/60

3 Resposta ao Sinal Exponencial Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo ao sinal exponencial complexo: t, x(t)=e jωt y(t)=h( jω)e jωt Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial: t, x(t)=e st y(t)=h(s)e st Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva: s, H(s)= + h(t)e st dt Sinais e Sistemas p.3/60

4 Transformada de Laplace A transformada de Laplace bi-lateral define-se como: s, X(s)= + x(t)e st dt ou seja: x(t) L X(s) Sinais e Sistemas p.4/60

5 Transformada de Fourier A transformada de Fourier: ω, X( jω)= + x(t)e jωt dt É um caso particular da transformada de Fourier para s= jω: X(s) s= jω = X( jω) Sinais e Sistemas p.5/60

6 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)=e at u(t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. Sinais e Sistemas p.6/60

7 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)=e at u(t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. Solução: s {s Re(s)> a}, X(s)= 1 s+a Sinais e Sistemas p.6/60

8 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)= e at u( t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. Sinais e Sistemas p.7/60

9 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)= e at u( t) em que a, a>0eu(t) é a função escalão unitário. Solução: s {s Re(s)< a}, X(s)= 1 s+a Sinais e Sistemas p.7/60

10 Região de Convergência A região de convergência (ROC) da transformada de Laplace consiste nos valores de s=σ+ jω para os quais o integral da definição converge. Plano s Im a Re Sinais e Sistemas p.8/60

11 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) Sinais e Sistemas p.9/60

12 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) Solução: s {s Re(s)> 1}, X(s)= 2s 2 + 5s+12 (s 2 + 2s+10)(s+2) Sinais e Sistemas p.9/60

13 Pólos e Zeros Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s)= N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. Sinais e Sistemas p.10/60

14 Pólos e Zeros Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s)= N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador. Sinais e Sistemas p.10/60

15 Pólos e Zeros Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s)= N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador. À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s, chama-se mapa de pólos e zeros de X(s). Sinais e Sistemas p.10/60

16 Pólos e Zeros Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s)= N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador. Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador. À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s, chama-se mapa de pólos e zeros de X(s). Sinais e Sistemas p.10/60

17 Pólos e Zeros no Infinito Se a ordem do polinómio do denominador exceder a do numerador: Ordem(D(s))=Ordem(N(s))+k a transformada X(s) tem k zeros no infinito. Sinais e Sistemas p.11/60

18 Pólos e Zeros no Infinito Se a ordem do polinómio do denominador exceder a do numerador: Ordem(D(s))=Ordem(N(s))+k a transformada X(s) tem k zeros no infinito. Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do denominador: Ordem(N(s))=Ordem(D(s))+k a transformada X(s) tem k pólos no infinito. Sinais e Sistemas p.11/60

19 Transformada de Fourier Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s)=0ou s= jω), a transformada de Fourier não converge. Sinais e Sistemas p.12/60

20 Transformada de Fourier Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s)=0ou s= jω), a transformada de Fourier não converge. x(t)=e t u(t) L X(s)= 1 s+1, Re(s)> 1 x(t) tem transformada de Fourier Sinais e Sistemas p.12/60

21 Transformada de Fourier Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s)=0ou s= jω), a transformada de Fourier não converge. x(t)=e t u(t) L X(s)= 1 s+1, Re(s)> 1 x(t) tem transformada de Fourier x(t)= e t u( t) L X(s)= 1 s+1, Re(s)< 1 x(t) não tem transformada de Fourier Sinais e Sistemas p.12/60

22 Propriedades da ROC Propriedade 1: a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário. Sinais e Sistemas p.13/60

23 Propriedades da ROC Propriedade 1: a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário. Propriedade 2: para transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém pólos. Sinais e Sistemas p.13/60

24 Propriedades da ROC Propriedade 1: a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário. Propriedade 2: para transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém pólos. Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e absolutamente integrável, a ROC da sua transformada é todo o plano s. Sinais e Sistemas p.13/60

25 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)= { e at, 0<t<T 0, caso contrário Sinais e Sistemas p.14/60

26 Exemplo Calcular a transformada de Laplace do sinal: t, x(t)= { e at, 0<t<T 0, caso contrário Solução: s, X(s)= { 1 e (s+a)t, s a s+a T, s= a Sinais e Sistemas p.14/60

27 Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)>σ 0 também pertencem à ROC. Sinais e Sistemas p.15/60

