Programa de engenharia biomédica. Princípios de instrumentação biomédica cob 781

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1 Programa de engenharia biomédica Princípios de instrumentação biomédica cob 781

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3 5 Circuitos de primeira ordem 5.1 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta a excitação zero O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha. Para t 0, i C t i R t =0 C dv C dt = v R R e v C 0 =v 0 Como v C =v R =v dv {C dt v R =0 v 0 =v 0 {dv dt = v v 0 =v 0 Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 1

4 v t =K e S 0 t u t onde S 0 = e K =v 0 =v 0 i C t =C dv dt = v 0 R e t u t Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta solução que depende das características do circuito ( S 0 só depende da topologia) e das condições iniciais do circuito (K depende das condições iniciais). A solução da equação diferencial de primeira ordem linear é uma função linear do estado inicial do problema. A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na figura abaixo. Nesta figura v 0 =1 e =1. Observa-se que a reta que passa pelas coordenadas t=0 e v=v(0) e apresenta inclinação igual a derivada da função no ponto t=0 cruza o eixo do tempo em um valor igual ao do produto. Este produto é chamado constante de tempo τ e corresponde a S 0. Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1, 14% para 2, 5% para 3, 2% para 4 e 0,5% para 5. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 2

5 A constante de tempo tem unidade de tempo (segundos) e corresponde a freqüência natural do circuito. Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC O circuito RL (resistor-indutor) O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha. Para t 0 v L v R =0 L di L dt R i L =0 e i L 0 =I 0 {di dt = R L i i L 0 = I 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é R L i L t =I 0 e t u t Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como = L R Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 3

6 que também apresenta unidade de tempo (segundos). 5.2 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta ao estado zero Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0 Para t 0 i C i R =i S C dv dt v R =i S t e v 0 =0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com excitação) e condição inicial nula (estado zero). circuito: A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo para t=0 + dv dt = i S C (condição imposta pela topologia do circuito) para t= v= R i S t (condição imposta pela fonte) A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma da solução homogênea e de uma solução particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim v completa =v h v p. A solução homogênea depende das condições iniciais do Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 4

7 problema e da sua topologia e a solução particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta forçada pois é imposta pela excitação. Para o exemplo em questão v t =K 1 e t R i S t, para t 0. sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema v 0 = K 1 R i S t =0 K 1 = R i S t, logo v t =R i S t 1 e t Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante. Exemplo: Se i S t =A 1 cos t 1 então v p t = A 2 cos t 2 C dv dt v R =A 1 cos t 1 v t =K 1 e t A 2 cos t 2, para t 0 v 0 = K 1 A 2 cos 2 =0 K 1 = A 2 cos 2 Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a C dv p v p dt R =A cos t 1 1 Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 5

8 como v p t = A 2 cos t 2 então C A 2 sen t 2 A 2 R cos t 2 = A 1 cos t 1 onde A 2 = A R C 2 2 = 1 arctan A figura abaixo foi produzida com R=1, C=1F, A 1 =0 e 1 = A resposta completa é a soma da exponencial (resposta homogênea) com o cosseno defasado (resposta particular). A influência da exponencial desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso a resposta homogênea é chamada de resposta transitória ao passo que a resposta particular é chamada de resposta em regime permanente. 5.3 Circuito linear invariante de primeira ordem resposta completa Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 6

9 zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas equaçõs são C dv I dt v I =0 (equação para o circuito RC com excitação zero) R C dv O dt v O =0 (equação para o circuito RC com estado zero) R onde v I e v O são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente. Somando as equações temos C dv I dt v I R C dv O dt v O R =i S t que pode ser reescrita como C d v I v 0 dt v v I 0 =i R S t. completo. Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema v C t =v I t v O t, para t 0. v C t =v 0 e t R i S 1 e t. Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da resposta em regime permanente. v C t =v transitoria t v permanente t v C t = v 0 R i S e t R i S t, para t 0. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 PEB/COPPE/UFRJ 7