Unidade V - Desempenho de Sistemas de Controle com Retroação

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1 Unidade V - Desempenho de Sistemas de Controle com Retroação Introdução; Sinais de entrada para Teste; Desempenho de um Sistemas de Segunda Ordem; Efeitos de um Terceiro Pólo e de um Zero na Resposta Sistemas de Segunda Ordem; Estimativa da Relação de Amortecimento; Localização das Raízes no Plano s e a Resposta Transitória; Erro de Estado Estacionário de Sistemas de Controle com Retroação; Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Não-Unitária; Índice de Desempenho; A Simplificação de Sistemas Lineares; Exemplo de Projeto e Desempenho de Sistema usando MATLAB.

2 Estimativa da Relação de Amortecimento A Relação de amortecimento pode ser calculada a partir do sistema a uma excitação em degrau. A Resposta ao degrau unitário de um sistema de a. Ordem é ζωn y( t) e t sen( ωnβt + θ ) β onde Portanto, a freqüência do termo senoidal amortecido para < é E o numero de ciclos em um segundo é /. β ζ θ ζ < ζ <, cos, e 0 ω ωn ζ ωnβ A constante de tempo para o descaimento exponencial é / n em segundos. O no. de ciclos da senóide amortecida durante uma constate de tempo é ω ωnβ β ( ciclos / s) τ πζω πζω πζ Admitindo-se que a resposta decaia n constantes de tempo visíveis n ciclos visíveis n nβ πζ

3 Para o sistema de a. Ordem a resposta ao degrau permanece no interior da faixa de % do valor de estado estacionário após 4 constates de tempo (4 ). Portanto, n4 nβ 4 ζ 0,55 ciclos visíveis para 0, ζ 0,6 πζ πζ ζ Como Exemplo: Examinar a resposta para 0,4, conta-se,4 ciclos visíveis (para ±%). Estima-se o valor de como ζ 0,55 0,55 0,39 ciclos,4 É possível usar esta aproximação para sistema com pólos complexos dominantes de modo que T ( s) s ω n + ζωns + ωn Pode-se estimar a relação de amortecimento a partir da resposta real de um sistema físico. Outro Método: A partir do M p % 5% 3

4 Outro Método: A partir da sobre-elevação percentual M p % 5% 4

5 Localização das Raízes no Plano s e a Resposta Transitória A resposta transitória de um sistema de controle com retroação a malha fechada pode ser descrita em termos da localização dos pólos da FT. Y ( s) Pi ( s) i( s) T ( s) ( s) 0 é a Equação Característica R( s) ( s) A resposta de um sistema sem raízes repetidas ao Degrau unitário será: A B s + C Y( s) + + s s s s ( ) M N i k k i + σ i k + αk + αk + ωk A Transformada de Laplace Inversa é M N σit αkt i k ωk k i k y( t) + Ae + D e sen( t + θ ) A Resposta é composta:. Estado estacionário. Termos exponenciais 3. Termos senoidais com amortecimento 5

6 Resposta ao Impulso para várias localizações de raízes O Projetista ser capaz de antever os efeitos provocados pela adição, supressão ou deslocamento de pólos e zeros de T(s) no plano s sobre as respostas ao degrau e ao impulso. Os pólos de T(s) determinam os modos particulares da resposta e os zeros de T(s) estabelecem os pesos relativos das funções correspondentes aos modos individuais. 6

7 Erro de Estado Estacionário de Sistemas de Controle com Retroação O erro de RP de um sistema a MF estável é normalmente muitas ordens de magnitude menor que o erro do sistema a MA. O sinal atuante no sistema é designado de E a (s). Contudo o erro real do sistema é E(s)R(s)-Y(s). Para um sistema a MF tem-se [ + GH ( s) G( s) ] G( s) E( s) R( s) R( s) R( s) + GH ( s) + GH ( s) O Erro do sistema é igual E a (s) quando H(s). Então E( s) R( s) + G ( s ) O Erro de estado estacionário quando H(s), é assim ENTRADA DEGRAU: R(s)A/s s( A/ s) e ss lim + G ( s ) + G (0) sr( s) + lim e( t) ess lim t G ( s ) K ( s + zi) É a forma da FT de MA G(s) que determina o e ss. Assim i G( s) Q N s ( s + p ) A M k k 7

8 A FT de MA à medida que s tende a zero depende do numero N de integrações. Se N for maior que zero, então G(0) tende a infinito e o e ss tende a zero. O n o. de integradores é normalmente indicado rotulando-se o sistema como sendo do tipo N. N Assim, para um sistema do tipo zero, N0, o e ss é e ss A + G(0) A constante G(0) é designada por K p, a constante de erro de posição, É dada por K p lim G( s) K + A M i Q k p z k i Assim, o e ss para R(s)A/s é e ss A + K p Portanto, o e ss para R(s)A/s com um ou mais integradores é zero. e ss M M lim N A As lim 0 K zi K zi i N i + Q s + Q N s p p k k k k 8

