Transferência de Calor

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1 Transferência de Calor Condução em Regime Transiente Filipe Fernandes de Paula Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/26

2 Introdução 2/26

3 Introdução Muitos problemas em condução de calor dependem do tempo; É comum esses tipos de problemas aparecem quando há uma mudança nas condições de contorno; Um exemplo é quando a temperatura da superfície de um sistema é alterado, levando a uma mudança na distribuição de temperaturas no sistema. Após um determinado tempo, o sistema volta novamente ao equiĺıbrio; O objetivo da análise de regimes transientes é determinar a dependência da temperatura pelo tempo e o calor transferido para vizinhança; 2/26

4 Método da Capacitância Global 3/26

5 Introdução O método da capacitância global é aplicado a um sistema que sofre uma mudança nas suas condições térmicas através de uma imposição a convecção; O método assume que não existe variação de temperatura no sólido, ou seja, todo corpo terá temperatura uniforme durante todo processo transitório; Negligenciando a variação de temperatura no sólido, não é mais necessário utilizar a equação do calor para encontrar a distribuição de temperatura, um simple balanço de energia é suficiente. 3/26

6 Método da Capacitância Global Realizando o balanço de energia, tem-se Fazendo a seguinte substituição, ha s (T T ) = ρvc dt dt (1) θ = T T (2) Tem-se ρvc dθ ha s dt = θ (3) Observar que (dt /dt) = (dθ/dt) 4/26

7 Método da Capacitância Global Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte resultado θ = T T [ ( ) ] has = exp t (4) θ i T i T ρvc Fazendo, Tem-se, Onde Ti é a temperatura inicial do sólido. τ t = ρvc ha s (5) ( ) θ = exp tτt θ i (6) 5/26

8 Método da Capacitância Global O termo τ t é chamado de constante de tempo térmica, e pode ser reescrito da seguinte forma: ( ) 1 τ t = (ρvc) = R t C t (7) ha s R t é a resistência térmica de convecção; C t é chamado de capacitância térmica global térmica. Qualquer aumento em R t ou C t causará uma resposta mais lenta do sólido à mudanças em seu ambiente térmico; 6/26

9 Método da Capacitância Global 7/26

10 Método da Capacitância Global Para calcular a energia total transferida do/para o sólido até um certo tempo t, é apenas necessário resolver a seguinte equação: Que resulta em, Q = t 0 t qdt = ha s θdt (8) ( )] Q = (ρvc)θ i [1 exp tτt 0 (9) 8/26

11 Validade do Método da Capacitância Global 9/26

12 Introdução O método da capacitância global é uma simples e conveniente formulação para determinar o regime transiente de um sólido; No entanto, sua aplicação é restrita, sendo necessário conhecer em quais situações é possível utilizar esse método de forma a obter uma boa precisão; Para desenvolver um critério, primeiro será introduzido o número de Biot. 9/26

13 Número de Biot O número de Biot é um número adimensional, que possui um importante papel em problemas de condução envolvendo convecção na superfície; Pode ser calculado pela seguinte equação: Bi = hl k (10) O número de Biot fornece uma medida da variação de temperatura no sólido relativa à variação de temperatura entre a superfície do sólido e do fluido; Também pode ser interpretado como uma razão de resistências. Bi = R t,cond R t,conv = T s,1 T s,2 T s,2 T (11) Pode-se então afirmar que para Bi muito pequeno, pode-se assumir temperatura uniforme em um sólido; 10/26

14 Número de Biot 11/26

15 Validade do Método da Capacitância Global Analisando agora a condução transiente, pode-se utilizar o número de Biot para verificar se o método da capacitância global é aplicável ao problema; O método da capacitância global assumi que o sólido possui temperatura uniforme em seu interior (variando apenas com o tempo), assim é preciso que o número de Biot do sistema seje pequeno o suficiente; Dessa forma, pode-se determinar um limite máximo para que as hipóteses do método da capacitância global sejam satisfeitas: Onde Lc é dado por: Bi = hl c k < 0, 1 (12) L c = V A s (13) 12/26

16 Validade do Método da Capacitância Global Utilizando a definição de L c, pode-se reescrever t/τ t t = ha st τ t ρvc = ht = hl c ρcl c k k ρc t L 2 c = hl c k αt L 2 c (14) Onde α é chamada de difusividade térmica. A difusividade térmica é uma propriedade que indica quão rapidamente um material reage à mudanças de temperatura externa. α = k ρc (15) 13/26

17 Validade do Método da Capacitância Global Na equação 14 pode-se reconhecer o número de Biot e um por outro termo adimensional que multiplica-o; Esse termo é conhecido como número de Fourier: Fo = αt L 2 c (16) Assim, O número de Fourier é um tempo adimensional, que em conjunto com Bi, caracteriza problemas de condução transiente; t = ha st τ t ρvc = Bi Fo 14/26

