Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares Sistemas lineares

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1 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4.Sistemas lineares Objectivo: Após completar este módulo o aluno deverá ser capaz de relacionar o tipo de resposta no tempo com a estrutura do sistema linear, definida pela posição dos pólos e dos zeros na função de transferência e pelos valores próprios e vectores próprios no modelo de estado. Bibliogrfaia: Franklin, Powell e Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley. Cap. e 6. A parte relativa à função de transferência corresponde à consolidação de matéria estudada em Sinais e Sistemas.

2 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. Modelos de sistemas lineares em tempo contíuo a) Modelo de estado b) Função de transferência & x ( ) x x ( t) Ax( t) + Bu( t) y ( t) Cx( t) + Du( t) G( s) b s + b s m m n n s + as + K+ b + K+ a n m Pólos: Raízes do denominador; Determinam o tipo de resposta Zeros: Raízes do numerador

3 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 3 Cálculo da função de transferência a partir do modelo de estado: C adj( si A) b G( s) det( si A) Pólos: Raízes do polinómio característico da matriz A dado por a( s) det( si A) PólosValores próprios da matriz A Zeros: Raízes do polinómio b ( s) C adj( si A) b

4 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Relação entre a posição dos pólos e a resposta impulsiva (contínuo)

5 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 Teoremas do valor inicial e final (Transformada de Laplace) { f ( t) } F( s) TL Teorema do valor inicial lim f ( t) t s + lim sf( s) Teorema do valor final lim t + f ( t) lim sf( s) s

6 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 6 Resposta ao escalão de sistemas contínuos u(s)/s t G(s) y(s)g(s)/s Valor final da resposta da resposta ao escalão unitário: lim t + y( t) lim sy( s) s G( s) lim s s s G() O ganho estático de um sistema linear é dado por G (). Isto tem uma interpretaçâo simples em termos da resposta em frequência como o ganho à frequência ω.

7 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 7 Valor inicial da resposta: lim y( t) lim sy( s) lim s G( s) + s t s + s s + Nº pólos > nº zeros Resposta ao escalão contínua lim G( s) Nº pólos nº zeros Resposta ao escalão descontinuidade com salto finito Nº pólos < nº zeros Resposta ao escalão descontinuidade, salto infinito

8 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 8 Valor inicial da derivada da resposta ao escalão: lim y& ( t) lim sl & { y( t) } lim s Y ( s) lim s G( s) lim sg( s) t s + s + s + s + Nº pólos > nº zeros+ Derivada da resposta ao escalão contínua s Nº pólos nº zeros+ Derivada da resposta ao escalão descontínua, finita Nº pólos < nº zeros+ Derivada da resposta ao escalão descont., infinita

9 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 9 Exemplos Usando os teoremas do valor inicial e final para a resposta e a sua derivada, e o facto de os pólos serem reais, esboce qualitativamente a forma da resposta ao escalão dos sistemas com função de transferência: a) ( G s) G s + b) ( s) ( s + ) c) 3( ) s s G s G ( s + ) d) 4( s) ( s + )

10 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. a) G ( s) s + Há apenas um pólo real e não há zeros Não há oscilações. Excesso de pólos-zeros. Logo a resposta é contínua mas a derivada para t é descontínua mas finita: O ganho estático é. lim y& ( t) lim s t s + s Tempo

11 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. G b) ( s) ( s + ) Há só dois pólos reais não há oscilações. Excesso de pólos-zeros Cointinuidade da resposta e da derivada. Ganho estático Tempo

12 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. G c) 3( s) s ( s + ) Excesso de pólos-zeros descontinuidade na derivada A derivada na origem é. A resposta tende para zero Tempo

13 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 3 s G d) 4( s) ( s + ) Há uma descontinuidade na origem. A derivada inicial é negativa mas a resposta final é positiva efeito de resposta inversa devido ao sistema ser de fase não mínima Tempo

