Transformada de Laplace. Definição. O processo inverso de obter a função temporal f(t) a partir da

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1 Prof. Raimundo Nonato das Mercês Machado O processo inverso de obter a função temporal f(t) a partir da transformada de Laplace F(s) é chamado transformada de Laplace inversa. A notação para a transformada inversa é L -1 e pode ser encontrada a partir de F(s) através da seguinte integral de inversão Unidade II Deve-se considerar a função temporal f(t) sempre com valor nulo para valores negativos do tempo, isto é, 5 Introdução A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira vantajosa na solução de equações diferenciais lineares. Através da transformada de Laplace é possível converte muitas das funções comuns, tais como senóides, funções senoidais amortecidas e exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. Se a equação algébrica em s for resolvida em termos da variável dependente, será então possível obter a solução da equação diferencial (transformada de Laplace inversa da variável dependente) com o auxílio de uma tabela de pares Transformada-Função ou através da técnica de expansão em frações parciais. i 2 Alternativamente, a variável s de Laplace pode ser considerada o operador diferencial tal que Além disto pode-se ter ooperador integral As transformações do domínio t para o domínio s, e vice-versa, são denotadas como 6 Introdução Uma vantagem do método da transformada de Laplace é que ele permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema sem a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem. Outra vantagem do método da transformada de Laplace é que, ao se resolver a equação diferencial, tanto a componente transitória como a de regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Propriedade e Teoremas da Linearidade Se têm transformada de Laplace respectivamente, e são constantes arbitrárias, então 3 7 Sejam f(t) uma função da variável t em que f(t) = 0 para t < 0 s uma variável complexa L o símbolo operacional indicando que a grandeza que ele antecede deve ser transformada através da integral de Laplace Propriedade e Teoremas da Deslocamento no tempo Estabelece que o deslocamento no domínio do tempo por a unidades, corresponde a multiplicação por e -as no domínio s. Então, e F(s) a transformada de Laplace de f(t) Então a transformada de Laplace de f( t) é dada por Deslocamento na freqüência Estabelece que ao se multiplicar uma função f(t) no domínio do tempo por e -as onde a é uma constante positiva arbitrária, irá produzir um deslocamento na variável s de a unidades. Então, 4 8

2 Propriedade e Teoremas da Escalonamento Seja a uma constante positiva arbitrária; então, a propriedade de escalonamento estabelece que de funções simples Função degrau unitário u 0 (t) Função rampa u 1 (t) = t Diferenciação no domínio do tempo A diferenciação no domínio o tempo corresponde a multiplicação por s no domínio da freqüência complexa, menos ovalor iniciali i de f(t) em t=0 -. Então, Função impulso unitário δ(t) 9 13 Propriedade e Teoremas da Integração no domínio do tempo A integração nodomínio otempo corresponde adividir idi F(s) por s no domínio da freqüência complexa, menos o valor inicial de f(t) em t = 0 -, também dividido por s. Isto é, de funções simples Função impulso unitário atrasado δ(t-a) Função exponencial e -at u 0 (t) Função seno sinωt u 0 (t) Propriedade e Teoremas da Teorema do valor inicial Estabelece que o valor inicial f(0 - ) da função no tempo f(t) pode ser encontrado pela sua transformada de Laplace multiplicada por s e fazendo s.. Isto é, de funções simples Função cosseno cosωt u 0 (t) Função seno e -at sinωt u 0 (t) Teorema do valor final Estabelece que o valor final f( ) da função no tempo f(t) pode ser encontrado pela sua transformada de Laplace multiplicada por s e fazendo s 0. Isto é, Função cosseno e -at cosωt u 0 0( (t) Propriedade e Teoremas da Convolução no domínio do tempo A convolução no domínio do tempo corresponde a multiplicação no domínio da freqüência complexa. Isto é, de funções simples Exercício 1 Encontrar a transformada de Laplace do pulso retangular f P (t)

