MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA LUGAR DAS RAÍZES

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA LUGAR DAS RAÍZES A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada é: F(s) = C(s) = G(s) R(s) 1+ G(s).H(s) R(s) + G(s) C(s) - H(s) A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é chamado função de transferência em malha aberta. O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada, pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é: 1 + G(s).H(s) = 0 A qual é chamada equação característica. REGRA 1 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na forma: 1 + K (s - z 1 ).(s - z 2 )...(s - z m ) = 0 (s - p 1 ).(s - p 2 )...(s - p n ) Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S. Exemplo: Considere o sistema: G(s) = K s.(s+1) H(s) = (s+2) (s+3).(s+4) Então: 1 + K. (s+2) = 0 s.(s+1) (s+3).(s+4) CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 1

2 Desenhando os pólos e zeros de malha aberta: x x o x x σ REGRA 2 PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n m), o lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de malha aberta ou no infinito. Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão terminar no infinito seguindo assíntotas. EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três terminarão no infinito. REGRA 3 LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita do ponto for impar. EXEMPLO: Para o exemplo anterior: x x o x x σ REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são: β = ± 180(2N +1) [ N = 0,1,2,... ] n - m Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto σ dado por: σ = (p 1 + p 2 +p p n ) - (z 1 + z z m ) n - m CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 2

3 Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são: β = ± 180(2N +1) 3 Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por: σ = ( ) -(-2) = o +60 o x x o x x σ -60 o REGRA 5 PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não existir nenhum ponto de entrada ou saída. Se a equação característica é dada por: 1 + k.b(s) = 0 A(s) Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por: A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0 Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s. EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é: 1 + K. (s+2) = 0 s.(s+1) (s+3).(s+4) Então: B(s) = s+2 A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s 4 + 8s s s Então diferenciando com respeito a s: B'(s) = 1 A'(s) = 4.s s s + 12 CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 3

4 O ponto de saída obtido foi: s = REGRA 6 CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo s= na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se achar a solução para K e ω. EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=: 1 + K. (+2) = 0.( +1) (+3).( +4).( + 1).( + 3).( + 4) + k.( + 2) = 0 Separando parte real e imaginária: ω=2.57 e K=41 =2,57 (k=41) k=0 k=0 k= k=0 k=0 x x o x x σ REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se usar a condição de módulo. Da equação característica: 1 + K.G.H = 0 K.G.H = -1 k = - 1/(G.H) Então : k = 1/(G.H) Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em relação à este ponto do lugar das raízes. Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário. GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4)) k = s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2) onde s=2.57j k = 40,9 CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 4

5 De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado: k = s m s -p i s - p 2... = A. B. D. E = 41,2 s-z 1 s - z 2... C A B C D E 2,57 REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO A condição de ângulo é definida como: G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, ±1, ±2,... Escrevendo de outra forma: β = numerador - denominador = (1+2.L).180 Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário. Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição angular. Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes valores de s satisfazem simultaneamente a condição de módulo. Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes da equação característica. Exemplo: da figura acima: Para os pólos: θ 1 = 32,50 o θ 2 = 40,5 o θ 3 =70 o θ 4 =90 o Para o zero: ψ 1 =51,5 o então: β = θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 - ψ 1 = 181,5 o =(1+2L).180 o Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes. REGRA 9 ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos) por: O ângulo de partida (θ p ), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 5

6 θ p = arg(gh)' onde: arg(gh)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas ignorando a contribuição daquele pólo particular. Exemplo: K (s+2) GH = (s j)(s+ 1 - j) O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O resultado obtido é 45 o. O ângulo de partida é θ p = = 135 o σ O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por: θ c = arg(gh)' onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito daquele zero. Exemplo: k.(s+ j)(s-j) GH = S(s+1) O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é θ c = 180 -(-45) = 225 o 225 o -1 σ REGRA 10 MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o sistema de malha fechada se torne instável. CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 6

7 Margem de ganho = Valor de K no cruzamento do eixo imaginário Valor atual de K Se o lugar das raízes não cruza o eixo, a margem de ganho é infinita. Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto 1, sobre o eixo, para o qual GH( 1 ) =1, para o valor atual de k, isto é: Gh() =1 K N() =1 D() K = D( 1 ) N( 1 ) Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar 1. A margem de fase é calculada a partir de arg(gh( 1 )) como: φ PM = 180 o + arg(gh( 1 )) REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES Dado um sistema de segunda ordem: GH = K (s + p1)(s+p2) o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado (ξ), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da origem a um ângulo θ com o eixo real negativo onde: linha de ξ cte θ = cos -1 ξ θ σ O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor requerido de k k para ξ especificado θ σ CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 7

8 Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto só é válido se estes pólos complexos forem dominantes. RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau unitário aplicado na entrada. OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O que muda é a interpretação com relação à região de estabilidade. Exercícios 1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de estabilidade. (s+ 10) (s+ 6) (s - 5)(s + 8) 2 ( s - 1)(s + 2) 2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite aplicando o critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre que o critério de ângulo pode ser usado para determinar o lugar das raízes. (s + 2) s (s + 1) ( s +5)(s + 9) CEFET-PR APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES Prof. Brero 8