Aula 11. Revisão de Fasores e Introdução a Laplace

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1 Aula Revisão de Fasores e Introdução a Laplace

2 Revisão - Fasor Definição: Fasor é a representação complexa da magnitude e fase de uma senoide. V = V m e jφ = V m φ v t = V m cos(wt + φ) = R(V e jwt )

3 Impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Tensão, corrente e impedância

4 Números complexos Transformações Retangular Polar Polar Retangular Temos: z = x + jy Queremos: z = r φ Temos: z = r φ Queremos: z = x + jy r = x 2 + y 2 φ = atan y x x = r cos φ y = r sen(φ) Como a forma exponencial utiliza as relações polares, assim: Retangular Exponencial Transformar para polar e: z = r e jφ Polar Exponencial Apenas colocar na forma: z = r e jφ

5 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre a expressão v c (t). Considere que V s t = 0 cos 4t V Respostas v t = 4, 47 cos 4 t 63, 43 o V

6 Exercício 5Ω Fasor I V C j 4 0, = 2,5jΩ 0 0 o V C = V s Z c Z c + Z R = 0 0 o V C = 4, 47 63, 43 o V 2,5j 5 2,5j = 0 0o 2,5 90 o 5,59 26,56 o V C = 0 2,5 5, ,56 o = 4,47 63,44 o v t = 4, 47 cos 4 t 63, 43 o V i t =, 79 cos(4 t + 26, 56 o )A

7 Exercício i t =, 79 cos(4 t + 26, 56 o )A v t = 4, 47 cos 4 t 63, 43 o V Corrente f = w 2 π = 4 2 π = 0,64Hz Tensão (fonte x capacitor)

8 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Diferencie cada filtro abaixo, como passa altas ou passa baixas, encontre a função transferência e a frequência de corte. H ω = V out V in H(ω c ) = 2

9 Seletores de frequência (filtros passivos) H ω = H ω = H ω = jωc R + jωc H ω = H φ jωc jω + jωc + jω 2 = H = H(ω c) 2 = ω c = + ω c 2 2= + ω c 2 Passa baixas ω c =

10 Seletores de frequência (filtros passivos) H ω = R R + jωc 2 = + ω c 2 H ω = + jω 2 = + ω c 2 H ω = H φ 2 = H = H(ω c) 2 = ω c = Passa altas ω c = + ω c 2

11 Transformada de Laplace Definição: Transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função f(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa, fornecendo F(s). Analisar circuitos com ampla gama de variedade de entradas e respostas. A transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas. Os pares de transformadas de Laplace, permitem a resolução de circuitos complexos no domínio da frequência e também o retorno ao domínio do tempo através da transformada inversa de Laplace Os parâmetros definidos no domínio da frequência são muito importantes para a análise do circuito no domínio do tempo. Pierre Simon Laplace Definida por: L f t = F s = 0 f t e st dt onde s = σ + jω

12 Transformada de Laplace

13 Circuito de segunda ordem no tempo Circuito RLC paralelo, análise no domínio do tempo (equações diferenciais) Somando as corrente: v R + tvdτ + I L 0 + C dv 0 dt = 0 Diferenciando em relação a t (I 0 constante) dv R dt + v L + C d2 v dt2 = 0 Este exemplo analisa um circuito de segunda ordem diretamente no tempo. Ainda é necessário isolarmos a variável de interesse. Veremos futuramente este exemplo no domínio de Laplace Reorganizando os coeficientes e arranjando as derivadas em ordem crescentes, chegamos a EDO de segunda ordem abaixo: d 2 v dv dt2 + dt + v LC = 0

14 Transformada de Laplace Para obtermos a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace, iremos comparar pares de transformada (Tabela de transformada). A seguir alguns exemplos da obtenção das transformadas. L f t = F s = 0 f t e st dt onde s = σ + jω Considere o degrau unitário: f t = u t = para t 0 0 para t < 0

15 Transformada de Laplace L f t = F s = 0 f t e st dt f t = u t = para t 0 0 para t < 0 F s = 0 F s = e st s e st dt 0 = 0 s L u t = U s = s

16 Transformada de Laplace L f t = F s = 0 f t e st dt f t = r t = t para t 0 0 para t < 0 F s = 0 te st dt udv = uv vdu F s = 0 te st dt = e st st + s 2 0 = s 2 L r t = R s = s 2

17 Propriedades da Transformada de Laplace Soma e multiplicação (mais propriedades na tabela de transformação): F k f t = k F(f(t) F f t + f 2 t + f 3 t = F f t + F f 2 t + F(f 3 (t) Transformada da Derivada e da Integral: F d f t = sf s f 0 dt F 0 tf t = F s s

18 Elementos de circuito (Tempo, Laplace, fasor) Resistor Indutor Capacitor v = R i i = v R V(s) = R I(s) I(s) = V(s) R v(t) = L di dt i(t) = L 0 tv τ dτ + i 0 V s = s L I s L I 0 I s = V s L s + I 0 s v(t) = C 0 ti τ dτ + v 0 i t = C dv dt V s = I s C s + V 0 s I s = s C V s C V 0 V s I s = Z R s = R V s I s = Z L s = sl V s I s = Z C s = sc V s I s = Z R jω = R V jω I jω = Z L jω = jωl V jω I jω = Z C jω = jωc

19 Elementos de circuito Laplace Resistor Indutor Capacitor OU OU

20 Propriedades da Transformada de Laplace Pares de transformada tempo minúsculo frequencia maiúsculo

21 Função Transferência Função transferência H(s) é a razão entre a resposta de saída Y(s) e a excitação de entrada X(s), suponde que as condições iniciais sejam iguais a zero Entrada X(s) H(s) Sistema Linear Saída Y(s)

22 Função Transferência Obtendo a função transferência é possível modelar a saída do sistema em relação a excitação de entrada H s = Ganho de tensão = V o(s) V i (s) V o = H s V i H s = Ganho de corrente = V o(s) V i (s) I o = H s I i Domínio do tempo (convolução) Domínio da frequência (multiplicação) y t = y t = h t x(t) 0 t x λ h t λ dλ Y s = H s X(s)

23 Exemplo Exemplo: Calcule a função transferência do circuito abaixo. Resposta: H s = 04 s + 0 4

24 Exemplo Exemplo: Calcule a função transferência do circuito abaixo. V o (s) = H s V i (s) H s = s V o s = 0 6 s 0 6 V i (s) s + 00 H s = 04 s + 0 4

25 Função Transferência Parâmetros de uma função transferência: m = grau donumerador n = grau dodenominador a i e b i corficientes Forma Polinomial H s = k sm + a m s m + + a s + a 0 s n + b n s n + + b s + b 0 Sistemas realizáveis m n z i raízes do numerador Zeros da F.T. p i raízes do denominador Forma Fatorada s z s z 2 (s z m ) H s = k s p s p (s p m) Polos da F.T

26 Função Transferência O exemplo resolvido anteriormente possui: H s = 04 s Nenhum zero Um Polo em 0 4 (p = 0 4 )

27 Exemplo: Encontre os zeros e polos dos circuitos Exemplo

28 Exemplo Exemplo: Encontre os zeros e polos dos circuitos H s = sc R + sc = s + = sem zeros p = s + H s = sl R + sl = z = 0 p = R L s s + R L

29 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace H s = s + V o s = H s V i (s)

30 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace u t = F u t = s = V i(s) H s = s + V o s = s s + V o s = H s V i (s)

31 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace V o s = s s + = s s + expansão em frações parciais L s s + = v o t = e t v c t = v s e t τ se v s = v c t = e t confere