28 Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)>σ 0 também pertencem à ROC. Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)<σ 0 também pertencem à ROC. Sinais e Sistemas p.15/60

29 Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)>σ 0 também pertencem à ROC. Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s)<σ 0 também pertencem à ROC. Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se a linha Re(s)=σ 0 pertencer à ROC, então a ROC consistirá numa faixa que inclui a linha Re(s)=σ 0. Sinais e Sistemas p.15/60

30 Propriedades da ROC Propriedade 7: se a transformada de Laplace for racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou se estende até ao infinito. Sinais e Sistemas p.16/60

31 Propriedades da ROC Propriedade 7: se a transformada de Laplace for racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou se estende até ao infinito. Propriedade 8: se a transformada de Laplace for racional, então se x(t) for lateral direito a ROC será a região à direita do pólo mais à direita, se x(t) for lateral esquerdo a ROC será a região à esquerda do pólo mais à esquerda. Sinais e Sistemas p.16/60

32 Exemplo Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada de Laplace: s, X(s)= 1 (s+1)(s+2) Sinais e Sistemas p.17/60

33 Exemplo Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada de Laplace: s, X(s)= 1 (s+1)(s+2) Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral esquerdo e um lateral direito. Sinais e Sistemas p.17/60

34 Transformada de Laplace Inversa No caso geral a inversão da transformada de Laplace exige o recurso a um integral de circulação. Sinais e Sistemas p.18/60

35 Transformada de Laplace Inversa No caso geral a inversão da transformada de Laplace exige o recurso a um integral de circulação. No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: X(s)= m i=1 A 1 s+a i Sinais e Sistemas p.18/60

36 Transformada de Laplace Inversa No caso geral a inversão da transformada de Laplace exige o recurso a um integral de circulação. No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: X(s)= m i=1 A 1 s+a i Em função da região de convergência, o sinal x(t) será uma soma de exponenciais na forma A i e a it u(t) ou A i e a it u( t). Sinais e Sistemas p.18/60

37 Exemplo Considere a equação de uma transformada de Laplace: s X(s)= 1 (s+1)(s+2) Determine os sinais correspondentes à sua transformada inversa considerando as seguintes regiões de convergência: 1. Re(s)> 1 2. Re(s)< <Re(s)< 1 Sinais e Sistemas p.19/60

38 Solução x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) = e t u(t) e 2t u(t) = e t u( t)+e 2t u( t) = e t u( t) e 2t u(t) Sinais e Sistemas p.20/60

39 Linearidade ax 1 (t)+bx 2 (t) L ax 1 (s)+bax 2 (s), ROC R 1 R 2 Sinais e Sistemas p.21/60

40 Deslocamento Temporal x(t t 0 ) L e st 0 X(s), ROC=R Sinais e Sistemas p.22/60

41 Deslocamento no Domínio S e s 0t x(t) L X(s s 0 ), ROC=R+Re(s 0 ) Sinais e Sistemas p.23/60

42 Deslocamento no Domínio S e s 0t x(t) L X(s s 0 ), ROC=R+Re(s 0 ) A ROC também é deslocada Sinais e Sistemas p.23/60

43 Escalamento Temporal x(at) L 1 a X( s a ), ROC= R a Sinais e Sistemas p.24/60

44 Conjugado x(t) L X (s ), ROC=R Sinais e Sistemas p.25/60

45 Conjugado x(t) L X (s ), ROC=R Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas. Sinais e Sistemas p.25/60

46 Convolução x 1 (t) x 2 (t) L X 1 (s)x 2 (s), ROC R 1 R 2 Sinais e Sistemas p.26/60

47 Diferenciação no Tempo dx(t) dt L sx(s), ROC R Sinais e Sistemas p.27/60

48 Diferenciação no Domínio S dx(s) tx(t) L ds, ROC=R Sinais e Sistemas p.28/60

49 Exemplo Determinar a transformada de Laplace de: t, x(t)=te at u(t) Sinais e Sistemas p.29/60

50 Exemplo Determinar a transformada de Laplace de: Solução: t, x(t)=te at u(t) X(s)= 1 (s+a) 2, ROC=Re(s)> a Sinais e Sistemas p.29/60

51 Exemplo Determinar a transformada de Laplace inversa de: s Re(s)> 1, X(s)= 2s2 + 5s+5 (s+1) 2 (s+2) Sinais e Sistemas p.30/60