14 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Resumo do exemplo G.5 5 Tempo G 3 G.5 5 Tempo G 4 G G G ( 3 s) s + ( s) ( s + ) ( s) s ( s + ).5 5 Tempo.5 5 Tempo G ( s) 4 s ( s + )

15 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 Exemplo de um sistema de fase não mínima: Nível do barrilete num grupo gerador de vapor de uma caldeira w u Vapor para a turbina Vapor Vapor para o condensador Turbina Vapor c/ água liq. h Válvula de água de alimentação Água liq. Painéis de água nas paredes da fornalha Chama

16 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 6 Acumulação de massa no barrilete + Caudal de água de alimentação Contracção do nível do barrilete + Nível do barrilete G( s) s τ s + ( τ ) s + s( τ s + ) os dois pólos em paralelos criam um zero que é de fase não mínima se o arrefecimento fôr mais rápido que a acumulação de massa.

17 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 7 Sistemas de ª ordem (continuo) G( s) s + ωn ςω s n + ω n

18 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 8 t r.8 ω n t s 4.6 ςω n ς π ς S M p e ς

19 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 9 G( s) s + ωn ςω s n + ω n ς - Determina a forma da resposta ω n - Determina a escala de tempo Quando maior fôr ω n maior é a largura de banda e mais rápido é o sistema.

20 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. Modelo de estado de sistemas lineares: A equação homogénea A equação (que descreve um sistema sem entrada): & x ( ) x x ( t) Ax( t) denomina-se equação homogénea. A solução desta equação desempenha um papel fundamental na solução da equação de estado de sistemas lineares com entrada e na compreensão da dinâmica local de muitos sistemas não lineares. A estrutura da solução depende dos valores próprios e dos vectores próprios da matriz da dinâmica, A.

21 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. Plano de estado Para um sistema com duas variáveis de estado, o espaço de estado reduz-se a um plano, denominado plano de estado. dx dt dt dx x.5x.8x Exemplo.5 x.8 x com condição inicial x( ) x( ). A solução no tempo e a correspondente órbita no espaço (plano) de estado mostram-se na figura seguinte. x& x&

22 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares..5 Resposta no tempo Trajectória correspondente no plano de estado t t t t t t

23 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 3 À medida que o tempo decorre, o ponto no espaço de estado que representa o estado percorre a trajectória que corresponde a uma dada condição inicial. A cada condição inicial corresponde uma trajectória diferente. Como a solução do problema com uma dada condição inicial existe e é única, as diferentes trajectórias nunca se cruzam.

24 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Interpretação da solução da equação no espaço de estado Equação homogénea: x &( t) Ax( t) Aproximando a derivada por diferenças finitas: x& ( t) x(( k + ) h) h x( kh) A equação pode aproximar-se pela equação de diferenças x (( k + ) h) x( kh) + h Ax( kh)

25 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 x (( k + ) h) x( kh) + h Ax( kh) x x hax x(h) hax(h) x(h) x

26 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 6 x (( k + ) h) x( kh) + h Ax( kh) No espaço de estados, a solução pode assim ser interpretada do seguinte modo: Começamos com uma condição inicial x no instante k. Para obter o novo ponto no instante k h somamos ao vector x um vector um vector proporcional a Ax (mais exactamente hax ). Obtém-se x ( h) hax. um ponto O processo é em seguida iterado.

27 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 7 x x Em cada ponto x do espaço de estados a função Ax define um vector (campo de vectores) que indica qual a direcção seguida nesse ponto pela solução da equação diferencial. O campo de vectores pode ser traçado no MATLAB com a função quiver.

28 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 8 x v B x x B x v A x A v Partindo do ponto x, a solução avança (localmente) na direcção v Ax. Em cada ponto a trajectória é tangente ao campo de vectores nesse ponto.