9 ENTRADA EM RAMPA: r(t) At R(s)A/s s( A/ s ) A A O erro de estado estacionário é assim ess lim lim lim s 0 + G( s) s 0 s + sg( s) s 0 sg( s) Novamente, o e ss depende do n o. de integrações N. Para um sistema do tipo zero, N0, o e ss é infinito. Para um sistema do tipo um, N, o erro é A A A ess lim + + / + K z p K { K ( s z ) ( ) } ( ) / ( ) i s s p k Onde K v é designada a constante de erro de velocidade Quando a FT possuir dois ou mais integradores o e ss é nulo. Quando N, existirá um e ss. Contudo a velocidade em RP na saída será igual à velocidade de entrada. i k v K v lim sg( s) ENTRADA EM PARABOLA: r(t) At / R(s)A/s 3 3 s( A/ s ) A ess lim lim O erro de estado estacionário é infinito para um 0 + G( s) s s G( s) integrador; para dois integradores, N, obtém-se A A ess K ( zi ) / ( pk ) K Onde K a a é a constante de erro de aceleração K a lim s G( s) 9

10 Erro de Estado Estacionário de Sistemas de Controle com Retroação Os sistemas são muitas vezes descritos em termos do seu tipo e das constantes de erro, K p, K v, K a. N o. de Integradores de G(s), Tipo de Sistemas Degrau r(t)a, R(s)A/s Rampa At, A/s Parábola At /, A/s 3 0 e ss A/(+K p ) e ss 0 A/K v e ss 0 0 A/K a 0

11 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Não-Unitária Um sistema com retroação genérico Por exemplo, um sistema de controle de velocidade As constantes K e K levam em conta a conversão de um conjunto de unidades para outro conjunto de unidades. Pode-se selecionar K K e deslocar K e K para depois do ponto de soma.

12 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Não-Unitária Sendo H ( s) K ( τ s + ) Possui um ganho estático lim H ( s) Fator K é um fator de conversão de unidades. Se K K, o erro do sistema é Sabendo que a FT é Portanto, K KG( s) T( s) + K G ( s ) E( s) R( s) + K G ( s ) [ ] E( s) R( s) Y ( s) T ( s) R( s) O erro de RP para uma excitação em degrau unitário é e ss lim se( s) + K G(0)

13 Exemplo: Erro Estacionário Seja determinar o valor de K e calcular o erro de RP para uma entrada em degrau unitário para o sistema da figura. 40 G( s) s + 5 H ( s) 0 K s + 0 0,s + Reescrevendo H(s) como H ( s) 0,s + Escolhendo-se K K, é possível utilizar a equação de e ss para determinar e ss + K G(0) + (8) 7 Ou 5,9% da magnitude do sinal de entrada em degrau 3

14 Exemplo: Sistema com retroação Seja considerar o sistema abaixo, em que se considera não possível introduzir um ganho K em seguida a R(s). Sendo o erro real dado por [ ] E( s) R( s) Y ( s) T ( s) R( s) Determinar um ganho K apropriado de modo que o e ss ao degrau seja minimizado. Onde, Então, 4K T(0) 8 + K [ ] e lim s T ( s) ss G( s) K( s + 4) T ( s) + G( s) H ( s) ( s + )( s + 4) + K O e ss para uma entrada em degrau unitário é s ess [ T (0)] Assim, para se obter o e ss nulo, é necessário que 4K T (0) 8 + K Ou 8+K4K. Assim K4 conduzirá a um erro estacionário nulo. 4

15 Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que a ênfase seja dada as especificações de sistema importantes A medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para:. Operação de sistemas de controle adaptativos,. Otimização paramétrica de sistemas de controle, 3. Controle ótimo Um sistema de controle é considerado ótimo quando seus parâmetros são ajustados de modo que o índice alcance um valor extremo, comumente um valor mínimo. Um índice de desempenho para ser útil deve ser um numero positivo ou nulo. O melhor sistema é definido como o sistema que minimiza este índice. Índices de Desempenho mais usados:. ISE (Integral of the Square of the Error) Integral do quadrado do Erro. IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error) Integral do valor absoluto do erro 3. ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute of the Error) Integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro. 4. ITSE (Integral of Time multiplied by the Squared Error) - Integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro. 5

16 . ISE (Integral of the Square of the Error) Integral do quadrado do Erro ISE T e dt 0 O limite superior é um tempo escolhido de modo que a integral tenda a um valor estacionário. Resposta a um degrau para um sistema de controle Este sistema irá discriminar sistemas excessivamente superamortecidos dos subamortecidos.. IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error) Integral do valor absoluto do erro IAE T 0 e( t) dt Particularmente útil para implementação em computador 6

17 3. ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute of the Error) Integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro. ITAE Indicado para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral de desempenho, bem enfatizar os erros que acontecem mais tarde na resposta. 0 t e( t) dt 4. ITSE (Integral of Time multiplied by the Squared Error) - Integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro. T ITSE T 0 te ( t) dt Melhor seletividade dentre os índices de desempenho, pois o valor mínimo da integral é prontamente discernível ao serem variados os parâmetros do sistema. Forma geral da integral de desempenho T I f ( e( t), r( t), y( t), t) dt 0 7

18 Exemplo: Critério de Desempenho Um sistema de controle com retroação monomalha, onde a freqüência natural é o valor normalizado, n. A FT a malha fechada é T ( s) s + ζ s + Três critérios de desempenhos ISE, ITSE e ITAE 8