52 Exemplo Determinar a transformada de Laplace inversa de: Solução: s Re(s)> 1, X(s)= 2s2 + 5s+5 (s+1) 2 (s+2) t, x(t)=[2te t e t + 3e 2t ]u(t) Sinais e Sistemas p.30/60

53 Integração no Tempo t 1 x(τ)dτ X(s), ROC R {Re(s)>0} L s Sinais e Sistemas p.31/60

54 Valor Inicial e Final Se x(t)=0para t<0ese x(t) não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem: teorema do valor inicial: x(0 + )= lim s sx(s) Sinais e Sistemas p.32/60

55 Valor Inicial e Final Se x(t)=0para t<0ese x(t) não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem: teorema do valor inicial: teorema do valor final: x(0 + )= lim s sx(s) lim x(t)=lim sx(s) t s 0 Sinais e Sistemas p.32/60

56 Exemplo Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções constituem um par de Laplace: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) s Re(s)> 1, X(s)= 2s 2 + 5s+12 (s 2 + 2s+10)(s+2) Sinais e Sistemas p.33/60

57 Exemplo Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções constituem um par de Laplace: t, x(t)=e 2t u(t)+e t cos(3t)u(t) s Re(s)> 1, X(s)= 2s 2 + 5s+12 (s 2 + 2s+10)(s+2) Solução: x(0 + )=2 lim s s 2s 2 + 5s+12 (s 2 + 2s+10)(s+2) = 2 Sinais e Sistemas p.33/60

58 Função de Transferência As transformadas de Laplace da entrada e da saída de um sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por: s, Y(s)=H(s)X(s) Sinais e Sistemas p.34/60

59 Função de Transferência As transformadas de Laplace da entrada e da saída de um sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por: s, Y(s)=H(s)X(s) A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada de Laplace da resposta impulsiva do sistema. Sinais e Sistemas p.34/60

60 Pares de Transformadas de Laplace δ(t) δ(t t 0 ) L 1, s L e st 0, s u(t) L 1 s, Re(s)>0 u( t) L 1 s, Re(s)<0 tu(t) 1 L s2, Re(s)>0 tu( t) 1 L s2, Re(s)<0 Sinais e Sistemas p.35/60

61 Pares de Transformadas de Laplace e at u(t) L 1 s+a, Re(s)> a e at u( t) L 1 s+a, Re(s)< a te at 1 u(t) L (s+a) 2, Re(s)> a te at 1 u( t) L (s+a) 2, Re(s)< a Sinais e Sistemas p.36/60

62 Pares de Transformadas de Laplace s cos(ω 0 t)u(t), Re(s)>0 L s 2 +ω 2 0 ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s)>0 L s 2 +ω 2 0 e at s+a cos(ω 0 t)u(t), Re(s)> a L (s+a) 2 +ω 2 0 e at ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s)> a L (s+a) 2 +ω 2 0 Sinais e Sistemas p.37/60

63 Causalidade A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal lateral direito Sinais e Sistemas p.38/60

64 Causalidade A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal lateral direito Se a função de transferência é racional admite a factorização em fracções simples. Num SLIT com função de transferência racional, a causalidade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano à direita do pólo mais à direita. Sinais e Sistemas p.38/60

65 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e t u(t) Sinais e Sistemas p.39/60

66 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: Solução: t, h(t)=e t u(t) H(s)= 1 s+1, s {s Re(s)> 1} A função de transferência é racional e a ROC é a região à direita do pólo mais à direita: o sistema é causal. Sinais e Sistemas p.39/60

67 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e t Sinais e Sistemas p.40/60

68 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: Solução: t, h(t)=e t H(s)= 2 s 2 1, s {s 1<Re(s)<1} A função de transferência é racional e a ROC não é a região à direita do pólo mais à direita: o sistema não é causal. Sinais e Sistemas p.40/60

69 Exemplo Considere um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= es s+1, s {s Re(s)> 1} Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se é causal. Sinais e Sistemas p.41/60

70 Exemplo Considere um sistema linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= es s+1, s {s Re(s)> 1} Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se é causal. Solução: t, h(t)=e (t+1) u(t+1) O sistema não é causal apesar da ROC ser a região à direita do pólo mais à direita: a função de transferência não é racional. Sinais e Sistemas p.41/60

71 Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. Sinais e Sistemas p.42/60

72 Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. Nesse caso sua a transformada de Fourier converge. Sinais e Sistemas p.42/60

