Circuitos Elétricos II

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Transformada de Laplace Definição da Transformada de Laplace Propriedades da Transformada de Laplace 1

2 Introdução à transformada de Laplace Solução de Circuitos no Domínio do Tempo Equações não-homogêneas apenas Alguns tipos de excitação Redes de ordem mais alta sistemas De equações integro-diferenciais Problemas de descontinuidade Imposição de condições iniciais 2

3 R i(t) Aplicação das Leis de Kirchhoff: + e () g t L ( t 0 ) v C Ri t + 1 C t i t dt + v c t 0 + L di(t) t 0 dt = e g (t) C e g (t) vários tipos de excitação Solução do circuito: depende da energia inicial armazenada v c (t 0 ) e i(t 0 ) condições iniciais Derivando: L d2 i(t) dt 2 (Equação íntegro-diferencial) di(t) + R dt + i(t) C = de g(t) dt (Equação diferencial não homogênea de segunda ordem) 3

4 Solução de circuitos no domínio s Transformada de Laplace Derivadas Multiplicações Integrais Divisões Equações integro-diferenciais equações Algébricas no campo complexo Solução no Domínio da Frequência Complexa Anti-transformadas solução da equação diferenciais Inclui o problema do valor inicial (ou problemas de condições iniciais) 4

5 Solução de circuitos no domínio s variável t L{ } Transformada de Laplace variável L - 1 { } i( t) s v( t) Antitransformada de Laplace sistema íntegrodiferencial sistema linear t - tempo (real) s frequência (complexa) 5

6 Definição da transformada de Laplace L f t = F s = f(t)e st dt 0 (Transformada de Laplace unilateral) Adimensional Sendo: f (t) = função no domínio do tempo, com f (t) = 0 ( para t < 0 ) segundos s = + j = frequência [1/s] [variável complexa] Domínio do tempo Domínio da frequência complexa 6

7 Sobre a transformada de Laplace Transformada Bilateral: F s = f(t)e st dt Unilateral mais apropriada para circuitos Funções não transformáveis Ex. : e et, e t2, t t Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 integral inclui, pois é tomada de t=0- Anti-transformação L 1 F s = f(t) Unicidade! 7

8 Transf. de Laplace da Função Degrau Função de Heaviside ou Função Degrau u(t) 1 L u t = 1e st dt 0 = 1 s e st 0 = 1 s s 1 = 1 s t 0 H t = u t = 0, t < 0 1, t 0 L u t = U s = 1e st dt 0 = 1 s 8

9 Transf. de Laplace da Função Exponencial Função Exponencial L e at u t = e at e st dt 0 = 1 s + a e s+a t 1 = 0 s + a L f t = F s = e at e st dt 0 = 1 s + a 9

10 Transf. de Laplace da Função Exponencial Função Exponencial As duas funções possuem a mesma transformada de Laplace, porque a integral é calculada a partir de t=0-10

11 Função Impulso Função Impulso (ou Delta de Dirac) d (t) δ t = 0, para t 0 e 0 t δ t dt 0+ = δ t dt 0 = 1 A função impulso existe somente em t = 0 e sua área é unitária. 11

12 u a (t) 1 1 a 3 du n ( t dt a ) t 0 a 3 a 2 a 1 Função Impulso δ t = lim a 0 du a (t) dt 1 a 2 1 a 1 0 a 3 a 2 a 1 t 12

13 Propriedades da Função Impulso f t δ t dt = f 0 δ t dt = f 0 δ t dt = f(0) f t δ t t 0 dt = f t 0 δ t t 0 dt = f t 0 δ t t 0 dt = f(t 0 ) Estas são conhecidas como a propriedade de amostragem da função impulso em t = 0 e em t = t 0 13

14 Transf. de Laplace da Função Impulso Função Impulso unitário d (t) L δ t = δ t e st dt 0 0 t = e s.0 δ t dt 0 = 1.1 = 0 L δ t = δ t e st dt 0 = 1 14

15 Transf. de Laplace da Função Seno Função seno L f t = L sin ωt = F(s) 15

16 Transformada de Laplace de Funções f() t Fs ( ) u(t) Ht ( ) e at sen t cos t d ( t) 1 s 1 s- a 2 2 s s 2 2 s 1 16

17 Operações com a transformada de Laplace Indicam como operações matemáticas realizadas em f(t) ou F(s) são convertidas para o outro domínio. As operações de maior interesse são: Multiplicação por uma constante Adição e subtração Diferenciação Integração Deslocamento no domínio do tempo Deslocamento no domínio da frequência Mudança de escala Derivada da Transformada 17

18 Linearidade da transformada de Laplace Multiplicação por uma constante: multiplicar f(t) por uma constante K corresponde a multiplicar F(s) pela mesma constante (princípio da homogeneidade). L[f(t)]=F(s) L[K.f(t)]=K.F(s) Adição / subtração: a adição / subtração no domínio do tempo corresponde a adição / subtração no domínio da frequência (princípio da aditividade). L f 1 t L f 2 t L f 3 t = F 1 (s) = F 2 (s) = F 3 (s) L f 1 t + f 2 t f 3 t = F 1 s + F 2 s F 3 (s) Linearidade: combinação dos dois princípios. L K 1 f 1 t + K 2 f 2 t K 3 f 3 t = K 1 F 1 s + K 2 F 2 s K 3 F 3 (s) 18

19 Diferenciação no tempo Teorema da Derivada L df t dt = sf s f(0 ) Para L d2 f t dt 2, seja g t = df t dt aplicando o teorema da derivada: L g(t) = sf s f 0 = G(s) 19

