Sistemas e Sinais (LEE & LETI)

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1 Sistemas e Sinais (LEE & LETI) Laboratório nº 3: Sistemas Contínuos Modelo de Estado e Função de Transferência Preparado por Isabel Lourtie pfpfpf Trabalho Experimental pfpfpf Grupo nº Turno Nº Nome: Nº Nome: Nº Nome: 1. Introdução pfpfpf Este trabalho de laboratório aborda os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLITs) contínuos modelizados através da função de transferência e do modelo de estado. Usando a função de transferência observa-se o efeito de um ganho na localização dos polos do sistema realimentado. Utilizando o modelo de estado observam-se a sua resposta ao sinal de entrada nulo e as correspondentes trajectórias de estado, relacionando-as com a estabilidade do sistema. A componente experimental deste trabalho de laboratório utiliza, para além deste guia/relatório, os ficheiros LGR.m, SEHom.m e Trajectorias.m que deverão ser copiados para a directoria de trabalho no Matlab. No final da aula de laboratório os alunos devem: 1. entregar o relatório ao docente; 2. submeter, através do sistema Fénix, um ficheiro.zip (ou.rar) com todas as figuras (em formato jpg) solicitadas no trabalho. 1

2 2. Função de transferência Sistemas e Sinais - 3º trabalho de laboratório Nesta secção irá utilizar a função LGR fornecida em anexo para representar automaticamente em função de >0 o lugar geométrico dos polos da função de transferência,, do sistema em cadeia fechada dados os polinómios do numerador e do denominador da função de transferência,, do sistema não realimentado, ver Figura 1. + Figura 1 Faça help LGR para ver como chamar a função. Os polinómios do numerador e do denominador de definem-se através de um vector linha com os coeficientes das potências de por ordem decrescente. Por exemplo, o polinómio = é representado pelo vector linha P=[1 3 2] A função LGR representa a encarnado os polos e zeros (caso existam) de (sistema não realimentado), e a azul a evolução da localização dos polos de para >0. Adicionalmente, esta função determina, caso existam, os pontos do lugar geométrico dos polos em que os ramos se cruzam com o eixo imaginário e com o eixo real. Para qualquer destes casos é também determinado o correspondente valor do ganho. Esta informação é escrita na janela de comandos do MatLab. a) (1 val.) Considere a função de transferência 1 = +3 1 definida na secção 2. da Preparação Prévia. Utilize a função LGR fornecida em anexo para representar o lugar geométrico dos polos de (Figura ). Verifique que o gráfico obtido na alínea 2.d) da Preparação Prévia é concordante com o resultado desta alínea. Use esse facto para perceber a forma como varia a localização dos polos do sistema em cadeia fechada em função do ganho 0, e interpretar os resultados (gráfico e informação escrita na janela de comandos do MatLab) fornecidos pela função LGR. Quando =0, quais são os polos do sistema realimentado? Para que valores tendem os polos do sistema realimentado quando +? 2

3 Para que valores de >0 o sistema é estável? Para que valores de >0 os polos de são complexos conjugados? b) (2 val.) Considere = Note que o sistema não realimentado possui, para além dos mesmos polos do sistema considerado em 2.a), um zero no semiplano complexo esquerdo em = 6. Utilize a função LGR para representar o lugar geométrico dos polos de (Figura ). Descreva como é que evolui a localização dos polos de quando 0 aumenta. Para que valores tendem os polos de quando +? Para que valores de >0 os polos de são complexos conjugados? Para que valores de >0 o sistema é estável? Compare o gráfico obtido nesta alínea com o da alínea 2.a) e diga de que forma o zero em = 6 influenciou o lugar geométrico dos polos de. 3

4 c) (1.5 val. ) Considere = Note que o sistema não realimentado possui, para além dos mesmos polos e zeros do sistema considerado em 2.b), um zero no semiplano complexo esquerdo em = 10. Utilize a função LGR para representar o lugar geométrico dos polos de (Figura ). Para que valores tendem os polos de quando +? Para que valores de >0 os polos de são complexos conjugados? Para que valores de >0 o sistema é estável? Compare o gráfico obtido nesta alínea com o da alínea 2.b) e diga de que forma o zero em = 10 influenciou o lugar geométrico dos polos de. d) (2 val.) Considere = Note que o sistema não realimentado possui, para além dos mesmos polos do sistema considerado em 2.a), um polo no semiplano complexo esquerdo em = 6. Utilize a função LGR para representar o lugar geométrico dos polos de (Figura ). Descreva como é que evolui a localização dos polos de quando 0 aumenta. 4

5 Para que valores tendem os polos de quando +? Para que valores de >0 o sistema é estável? Compare o gráfico obtido nesta alínea com o da alínea 2.a) e diga de que forma o polo em = 6 influenciou o lugar geométrico dos polos de. 3. Modelo de estado Nesta secção irá usar a função SEHom para determinar a evolução temporal do sinal de saída,, e do vector de estado,, ao sinal de entrada nulo, i.e., determinar a solução da equação de estado homogénea = e a saída = dados a matriz da dinâmica, o vector linha de saída 1, o vector de estado inicial 0 1 e os instantes de tempo. Considere o sistema realimentado cujo modelo de estado = = 1 0 foi determinado na secção 3.b) da Preparação Prévia e cuja estabilidade em função de 0 foi analisada nas secções 2.d) da Preparação Prévia e 2.a) do Trabalho Experimental. a) (0.5 val.) Considere 0 10 seg e um incremento temporal Δ =0.005 seg. Nesta secção pretende-se obter a resposta no tempo, e a evolução temporal do vector de estado, do sistema em cadeia fechada com entrada nula (solução da equação de estado homogénea). Para condições iniciais 0 = 0 0 = 1 1, 1 1, e ganhos =2,3,4,8 pretende-se representar graficamente as respostas no tempo dos sistemas em função de (Figura: ); as trajectórias no plano de estados, i.e., o gráfico de em função de (Figura: ). Para obter estes gráficos pode utilizar o script Trajectorias fornecido em anexo que, por sua vez, usa a função SEHom para determinar a solução da equação de estado homogénea. Este script gera 2 figuras, cada uma com quatro gráficos, um por cada valor 5

6 de, com as respostas no tempo e com as trajectórias no plano de estados. Em cada um dos gráficos sobrepõem-se os resultados para as duas condições iniciais dadas: a azul para 0 = 1 1 e a encarnado para 0 = 1 1. b) (1.5 val.) A estabilidade de um sistema descrito pelo modelo de estado pode ser avaliada a partir da sua resposta no tempo com entrada nula a condições iniciais não nulas. Esta resposta indica-nos o comportamento do regime transitório do sistema, pelo que num sistema estável deverá convergir para zero quando +. Caso contrário, o sistema é instável de acordo com a definição de estabilidade de entrada limitada saída limitada. No entanto, quando a resposta à entrada nula não converge para zero mas é um sinal limitado, o sistema ainda responde com sinais limitados à maioria dos sinais de entrada limitados. Neste caso, diz-se que o sistema é criticamente (ou marginalmente) estável. Dos quatro sistemas testados, dois são estáveis, um é instável e um é criticamente estável. Que valores de correspondem a cada um deles? Relacione com os resultados das alíneas 2.d) e 3.d) da Preparação Prévia. c) (1.5 val.) Quando +, e para cada uma das condições iniciais dadas, para que ponto do plano de estados convergem cada uma das trajectórias de estado dos quatro sistemas testados? Tendo em conta os resultados da alínea 3.b) sobre a estabilidade de cada um dos sistemas, para que ponto do plano de estados convergem as trajectórias de estado dos sistemas estáveis? 6