Teoria de Controle. Helio Voltolini

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1 Teoria de Controle Helio Voltolini

2 Conteúdo programático Introdução aos sistemas de controle; Modelagem matemática de sistemas dinâmicos; Resposta transitória de sistemas de controle; Estabilidade dos sistemas de controle; Método do lugar das raízes; Resposta em frequência; Análise e projeto por Nyquist; Controladores P, PI e PID; Análise de sistemas mediante variáveis de estado.

3 Introdução aos sistemas de controle O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de James Watt( , nasceu na cidade Greenok na Escócia) que construiu, no século XVIII, um controlador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor.

4 Definições básicas Planta: Qualquer objeto físico a ser controlado (como um componente mecânico, um forno, um reator químico, etc) Processo: Toda operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos e biológicos. Sistema: É a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir um determinado objetivo. Ex: sistemas físicos, biológicos, etc. Controle com Retroação(Realimentação): Se refere a uma operação que, na presença de distúrbios, tende a reduzir a diferença entre o sinal de saídaeosinaldereferência,equeoperacombasenestadiferença.

5 Definições Básicas Variável controlada ou variável de processo (PV)-É a variável que se deseja controlar, ou seja, é a saída do processo. Variável de controle ou variável manipulada (MV) é a variável que atua na entrada do processo, ou seja, é própria entrada do processo. SP (Setpoint) É o valor de referência definido na entrada do Sistema de Controle. Esse valor é usado para comparar com o valor medido e resulta no erro. Erro É a diferença entre o valor de referência, ou setpoint, e a Variável Controlada (Erro = SP PV). Esse valor é enviado ao elemento de controle.

6 Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Máquina elétrica Usina Termoelétrica Circuito RC

7 Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Sistema de aquecimento

8 Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)

9 Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Sistema de controle de velocidade de um motor de combustão interna baseado no regulador de Watt

10 Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Sistema de controle de robôs

11 Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Sistema de controle de Temperatura

12 Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as variáveis controladas e manipuladas de cada sistema) Sistema de controle de Nível

13 Sistema em malha aberta. Sem realimentação; A entrada não é modificada de forma a seguir as alterações nas condições de operações. Se houver mudança nas condições ambientais (um distúrbio) nãotemcomocompensarasaída(umaportaoujanelaquese abre em um ambiente com temperatura controlada, por exemplo).

14 Controle em Malha Fechada Possui realimentação; Umsinaldasaídaéutilizadoparamodificarosinaldoerro,de tal modo que a saída siga o valor de referência, mesmo com modificações de operação; O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição a perturbações externas e é estável.

15 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada Considere um motor cc representado apenas por um ganho. Isto significa que toda a dinâmica do sistema é desprezada. O conjunto motor + carga é representado por um ganho K motor = 10 rpm/volt Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga provoque uma diminuição de 2 rpm.

16 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada O diagrama representando os dados apresentados está mostrado abaixo. Considere o sistema em malha aberta como apresentado a seguir. Este diagrama apresenta também um controlador com ganho 1/10 para que a saída(sem perturbação) tenha o mesmo valor que a entrada.

17 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada Para d=0 1 ω = 10 ωref ω = ω 10 ref Para uma velocidade de referência de, por exemplo, 1000 rpm, tem-se exatamente o mesmo valor de saída. Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. Um simples cálculo mostra que o valor final da velocidade é 800 rpm

18 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada Considera-se agora o sistema em malha fechada, como mostrado abaixo. ( ) ω ω ω Inicialmente com d = 0 = ref 2000 ω = ω 2001 ref Para ω ref = 1000 rpm, tem-se que ω= 999,5002 rpm

19 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada Considera-se agora o caso com a perturbação. O valor da saída é: ou ( ref ) ω = ω ω 2d ω = ω ref d Para ω ref = 1000 rpm e d = 100 Nm: ω = 999,45 rpm Para o caso da malha aberta o valor de saída era de 800 rpm

20 Comparação entre um sistema em malha e em malha fechada Vamos considerar agora uma variação paramétrica, ou seja, vamos supor que um parâmetro, no caso o ganho do processo com valor de 10, tem uma variação de -20%, passando para 8. Esta variação pode ser devida a um desgaste de componentes com o tempo, a variação com temperatura, ou simplesmente devido ao fato de que o parâmetro não foi precisamente determinado. Parad=0eparad=100Nm,calculeovalordasaídase ω ref =1000rpm.

21 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos Sistema linear Um sistema é linear se a ele se aplica o principio da superposição, isto é, a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas entradas diferentes é igual a resposta produzida pela soma das resposta de cada entrada individual. Sistema Linear Invariante no Tempo são sistemas descritos por Sistema Linear Invariante no Tempo são sistemas descritos por equações diferenciais com coeficientes constantes ou funções apenas da variável independente:

22 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos Sistema não Linear Em um sistema não linear não se aplica o principio da superposição. Assim, a resposta a duas entradas não pode ser calculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se os resultados.

23 Função de Transferência (FT) Relaciona entradas-saídas de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo É definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada, na hipótese de que todas as condições iniciais são nulas.

