Disciplina: Instrumentação e Controle de Sistemas Mecânicos. Teoria de Controle Parte 2

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1 Disciplina: Instrumentação e Controle de Sistemas Mecânicos Teoria de Controle Parte 2

2 Sistemas de Primeira Ordem: Função de Transferência Pelo o que já foi dito, devido aos diferentes tipos de atraso, os componentes de uma malha de controle não respondem instantaneamente a variações na entrada. Isto faz com que as respostas da malha de controle sofram variações somente após decorrido algum tempo. Esta forma, para poder prever o real comportamento do sistema de controle, é necessário que seja estabelecida a função de transferência que rege o seu funcionamento. Esta função de transferência é determinada estudando-se o comportamento do sistema frente à determinados estímulos, tais como perturbações em degrau ou senoidais no sinal de entrada.

3 Um sistema de grande importância no estudo de sistemas de controle é o denominado sistema de primeira ordem. A partir de sua análise são obtidas definições e conclusões chave para o entendimento de outros sistemas. Os sistemas de primeira ordem são representados por uma equação diferencial de primeira ordem. Para analisar a resposta com relação ao estímulo de entrada, necessita-se resolver esta equação diferencial. A resolução pode ser feita através de métodos clássicos ou através das Transformadas de Laplace.

4 Perturbação em Degrau Seja uma perturbação como ilustrada abaixo: X(t) A t Verifica-se que: x = 0 para t < 0 x = A para t 0

5 A Transformada de Laplace (no domínio s ) é: X s = A s No caso do controle industrial, a análise de um sistema tem por objetivo obter a função de transferência. X(s) G(s) Y(s) A função X(s) na entrada representa como a entrada varia no tempo, enquanto Y(s) é a resposta do sistema às variações na entrada. O objetivo é determinar a função G(s), a função de transferência que rege as respostas do sistema.

6 Para isto, analisa-se as respostas Y(s) do sistema para algumas diferentes funções típicas X(s) na entrada. A análise indica como é a função G(s).

7 Recordando Transformada de Laplace A Transformada de Laplace é uma metodologia matemática que simplifica grandemente a resolução de equações diferenciais. Isto porque a equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função apresentada na forma de derivada, e no controle industrial, a relação entre alterações de entrada e as respectivas respostas dos sistemas de controle é descrita com fidelidade através de equações diferenciais.

8 A Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida pela expressão L f t = F t = e f t dt Onde s é uma variável complexa e e -st é chamado de kernell da transformada. Desta forma, quando aplicado o operador de Laplace sobre uma função f(t), esta se transforma em uma função F(s). Em outras palavras, a função f(t), que estava no domínio de t, passa a ser uma função F(s) no domínio s.

9 Observa-se que: a) Como o limite superior da integral é infinito, trata-se de uma integral imprópria. b) Uma vez que o limite inferior é zero, isto significa que o comportamento de f(t) para t 0 é desprezado. Na maior parte das aplicações de engenharia isto não é problema, uma vez que estas são, na maioria absoluta das vezes, sistemas físicos nos quais as funções estão relacionadas ao tempo. c) Existe como trabalhar com t 0 se empregada a Transformada de Laplace Bilateral, mas esta não será vista aqui.

10 Exemplo: Seja uma função f(t) = c. Então, aplicando o conceito de transformada de Laplace, temos que L c = e cdt = c. e s 0 c. e L c = lim s c s L c = c s A seguir, são apresentadas as Transformadas de Laplace mais utilizadas na área de controle:

11 df(t) dt s. F s f(0)

12 Sistemas de Primeira Ordem continuação Seja um termômetro de mercúrio alojado em uma corrente de fluido cuja temperatura x varia no tempo. A questão é calcular como varia a leitura y para uma dada variação x. Inicialmente a termômetro se encontra no estado estacionário. No instante t = 0, este é submetido a uma variação de temperatura x(t). Temperatura na vizinhança: x y Filme Parede de vidro Obs.: A resistência térmica do vidro será considerada como desprezível.

13 No estado estacionário: entrada saída = acumulação. Onde h. A. x y 0 = m. C. dy dt A: área da superfície do bulbo (m 2 ) C: capacidade térmica do mercúrio (kcal/kg. o C) m: massa do mercúrio (kg) t: tempo (segundo) h: coeficiente de transferência do filme (kcal/s.m 2. o C) O calor que é transferido para o mercúrio faz com que este suba através do bulbo, registrando a temperatura correspondente.