29 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 9

30 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 3 x 5-5 Se começarmos com outra condição inicial, obtemos uma outra trajectória. A figura mostra duas trajectórias geradas a partir de duas condições iniciais dfiferentes x

31 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares x x

32 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 3 Existência e unicidade de solução A solução da equação de estado linear com condição inicial especificada & x ( ) x x ( t) Ax( t) existe e é única. Este resultado implica que as trajectórias de estado não se podem cruzar pois, se assim fosse, haveria duas soluções diferentes da euqção fiferencial com a mesma condição inicial (correspondente ao ponto de cruzamento).

33 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 33 Discussão Seguir as direcções indicadas pelo campo de vectores proporciona um método numérico aproximado para resolver a equação de estado homogénea, No entanto, gostaríamos de ter um método analítico e, sobretudo, de ter indicadores que revelem o comportamento qualitativo da solução (se oscila ou não, se tende para zero ou para infinito quando o tempo aumenta). As propriedades da solução dependem da estrutura da matriz da dinâmica A, em particular dos seus valores próprios e vectores próprios, tema que estudaremos em seguida.

34 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 34 Nota sobre álgebra linear: Valores próprios e vectores próprios Dada uma matriz A quadrada [ n n], os vectores próprios v i satisfazem Av i λ v em que λ i é o correspondente valor próprio. Por outras palavras: A direcção definida pelos vectores próprios permanece invariante na transformação associada à matriz. Para uma matriz i i n n há, no máximo, n vectores próprios linearmente independentes (mas pode haver menos). Aos vectores próprios também se dá o nome de vectores modo.

35 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 35 Como Determinação dos vectores próprios e dos valores próprios Av i λ v i i os vectores próprios satisfazem o sistema de equações algébrico ( A λ I ) v i Para que este sistema tenha soluções não triviais v i, ele tem de ser indeterminado, pelo que os valores próprios λ i devem satisfazer a equação i polinomial: det( A λ I ) i

36 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 36 Para calcular os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz A quadrada [ n n] deve pois proceder-se do seguinte modo: a) Calcular os valores próprios resolvendo a equação polinomial: det( A λ I ) b) Para cada um dos valores próprios λ i obter os valores próprios i correspondentes resolvendo o sistema ( A λ I ) v i i Como este sistema é indeterminado, a sua solução é obtida a menos de uma constante de normalização, que pode ser escolhida como fôr conveniente.

37 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 37 Cálculo dos valores e vectores próprios Exemplo Determine os valores próprios e os vectores próprios da matriz: 4 5 A 3

38 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 38 Solução A λ λ λ I A Polinómio característico da matriz: ) det( I A λ ) )( ( ) 3 )( ( λ λ λ λ λ λ λ λ Os valores próprios são as raízes deste polinómio: λ λ

39 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 39 Vectores próprios: 5 5 v, λ ( A λi ) v v, A solução é qualquer múltiplo de v 5 v λ, ( A λi) v 5 v, A solução é qualquer múltiplo de v 5

40 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Diagonalização de matrizes Hipótese: A matriz A tem n vectores próprios linearmente independentes. Matriz modal (as colunas são os vectores próprios): M [ ] n v L v Matriz diagonal dos valores próprios Λ diag ( n λ, K, λ )

41 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Como, para cada par vector próprio/valor próprio Av i λ v i i vem AM MΛ ou seja, a matriz A admite a seguinte decomposição: MΛM Tem-se ainda, multiplicando à direita por M e à esquerda por A Λ M AM M :

42 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 4 Solução da equação homogénea por diagonalização Esta técnica é válida quando a matriz da dinâmica tem n vectores próprios linearmente independentes. & x ( ) x x ( t) Ax( t) Faz-se uma transformação de variáveis associada à matriz modal: z M x ou x Mz Nas coordenadas z a dinâmica fica z& M x M Ax M & AMz Λz Ou seja, as componentes de z ficam desacopladas, pelo que as equações podem ser resolvidas separadamente!