73 Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. Nesse caso sua a transformada de Fourier converge. Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada de Laplace tem de incluir o eixo imaginário (s = jω). Sinais e Sistemas p.42/60

74 Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável. Nesse caso sua a transformada de Fourier converge. Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada de Laplace tem de incluir o eixo imaginário (s = jω). Um SLIT é estável se e só se a ROC da função de transferência H(s) incluir o eixo imaginário. Sinais e Sistemas p.42/60

75 Exemplo Considere um sistema estável linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= s 1 (s+1)(s 2) Determine a resposta ao impulso do sistema. Sinais e Sistemas p.43/60

76 Exemplo Considere um sistema estável linear e invariante no tempo com a seguinte função de transferência: H(s)= s 1 (s+1)(s 2) Determine a resposta ao impulso do sistema. Solução: Apesar de não ser dada a região de convergência, é dito que o sistema é estável, pelo esta inclui o eixo imaginário: {s 1<Re(s)<2} t, h(t)= 2 3 e t u(t) 1 3 e2t u( t) Sinais e Sistemas p.43/60

77 Causalidade e Estabilidade Um sistema causal com função de transferência H(s) racional é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa). Sinais e Sistemas p.44/60

78 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e 2t u(t) Comente a causalidade e estabilidade do sistema. Sinais e Sistemas p.45/60

79 Exemplo Determine a região de convergência da função de transferência do sistema com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e 2t u(t) Comente a causalidade e estabilidade do sistema. Solução: H(s)= 1 s 2, s {s Re(s)>2} O sistema é causal mas é instável porque tem um pólo no semi-plano direito. Sinais e Sistemas p.45/60

80 Equações Diferenciais Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: N k=0 a k d k y(t) dt k = M k=0 b k d k x(t) dt k Sinais e Sistemas p.46/60

81 Equações Diferenciais Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: N k=0 a k d k y(t) dt k = M k=0 b k d k x(t) dt k Aplicando a propriedade da diferenciação: H(s)= Y(s) X(s) = M k=0 b k s k N k=0 a ks k Sinais e Sistemas p.46/60

82 Exemplo Considere um sistema linear e invariante no tempo em que a entrada x(t) e a saída y(t) se relacionam pela equação diferencial: t, dy(t) dt + 3y(t)= x(t) Verifique que a equação diferencial não especifica por completo o sistema. Sinais e Sistemas p.47/60

83 Exemplo Solução: H(s)= 1 s+3 Sem mais informação não conseguimos determinar a região de convergência. Se o sistema for causal: H(s)= 1 s+3, s {s Re(s)> 3} a resposta ao impulso será: t, h(t)=e 3t u(t) Sinais e Sistemas p.48/60

84 Exemplo Considere que se conhecem os seguintes factos acerca de um SLIT: 1. o sistema é causal; 2. a função de transferência é racional e tem dois pólos em s= 2 e s=4; 3. se x(t)=1então y(t)=0; 4. a resposta impulsiva em t=0 + vale 4. Determine a sua função de transferência. Sinais e Sistemas p.49/60

85 Exemplo Considere que se conhecem os seguintes factos acerca de um SLIT: 1. o sistema é causal; 2. a função de transferência é racional e tem dois pólos em s= 2 e s=4; 3. se x(t)=1então y(t)=0; 4. a resposta impulsiva em t=0 + vale 4. Determine a sua função de transferência. Solução: H(s)= 4s (s+2)(s 4), Re(s)>4 Sinais e Sistemas p.49/60

86 Representação da Amplitude da TF A propriedade da transformada de Fourier da convolução aplicada a um sistema linear e invariante no tempo: Y( jω)=h( jω)x( jω) Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier representa-se muitas vezes na forma logarítmica: 20 log 10 ( Y( jω) )=20 log 10 ( H( jω) )+20 log 10 ( X( jω) ) Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel (db). Sinais e Sistemas p.50/60

87 Décibel (db) H( jω) db = 20 log 10 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude 1. Sinais e Sistemas p.51/60

88 Décibel (db) H( jω) db = 20 log 10 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude db corresponde a um ganho de 10 vezes. Sinais e Sistemas p.51/60

89 Décibel (db) H( jω) db = 20 log 10 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude db corresponde a um ganho de 10 vezes. 20 db corresponde a uma atenuação de 0,1. Sinais e Sistemas p.51/60

90 Décibel (db) H( jω) db = 20 log 10 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude db corresponde a um ganho de 10 vezes. 20 db corresponde a uma atenuação de 0,1. 6 db corresponde a uma atenuação aproximada 0,5. Sinais e Sistemas p.51/60