20 Diferenciação no tempo G s = sf s f 0 ; g t = df t dt L dg t dt = L d2 f t dt 2 = sg s g 0 = s 2 F s sf 0 df 0 dt Transformada de Laplace da derivada de ordem 2 de uma função f(t): L d2 f t = s 2 F s sf 0 dt 2 df 0 dt 20

21 Diferenciação no tempo Transformada de Laplace da derivada de ordem n de uma função f(t): L dn f t = s n F s s n 1 f 0 s n 2 df 0 dt n dt s n 3 d2 f 0 dt 2 dn 1 f 0 dt n 1 21

22 Diferenciação no tempo Caso Particular: para condições iniciais nulas (ou quiescentes) c.i.q. L f t = sf(s) L f t = s 2 F(s) L f n t = s n F(s) Derivada da função f(t) resulta em produto por s da transformada F(s) 22

23 Integração no tempo Teorema da Integral L t 0 f τ dτ = F s s + 0 f τ dτ s Caso Particular: Para c.i.q.: condições iniciais quiescentes (ou nulas) L t f τ dτ = 0 F s s Integral da função f(t) resulta em divisão por s da transformada F(s) 23

24 Deslocamento no domínio do tempo Teorema do Deslocamento No campo real L f t = F s Exemplos: f(t) L f t a = e a.s F(s) H(t a) 1 0 a t L H t = 1 s L H t a = e a.s s 24

25 Deslocamento no domínio da frequência L e a.t f t = F(s + a) Exemplo: L e at cos (ωt) s L cos (ωt) = s 2 + ω 2 L e at f(t) = F(s + a) L e at s + a cos (ωt) = (s + a) 2 +ω 2 25

26 Mudança de escala L f(t) = F s L f(at) = 1 a F s a a > 0 Exemplo: L sin t = 1 s L sin ωt = 1 ω s ω 1 2 = + 1 ω s 2 + ω 2 26

27 Transformada de Funções Periódicas Se f(t) é uma função periódica f t = f 1 t + f 2 t + f 3 t + = f 1 t + f 1 t T u t T +f 1 t 2T u t 2T + Transformando cada termo, aplicando a propriedade do deslocamento. Obtemos: F s = F 1 s + F 1 s e T.s + F 1 s e 2.T.s + F 1 s e 3.T.s + = F 1 s [1 + e T.s + e 2.T.s + e 3.T.s + ] 27

28 Transformada de Funções Periódicas = F 1 s [1 + e T.s + e 2.T.s + e 3.T.s + ] Porém, 1 + x + x 2 + x 3 + = 1 1 x se, x < 1 Portanto, F s = F 1 s 1 e T.s 28

29 Derivada da Transformada L f t L t. f t = F(s) = df(s) ds Aplicação para a função degrau: L [ H (t) ] = 1 / s L [ t. H (t) ] = 1 / s 2 L [ t 2. H (t) ] = 2 / s 3 L [ t n. H (t) ] = n! / s n

30 Tabela de Propriedades da Transformada Função do tempo f(t) c 1 f 1 t + c 2 f 2 t + Transformada F(s) c 1 F 1 s + c 2 F 2 s + d n f(t) s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 dt n f n 1 (0 ) t f τ dτ t. f(t) e a.t f(t) f(t a) F s s f τ dτ s df(s) ds F(s + a) e a.s F(s) 1 f a. t, a > 0 a F(s a ) f t = f t + T, T > 0, t > 0 T 1 1 e T.s f t e s.t dt 0 30

31 Aplicação da Transformada de Laplace Resolução de equação diferencial: d 2 v(t) dt dv(t) dt + 8v t = 2u(t) Dado: v(0) = 1; v (0) = -2 Aplicando-se a transformada L em cada termo na equação diferencial: s 2 V s sv 0 v (0) + 6 sv s v 0 + 8V s = 2 s Substituindo: v 0 = 1; v 0 = 2; chega-se a Equação algébrica em s s 2 + 6s + 8 V s = s s = s2 + 4s + 2 s V s = 4 s + 2 s v t = 1 s e 2t + e 4t H(t) L 1 31

32 Transformada de Laplace de Funções 10Ω i(t) A partir das Leis de Kirchhoff: dv t R C + v t = e dt g (t) e g (t) 2F v(t) v(0-)=5v Aplicando Laplace: RC sv s v 0 + V s = E g (s) Equação algébrica em V(s) V s = E g s + RCv(0 ) (src + 1) = 1 RC E g s + RCv(o ) (s + 1 RC ) 32

33 Transformada de Laplace de Funções Para: e g (t) 10Ω 2F v(t) v(0-)=5v e g t = 10H t [V, s] E g s = 10 s No domínio s: RC sv s v 0 + V s = E g (s) 10.2 sv s 5 + V s = 10 s 10 V s = s (20s + 1) = 5 (s + 0,1) s (s + 0,05) = 10 s 5 (s + 0,05) Solução leva em conta a condição inicial! L 1 v t = (10 5e 0,05t )H(t) 33

34 Transformada de Laplace de Funções Para e g (t) 10Ω 2F v(t) v(0-)=5v e g t E g s = 10 = 10δ t [V, s] No domínio s: RC sv s v 0 + V s = E g (s) 10.2 sv s 5 + V s = 10 V s = (20s + 1) = 5,5 (s + 0,05) L 1 v t = 5,5e 0,05t H(t) Solução leva em conta a variação da tensão inicial no capacitor, devido à excitação impulsiva! 34

35 Próxima Aula Leitura: Cap 15 livro texto 1. Transformada inversa de Laplace. 35

36 Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,