43 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 43 z& Λz Esta equação matricial corresponde ao sistema de equações diferenciais: & z λz M z& n λnz Como as equações estão separadas, podem ser resolvidas separadamente: n z L z n ( t) k e ( t) k n λ t e λ t n Os k i são constantes que dependem das condições iniciais

44 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 44 Estrutura da resposta nas coordenadas x : [ ] t t n e k e k v v Mz x λ λ M L ou seja: t n n t n e v k v e k x λ λ + + K A cada um dos termos t i i e v λ dá-se o nome de modo do sistema. A resposta do sistema é uma combinação linear dos modos em que os coeficientes dependem das condições iniciais.

45 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 45 Exemplo Determine a resposta no tempo do sistema homogéneo x &( t) Ax( t) com A x() 5

46 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 46 A estrutura da resposta é da forma: t t e k e k t x 5 ) ( + Determinação das constantes k e k a partir das condições iniciais: Para t : k k + Este sistema pode ser escrito na forma k k, 3 k k

47 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 47 Retrato de fase de sistemas lineares A solução do problema de valores iniciais & x ( ) x x ( t) Ax( t) com A uma matriz com n vectores próprios linearmente independentes é da forma x( t) λt kve + K + k n v n e λ t n em que as constantes k,, k K n dependem das condições iniciais. Consoante a posição no plano complexo dos valores próprios λ i, assim será o tipo de resposta.

48 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 48 Valores próprios reais Se os valores próprios forem reais as respostas correspondentes serão exponenciais. Se a parte real fôr positiva, as exponenciais serão crescentes e o estado tende para infinito. Se a parte real fôr negativa, as exponenciais serão decrescentes e o estado tende para zero.

49 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 49 Valores próprios complexos conjugados Os valores próprios complexos ocorrem sempre em pares conjugados para que a solução seja real. Correspondem a termos oscilatórios multiplicados por uma exponencial decrescente se a parte real do valor próprio fôr negativa, crescente se fôr positiva, e sem amortecimento se fôr nula. Recorde-se que e ( α + jβ ) t e α t { cos( βt) + jsin( βt) }

50 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 Resolva a equação em que Exemplo: Valores próprios complexos conjugados & x ( ) x x ( t) Ax( t) A x Sugestão: Calcule os valores próprios e os vectores próprios e use: { λ k v e t } λ t λ n x t k v e k v e t ( ) + Re Observe que esta expressão é válida por os dois termos da soma serem complexos conjugados.

51 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 Equação característica: ) ( + s λ λ Os valores próprios são as soluções da equação característica: j + λ j λ Os vectores próprios satisfazem o sistema de equações i i i i v v λ λ Como estas equações são dependentes, apenas usamos a primeira.

52 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 5 ( λ ) v i i + v i Escolhe-se a normalização pelo que a equação anterior conduz a v i v i λ i ou seja v v j j

53 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 53 A solução da equação para t escreve-se v k v k x + donde [ ] x k k v v ou seja k k j j cuja solução é j k + * k j k

54 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 54 A solução da equação diferencial com a condição inicial especificada é pois ) sin (cos Re ) ( Re ) ( ) ( t j t e j j e j j t x t t j ou seja: + t t t t e t x t sin cos sin cos ) ( Fim do exemplo

55 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 55 Classificação da dinâmica dos sistemas lineares jω Foco estável x jω Nó estável x jω Centro x σ x σ x σ x Plano complexo jω Foco instável Plano de estado x Plano complexo jω Nó instável Plano de estado x Plano complexo jω Ponto de sela Plano de estado x σ x σ x σ x Plano complexo Plano de estado Plano complexo Plano de estado Plano complexo Plano de estado

56 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 56 Exercício a) b) c) a) b) c) x x x x x x d) e) 8 6 d) 8 6 e) A A.6 A 3 3 x x A 4 A x x

57 Modelação e Simulação 4.Sistemas lineares. 57 a) Diga qual das matrizes correspondem a qual retrato de fase. Deve justificar a sua resposta com base nos valores próprios e vectores próprios (calcule os vectores próprios apenas quando necessário). b) Indique uma condição incial não nula tal que o estado do sistema com matriz da dinâmica A 3 tenda para zero quando o tempo aumenta