18 Validade do Método da Capacitância Global Pode-se então, reescrever as equações 6 e 18, θ = T T ( ) = exp Bi Fo θ i T i T ( Q = (ρvc)θ i [1 exp )] Bi Fo (17) (18) 15/26

19 Validade do Método da Capacitância Global 16/26

20 Exemplo Exemplo 1 - Uma junta de termopar, que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a h = 400W /(m K) e as propriedades termofísicas da junta são k = 20W /(m K), c = 400J/(kg K) e ρ = 8500kg/m 3, Determine o diâmetro que a junta deve possuir para que o termopar tenha uma constante de tempo de 1s. Se a junta está a 25 C e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a 200 c. Quanto tempo demorará para a junta alcançar 199 C? 17/26

21 Exemplo (5.12) Exemplo 2 - Sistemas de armazenamento de energia térmica normalmente envolvem um leito de esferas sólidas, através do qual um gás quente escoa se o sistema estiver sendo carregado ou um gás frio se o sistema estiver sendo descarregado. 18/26

22 Exemplo (5.12) Exemplo 2 - Considere um leito de esferas de aluminio (ρ = 2700kg/m 3, c = 950J/(kg K) e k = 240W /(m K) com 75mm de diâmetro e um processo de carregamento no qual o gás entra na unidade de armazenamemo a uma temperatura T g,i = 300 C. Se a temperatura inicial das esferas for T i = 25 C e o coeficiente de transferência de calor h = 75W /(m 2 K), quanto tempo demora para uma esfera próxima à entrada do sistema acumular 90% da energia térmica máxima possível? Qual é a temperatura correspondente no centro da esfera? Há alguma vantagem de usar cobre no lugar do alumínio? 19/26

23 Análise Geral Via Capacitância Global 20/26

24 Introdução Apesar de ser mais comum, o regime transitório ser iniciado em um sólido por convecção, outros processos também podem ocorrer: Troca de calor por radiação; Geração interna de calor; Aplicação de fluxo de calor no sólido; Todos esses fenômenos combinados geram uma variação no tempo da temperatura até que o equiĺıbrio seja atingido. 20/26

25 Análise Geral Via Capacitância Global Aplicando conservação de energia, tem-se a seguinte relação geral: q s A s,h + Ė g + (q conv + q rad)a s(c,r) = ρvc dt dt (19) 21/26

26 Análise Geral Via Capacitância Global A equação 19 pode ser reescrita como: q s A s,h + Ė g + [h(t T ) + εσ(t 4 T 4 viz)]a s(c,r) = ρvc dt dt (20) A equação 20 é uma equação diferencial não linear que não possui solução anaĺıtica; Soluções exatas podem ser obtidas para simplificações. 22/26

27 Apenas Radiação 23/26

28 Apenas Radiação Impondo que o fluxo de calor, convecção (no vácuo) e geração não existem ou podem ser negligenciados frente a radiação, a equação 20 pode ser simplificada para: εσ(t 4 T 4 viz)a s(c,r) = ρvc dt dt (21) A solução da equação é dada por: { ρvc t = 4εA s,r σtviz 3 ln T viz + T T viz T ln T viz + T i T viz T i [ ( ) ( )]} (22) T +2 tan 1 tan 1 Ti T viz T viz Não é possível isolar T em função de t. 23/26

29 Apenas Radiação Fazendo T viz = 0 (condição no espaço infinito), tem-se: t = ρvc ( 1 σ 3εA s,r T 3 1 ) Ti 3 (23) 24/26

30 Radiação Negligenciável 25/26

31 Radiação Negligenciável Desprezando a radiação, a equação 20 se reduz a: q s A s,h + Ė g + h(t T )A s(c,r) = ρvc dt dt A solução é dada por: (24) ( T T = exp ha ) [ ( s,c T i T ρvc t + q s A s,h + Ė g 1 exp ha )] s,c ha s,c (T i T ) ρvc t (25) 25/26

32 Convecção com Coeficiente Convectivo Variável 26/26

33 Convecção com Coeficiente Convectivo Variável Em alguns casos, como convecção natural ou evaporação, o coeficiente de convecção pode varia com a diferença de temperatura entre o objeto e o fluido; Nesses casos o coeficiente de convecção pode ser escrito da segunte forma: h = C(T T ) n (26) Onde n é uma constante e C possui unidades [W /m 2 K (1+n) ]. Resolvendo a equação 20 para este caso, tem-se: ( θ ncas,c θ n 1/n i = t + 1) (27) θ i ρvc 26/26

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