Pontifícia Universidade Católica de Goiás. Engenharia de Controle e Automação. Prof: Marcos Lajovic Carneiro Aluno (a):

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Departamento de Engenharia Laboratório ENG 3502 Controle de Processos 01 Prof: Marcos Lajovic Carneiro Aluno (a): Aula Prática 01 Polinômios, frações parciais, função de transferência, transformada direta e inversa de Laplace no MATLAB 1- Objetivos: Conhecer comandos básicos de MATLAB necessários para o trabalho com sistemas de controle. 2- Operações com polinômios Polinômio: x x + 32 = 0 ou (x + 8)(x + 4) = 0 a) Definir um polinômio de acordo com seus coeficientes. p=[ ]; % Coeficientes do polinômio b) Definir um polinômio de acordo com suas raízes. c) p=poly([-8-4]); % Coeficientes do polinômio d) Cálculo das raízes de um polinômio. Polinômio: x x + 32 = 0 p=[ ]; r=roots(p) % Coeficientes do polinômio % Cálculo das raízes r = -8-4 Logo: x x + 32 = (x + 8)(x + 4) e) Multiplicação de polinômios. Polinômio: P5 = (s 3 + 7s s 9)(s 4 3s 3 + 6s 2 + 2s + 1)

2 P5=conv([ ],[ ]) % Multiplicando dois polinômios P5 = f) Expansão em frações parciais. Equação: Y(s) = 32 s 3 +12s 2 +32s num=[32]; % Numerador denom=[ ]; % Denominador [r,p,k]=residue(num,denom) % Cálculo de frações parciais r = p = k = [] Logo: Y(s) = 32 = s 3 +12s 2 +32s s+8 s+4 s+0 3- Transformada de Laplace Equação: f(t) = 1 t 3 Programa: MATLAB com a toolbox de matemática simbólica syms t s % Criando variáveis simbólicas f= t^3; % Equação no domínio do tempo laplace(f,t,s) % Transformada de Laplace ans = 6/s^4

3 Programa: Wolframapha (programa para PC, aplicativo para celular ou site) laplace transform t^3 Equação: d2 x(t) dt 2 laplace transform x''(t) Lê-se : X(s) = sx(0)+x (0) s 2 s 2 X(s) = sx(0) + x (0) s 2 X(s) sx(0) x (0) = 0 Programa: wxmaxima (Free) laplace(t^3,t,s); 4- Transformada inversa de Laplace Equação: Y(s) = 1 s 2 s S+8 Programa: MATLAB com a toolbox de matemática simbólica

4 syms t s Y=1/s -2/(s+4) +1/(s+8); ilaplace(y,s,t) % Criando variáveis simbólicas % Equação no domínio dos número complexos % Transformada inversa de Laplace ans = exp(-8*t) - 2*exp(-4*t) + 1 Programa: Wolframapha (programa para PC, aplicativo para celular ou site) inverse laplace transform Y=1/s -2/(s+4) +1/(s+8) Programa: wxmaxima (Free) ilt(1/s-2/(s+4)+1/(s+8),s,t); Logo: y(t) = e 8t 2e 4t Criando Funções de Transferência a) Método vetorial, forma polinomial. F(s) = N(s) D(s) = 150(s2 + 2s + 7) [s(s 2 + 5s + 4)] 'Método Vetorial, Forma Polinomial' numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e denf=[ ] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e 'F(s)' F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e exibe. clear % Apaga as variáveis anteriores do % workspace. b) Método vetorial, forma fatorada. G(s) = 20(s + 2)(s + 4) (s + 7)(s + 8)(s + 9)

5 'Método Vetorial, Forma Fatorada' numg=[-2-4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e deng=[ ] % Armazena (s+7)(s+8)(s+9) em deng e K=20 % Define K. 'G(s)' G=zpk(numg,deng,K) % Forma G(s) e exibe. clear % Apaga as variáveis anteriores do % workspace. c) Método da expressão racional em s, forma polinomial. (Requer Control Systems Toolbox 4.2) 'Método da Expressão Racional, Forma Polinomial' s=tf('s') % Define s como um objeto LTI na % forma polinomial. F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s) como uma % função de transferência % LTI na forma polinomial. G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)]% Forma G(s) como uma % função de transferência % LTI na forma polinomial. d) Método da expressão racional em s, forma fatorada. (Requer Control Systems Toolbox 4.2) 'Método da Expressão Racional, Forma Fatorada' s=zpk('s') % Define s como um objeto LTI na % forma fatorada. F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s) como uma função de % transferência LTI na forma fatorada. G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] % Forma G(s) como uma função de % transferência LTI na forma fatorada. 6- Plotando pólos e zeros no plano s 'Método Vetorial, Forma Polinomial' numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e denf=[ ] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e 'F(s)' F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e exibe. % plota pólos e zeros da função. pzmap(f)

6 7- Procedimento Prático: 7.1) Calcule as raízes dos seguintes polinômios: a) f(x) = (x 1)(x 2)(x 3) b) f(x) = 5x 5 + x 2 + 4x + 1 c) f(x) = (x 4 x)(x 2)(x 3) 7.2) Separe as funções abaixo em frações parciais: a) F(s) = b) F(s) = 2 (s+1)(s+2) 8 (s 2 4)(s+2) c) F(s) = 3 s(s 2 +2s+5) 7.3) Crie as funções de transferência abaixo e plote no plano s os pólos e zeros. a) b) 7.4) Resolva as seguintes equações usando métodos computacionais e algumas passagens manuais quando necessário. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero. a) dx dt + 7x = 5cos (2t) b) d2 x + 6dx + 8x = 5sen(3t) dt 2 dt c) d2 x + 8dx + 25x = 10u(t) dt 2 dt

7 d) d2 x + 2dx dx + 2x = sent(2t) x(0) = 2; (0) = 1 dt 2 dt dt e) d2 x dt2 + 4x = t2 x(0) = 1; dx dt (0) = 2 Bibliografia: NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

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