3 de funções simples Exercício 2 Encontrar a transformada de Laplace do segmento linear f L (t). inversa Se uma transformada F(s) particular não puder ser achada em uma tabela, é possível expandi-la em frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de s para as quais as transformadas inversas já sejam conhecidas de funções simples Exercício 3 Encontrar a transformada de Laplace para a forma de onda triangular f T (t). inversa Quase freqüentemente t as expressões da transformada de Laplace não estão em uma forma reconhecível, porém em muitos casos em uma forma racional de s, isto é, onde N(s) e D(s) são polinômios em s, podendo F(s) ser expressa como de funções simples Exercício 4 Encontrar a transformada de Laplace para as seguintes funções no domínio do tempo. a)12 b) 6u 0 (t) c) 24u 0 (t - 12) d) 5tu 0 (t) e) j8 f) j5-90º g) 5e -5t u 0 (t) h) 15δ(t-4) i) (t 3 +3t 2 +4t+3)u 0 (t) () j) 3(2t 3)δ(t 3) k) (3sin5t)u 0 (t) l) (5cos3t)u 0 (t) inversa Os coeficientes i a k e b k são números reais para k = 1, 2,..., n, e se a maior potência m de N(s) é menor que a maior potência n de D(s), isto é, m<n,, F(s) éditaser expressa como uma função racional própria. Se m n, F(s) é uma função racional imprópria. As raízes de N(s) são encontradas fazendo-se N(s) = 0; essas são chamadas de zeros de F(s). As raízes de D(s), são encontradas fazendo-se D(s) = 0, essas são chamadas de pólos de F(s) inversa Pode-se obter a transformada de Laplace inversa através da integral de inversão dada por inversa Assumindo-se que F(s) é uma função racional própria, e fazendo-se o coeficiente de s n igual a unidade, F(s) pode ser escrita como Contudo, a integral de inversão é complicada e, em conseqüência, seu uso não é recomendado para se obter a transformada inversa das funções encontradas habitualmente em engenharia de controle. Um método conveniente de se obter a transformada inversa é utilizar uma tabela de pares de transformada de Laplace. Os zeros e pólos de F(s) podem ser reais e distintos,repetidos, complexos conjugados, ou combinações de real e complexo conjugado. Cada caso será considerado separadamente 20 24

4 inversa Pólos distintos Se todos os pólos p 1, p 2, p 3,..., p n de F(s) são distintos, podese fatorar o denominador de F(s) na seguinte forma onde p k é distinto de todos os outros pólos. Em seguida, usando-se o método de expansão em frações parciais, pode-se expressar F(s) como inversa Pólos complexos Quase sempre, os pólos de F(s) são complexos, e como polos complexos ocorrem em pares complexos conjugados, o número de pólos complexos é par. Se p k é uma raiz complexa de D(s), então, seu pólo complexo conjugado, denotado por p k *,, é também uma raiz de D(s). O método de expansão em frações parciais pode também ser usado neste caso, porém pode ser necessário manipular os termos da expansão de modo a expressa-los em uma forma reconhecível. onde r 1, r 2, r 3,..., r n são os resíduos, e p 1, p 2, p 3,..., p n são os 1, 2, 3,, n, p 1, p 2, p 3,, p n pólos de F(s). inversa Pólos distintos Parasecalcular l oresíduo r k,multiplica-se li ambos os lados de F(s) por (s p k ); então, faz-se s p k, isto é, 25 inversa Exercício 7 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F 3(s), e encontrar a função no domínio do tempo f 3 (t) correspondente a F 3 (s) inversa Exercício 5 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F 1 (s), e encontrar a função no domínio do tempo f 1 (t) correspondente a F 1 (s). inversa Pólos repetidos Neste caso, F(s) tem pólos simples, porém um dos pólos, p 1, tem multiplicidade m. Denotando os m resíduos correspondentes aos múltiplos pólos p 1 como r 11,r 12,r 13,...,r 1m, tem-se a expansão em frações parciais como inversa Exercício 6 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F 2(s), e encontrar a função no domínio do tempo f 2 (t) correspondente a F 2 (s). inversa Pólos repetidos Um resíduos r 1k é calculado l como 28 32

5 inversa Exercício 8 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F 4 (s), e encontrar a função no domínio do tempo f 4 (t) correspondente a F 4 (s). Referências Engenharia de Controle Moderno, Katsuhico Ogata, LCT, Sistema de Controle Moderno, Richard C. Dorf e Robert H. Bishop, LCT, Linear Control System Analysis and Design with Matlab, John D'azzo azzo, Constantine H. Houpis e Stuart N. Sheldon, inversa Exercício 9 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F 4 (s), e encontrar a função no domínio do tempo f 5 (t) correspondente a F 5 (s). 34 inversa Caso em que F(s) é uma função racional imprópria Se F(s) é uma função racional imprópria, i m n, deve-se primeiro dividir o numerador N(s) pelo denominador D(s) para obter uma expressão da forma onde N(s)/D(s) é uma função racional própria. 35 inversa Exercício 10 Encontrar a transformada de Laplace inversa f 6 (t) de F 6 (s) 36