91 Décibel (db) H( jω) db = 20 log 10 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude db corresponde a um ganho de 10 vezes. 20 db corresponde a uma atenuação de 0,1. 6 db corresponde a uma atenuação aproximada 0,5. +6 db corresponde a um ganho aproximada de 2. Sinais e Sistemas p.51/60

92 Escala de Frequências Logarítmica A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log 10 (ω) ou log 10 ( f ) é comum em sistema contínuos. Sinais e Sistemas p.52/60

93 Escala de Frequências Logarítmica A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log 10 (ω) ou log 10 ( f ) é comum em sistema contínuos. Esta representação permite uma visualização mais compacta de uma gama de frequências do que a representação linear. Sinais e Sistemas p.52/60

94 Escala de Frequências Logarítmica A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log 10 (ω) ou log 10 ( f ) é comum em sistema contínuos. Esta representação permite uma visualização mais compacta de uma gama de frequências do que a representação linear. A escala logarítmica de frequências permite uma aproximação assimptótica de sistemas contínuos, lineares e invariantes definidos por uma equação diferencial. Sinais e Sistemas p.52/60

95 Determinação Geométrica da CTFT As transformada de Laplace racionais podem ser representadas na forma: Fazendo s= jω: X(s)= M ΠR i=1 (s β i) Π P i=1 (s α i) X( jω) = M ΠR i=1 jω β i Π P i=1 jω α i R X( jω) = ( jω β i ) i=1 P i=1 ( jω α i ) Sinais e Sistemas p.53/60

96 Avaliação vectorial jω β i é o módulo do vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω; Sinais e Sistemas p.54/60

97 Avaliação vectorial jω β i é o módulo do vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω; jω α i é o módulo do vector desde o póloα i ao ponto s= jω; Sinais e Sistemas p.54/60

98 Avaliação vectorial jω β i é o módulo do vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω; jω α i é o módulo do vector desde o póloα i ao ponto s= jω; ( jω β i ) é ângulo que o vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω faz com o eixo real; Sinais e Sistemas p.54/60

99 Avaliação vectorial jω β i é o módulo do vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω; jω α i é o módulo do vector desde o póloα i ao ponto s= jω; ( jω β i ) é ângulo que o vector desde o zeroβ i ao ponto s= jω faz com o eixo real; ( jω α i ) é o ângulo que o vector desde o póloα i ao ponto s= jω faz com o eixo real. Sinais e Sistemas p.54/60

100 Exemplo Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao sinal com transformafa de Laplace: X(s)= 1 s+1, Re(s)> 1 Sinais e Sistemas p.55/60

101 Exemplo Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao sinal com transformafa de Laplace: X(s)= 1 s+1, Re(s)> 1 X( jω) 2 = 1 ω 2 +(1) 2 X( jω) = tan 1 (ω) Sinais e Sistemas p.55/60

102 Sistema de 1 a Ordem A transformada de Laplace: h(t)= 1 τ e t/τ u(t) H(s)= 1 sτ+1, Re(s)> 1 τ Pólo: s= 1 τ Sinais e Sistemas p.56/60

103 Sistema de 2 a Ordem em que h(t)= M [ e c 1t e c 2t ] u(t) c 1 = ζω n +ω n ζ2 1, c 2 = ζω n ω n ζ2 1, M= ω n 2 ζ 2 1 A transformada de Laplace: H(s)= ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 n = ω 2 n (s c 1 )(s c 2 ), Re(s)> ζω n ζ> 1, pólos reais Sinais e Sistemas p.57/60

104 Conclusões A transformada de Laplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Sinais e Sistemas p.58/60

105 Conclusões A transformada de Laplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros. Sinais e Sistemas p.58/60

106 Conclusões A transformada de Laplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros. A localização dos pólos e da região de convergência permitem determinar características como a causalidade e a estabilidade. Sinais e Sistemas p.58/60

107 Conclusões A transformada de Laplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier. Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros. A localização dos pólos e da região de convergência permitem determinar características como a causalidade e a estabilidade. A partir do mapa de pólos e zeros permite obter geometricamente a transformada de Fourier à parte um factor de escala. Sinais e Sistemas p.58/60

108 FIM Sinais e Sistemas p.59/60

109 Sinais e Sistemas p.60/60