SISTEMAS DE CONTROLE I Capítulo 6 - Estabilidade. Prof. M.e Jáder de Alencar Vasconcelos

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1 SISTEMAS DE CONTROLE I Capítulo 6 - Estabilidade Prof. M.e Jáder de Alencar Vasconcelos

2 CAPÍTULO 6 INTRODUÇÃO

3 INTRODUÇÃO No Capítulo 1, vimos que três requisitos fazem parte do projeto de um sistema de controle: resposta transitória, estabilidade e erros em regime permanente. A estabilidade é a especificação de sistema mais importante. Caso um sistema seja instável, a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante. Um sistema instável não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de erro em regime permanente.

4 INTRODUÇÃO Um sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito. Um sistema linear invariante no tempo é instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo tende a infinito. Um sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável caso a resposta natural não decaia nem aumente, mas permaneça constante ou oscile à medida que o tempo tende a infinito. Dessa forma, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural tende a zero.

5 INTRODUÇÃO Como determinamos se um sistema é estável? Polos no semiplano da esquerda produzem respostas naturais de decaimento exponencial puro ou senoides amortecidas. Essas respostas naturais tendem a zero à medida que o tempo tende a infinito. Assim, se os polos do sistema em malha fechada estiverem na metade esquerda do plano s (parte real negativa) o sistema será estável. Isto é, os sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semiplano daesquerda.

6 INTRODUÇÃO Os polos no semiplano da direita produzem respostas naturais de exponenciais crescentes puras ou senoides exponencialmente crescentes. Assim, se os polos do sistema em malha fechada estiverem na metade direita do plano s (parte real positiva) o sistema será instável. Além disso, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à soma de respostas da forma At n cos(ωt + φ), em que n = 1, 2,... que também tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito.

7 INTRODUÇÃO Portanto, os sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semiplano da direita e/ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário.

8 INTRODUÇÃO

9 INTRODUÇÃO

10 INTRODUÇÃO Nem sempre é simples determinar se um sistema de controle com realimentação é estável. Infelizmente, um problema típico que surge é mostrado nas figuras anteriores: embora conheçamos os polos da função de transferência à frente, não sabemos a posição dos polos do sistema em malha fechada equivalente sem fatorar ou calcular explicitamente as raízes do denominador.

11 INTRODUÇÃO Em certas condições, podemos tirar algumas conclusões sobre a estabilidade do sistema: Se potências de s estiverem faltando, o sistema é instável ou, na melhor das hipóteses, marginalmente estável. Se nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada são iguais o sistema é instável.

12 Critério de Routh-Hurwitz Método que fornece informações sobre a estabilidade sem a necessidade de se calcular os polos do sistema em malha fechada. Utilizando este método, podemos dizer quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω.

13 Critério de Routh-Hurwitz O método requer dois passos: 1. gerar uma tabela de dados chamada de tabela de Routh e 2. interpretar a tabela de Routh para dizer quantos polos de sistema em malha fechada estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e sobre o eixo jω.

14 Construindo uma Tabela de Routh Básica Comece rotulando as linhas com potências de s, indo da potência mais alta do denominador da função de transferência em malha fechada até s 0 Em seguida, inicie com o coeficiente da potência mais alta de s no denominador e liste, horizontalmente, na primeira linha, os demais coeficientes, mas sempre pulando um coeficiente. Na segunda linha liste, horizontalmente, começando com a segunda potência mais alta de s, todos os coeficientes que foram pulados na primeira linha.

15 Construindo uma Tabela de Routh Básica Os elementos remanescentes são preenchidos da seguinte forma: cada elemento é o negativo do determinante de elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento na primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada. A coluna da esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores, e a coluna da direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita.

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18 Exemplo Construa a tabela de Routh para o sistema mostrado na Figura abaixo:

19 Interpretando a Tabela Básica de Routh A tabela de Routh básica se aplica a sistemas com polos nos semiplanos esquerdo e direito. O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que estão no semiplano direito é igual ao número de mudanças desinal na primeira coluna. Se a função de transferência em malha fechada possui todos os polos na metade esquerda do plano s, o sistema é estável. Assim, um sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh.

20 Para o exemplo anterior

21 Critério de Routh-Hurwitz: Casos especiais - Zero na Primeira Coluna Caso o primeiro elemento de uma linha seja zero, uma divisão por zero seria necessária para formar a próxima linha. Para evitar esse fenômeno, um épsilon, e, é designado para substituir o zero na primeira coluna. O valor e é então feito tender a zero pelo lado positivo ou pelo lado negativo, após o que os sinais dos elementos na primeira coluna podem ser determinados.

22 Critério de Routh-Hurwitz: Casos especiais - Zero na Primeira Coluna Outro método que pode ser utilizado quando um zero aparece apenas na primeira coluna de uma linha é deduzido a partir do fato de que um polinômio que tenha raízes recíprocas das raízes do polinômio original possui suas raízes distribuídas da mesma forma semiplano da direita, semiplano da esquerda ou eixo imaginário. Assim, caso possamos obter o polinômio que possui as raízes recíprocas das do polinômio original, é possível que a tabela de Routh para o novo polinômio não tenha um zero na primeira coluna.

23 Exemplo

24 ATIVIDADE Leitura do Capítulo 6 Pag 449 a 461

25 OBRIGADO!!