14 Esta equação é uma equação diferencial de primeira ordem: h. A. x y 0 = m. C. dy dt Pode ser reescrita da seguinte forma, em regime estacionário, onde a variação de y no tempo é nula: h. A xs ys = 0 Onde xs e ys são as temperaturas x e y no estado estacionário. A equação nos diz que, no estado estacionário, a temperatura lida no termômetro é a mesma da vizinhança.

15 Subtraindo uma equação da outra: h. A. x y h. A xs ys = m. C. dy dt h. A. x xs y ys = m. C. dy dt Lembrando que dy d y ys = dt dt pois ys é constante, a equação pode ser reescrita como d y ys h. A. x xs y ys = m. C. dt Denominado x xs de X, e y ys de Y, tem-se

16 h. A. X Y = m. C. dy dt Para agrupar as constantes, faz-se = (m.c)/(h.a), sendo denominada de constante do tempo, ficando X Y = τ. dy dt X = Y + τ. dy dt Aplicando-se Laplace aos dois termos da equação, tem-se a chamada Função de Transferência do sistema em análise, no domínio s : X s = Y s + τ. s. Y(s) X s = Y s 1 + τ. s

17 X s = Y s 1 + τ. s G s = Y(s) X(s) = τ. s G(s) é a função transferência do sistema. Uma vez estabelecida a função de transferência de um sistema, pode-se obter a resposta transiente a qualquer perturbação na entrada. X(s) G(s) Y(s)

18 Resposta de Sistema de Primeira Ordem a Perturbação Degrau Se uma perturbação de amplitude A for introduzida num sistema de primeira ordem, então X(s) = A/s. Como G s = Y(s) X(s) = τ. s Y(s) = X(s) τ. s Y s = A s τ. s

19 Tem-se a equação que rege a resposta do sistema em função da variável complexa s, mas o que se deseja é a equação que rege a resposta em função do tempo. É necessário usar a Transformada de Laplace para sair da variável s e retornar para a variável t. Mas a equação não se encontra na tabela de transformadas. Por outro lado, trata-se do produto de duas equações que se encontram na tabela. Y s = A s τ. s = A s. 1 + τ. s Para poder usar a tabela, o ideal é transformar este produto em uma soma. Isto é feito usando-se uma expansão em frações parciais.

20 Sejam k1 e k2 tais que permitam A s. 1 + τ. s = k1 s + k2 1 + τ. s Multiplicando denominador e numerador por s.(1 +.s), temse: A = k1. τ. s k2. s s = 0 k1 1 + k2(0) = A k1 = A s = 1 τ k1 0 + k2 1 τ = A k2 = A. τ

21 Então A s. 1 + τ. s = A s + A. τ 1 + τ. s Agora é possível usar diretamente a tabela de Transformadas de Laplace: A s A A. τ 1 + τ. s = A. 1 s 1 τ A. e

22 A s A A. τ 1 + τ. s = A. 1 s 1 τ A. e Y t = A A. e = A. 1 e para t 0 Graficamente: Y(t)/A t Y(t)/A 0, t/ 0,632 2 t/ 0,865 3 t/ 0,950 4 t/ 0,982 5 t/ 0,993 t/

23 O valor de Y(t) atinge 63,2% do valor final quando t =, isto é, decorrido um tempo igual à constante de tempo. Considerase a resposta completa após 5 constantes de tempo. Y(t)/A t Y(t)/A 0, t/ 0,632 2 t/ 0,865 3 t/ 0,950 4 t/ 0,982 5 t/ 0,993 t/

24 A inclinação da curva no ponto inicial é igual a 1. Assim, se a velocidade inicial de mudança em Y(t) fosse mantida, a resposta seria completada após decorrido um tempo igual a uma constante de tempo. Y(t)/A t Y(t)/A 0, t/ 0,632 2 t/ 0,865 3 t/ 0,950 4 t/ 0,982 5 t/ 0,993 t/

25 Bibliografia Egídio Alberto Bega, Gerard Jean Delmee, Pedro Estéfano Cohn, Roberval Bulgarelli, Ricardo Koch, Vitor Schmidt Finkel Instrumentação Industrial, Editora Interciência, 3ª Edição, 2011.