24 Função de Transferência (FT) Seja um sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial. ( n) ( n 1). ( m) ( m 1). 0 1 n 1 n 0 1 m 1 m ( ) a y + a y a y+ a y = b x + b x b x+ b x n m onde yéosinaldesaídaexéosinaldeentrada. Na hipótese de todas as condições iniciais nulas: Função de transferência = G( s) = [ ] [ ] com condições iniciais nulas Laplace saída Laplace entrada G( s) = b s + b s b s + b m m m 1 n n n 1 a s + a s + + a s + a m n

25 Função de Transferência (FT) Exemplo: Determine a Função de Transferência em s do sistema abaixo: Solução: 1 ei = Ri + i dt C 1 eo = i dt ou i = C C de dt o deo ei = RC + eo dt deo RC + eo = ei dt Aplicando Laplace: RC se ( s) + E ( s) = E ( s) o o i

26 Solução: Eo ( s)( RC s + 1) = Ei ( s) ou Eo ( s) 1 = E ( s ) RC s+1 i Fazendo RC = τ Eo ( s) 1 = Função de transferência em s do circuito RC E ( s) τs+1 i

27 Propriedades da Função de Transferência (FT) Uma função matemática que expressa a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada; É uma propriedade do sistema, independe da entrada; Relaciona o sinal de entrada ao de saída, no entanto, não fornece qualquer informação concernente à estrutura física do sistema; Se a FT de um sistema é conhecida, a saída ou resposta do sistema pode ser estudada para varias formas de entradas; Se a FT de um sistema é desconhecida, ela pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se sinais de entradas conhecidos e estudando-se o sinal de saída.

28 DIAGRAMA DE BLOCOS O diagrama de bloco é uma representação das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais de um sistema. PONTO DE SOMA é um circulo indicando uma operação de soma. PONTO DE DERIVAÇAO é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai simultaneamente para outros blocos ou ponto de soma.

29 DIAGRAMA DE BLOCOS Diagrama de Blocos de um sistema a malha fechada: Função de Transferência a malha aberta: é a relação entre o sinal de retroaçãob(s)eosinaldeerroe(s)atuante: B( s) FT a malha aberta = = G( s) H ( s) E( s)

30 DIAGRAMA DE BLOCOS FUNÇÃODETRANSFERÊNCIADEAÇÃODIRETA:éarelaçãoentreosinalde saídac(s)eosinaldeerroe(s)atuante: FT de ação direta C( s) = = G( s) E( s) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A MALHA FECHADA é a relação entre o sinaldesaídac(s)eosinaldeentradar(s). C( s) = G( s) E( s) e E( s) = R( s) B( s) E( s) = R( s) H ( s) C( s) [ ] C( s) = G( s) R( s) H ( s) C( s) C( s) = G( s) R( s) G( s) H ( s) C( s) [ ] C( s) 1 + G( s) H ( s) = G( s) R( s) C( s) G( s) = R( s) 1 + G( s) H ( s)

31 DIAGRAMA DE BLOCOS SISTEMA A MALHA FECHADA SUJEITO A UMA PERTURBAÇAO: Seosistemaélinear,asaídaC(s)podesercalculadadevidoacadaentrada individualmente e adicionando-as no final.

32 DIAGRAMA DE BLOCOS CálculodaFTdevidoaentradaR(s)comD(s)=0 CR( s) G1 ( s) G2( s) = R( s) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) 1 2 G ( s) G ( s) C s R s 1 2 R ( ) = ( ) 1 + G 1( s ) G 2( s ) H ( s ) CálculodaFTdevidoaentradaD(s)comR(s)=0 G ( s) C s D s 2 D ( ) = ( ) 1 + G 1( s ) G 2( s ) H ( s ) CálculodaFTdevidoaaplicasimultâneadossinaisR(s)eD(s) C( s) = C ( s) + C ( s) R D G ( s) C s G s R s D s [ ] 2 ( ) = 1( ) ( ) + ( ) 1 + G1 ( s) G2 ( s) H ( s)

33 DIAGRAMA DE BLOCOS Procedimentos para a construção de diagramas de blocos Descrevem-se as equações do comportamento dinâmico da cada componente. Obtémse, em seguida, a transformada de Laplace destas equações, supondo condições iniciais nulas. Finalmente, reúnem-se os elementos em um diagrama de bloco completo Exemplo: Considere o circuito RC série: ei eo Ei ( s) Eo ( s) i = I(s)= R R 1 I( s) eo = idt Eo(s)= C Cs

34 Exemplo construção de diagramas de blocos (cont.) ei eo Ei ( s) Eo ( s) i = I(s)= R R 1 I ( s ) eo = idt E o(s)= C Cs Diagrama de blocos representando o circuito RC série

35 Exercícios 1. Apartirdodiagramadeblocosabaixo,obteraFTdocircuitoRCsérie. 2. Obter a FT do sistema a malha fechada com realimentação positiva mostrado a seguir:

36 Exercícios 3. ObteraFTdocircuitoRCsérie. 4. Obter o diagrama de blocos em malha fechada que representa o circuito RC do exercício anterior

37 Redução de diagrama de blocos

38 Redução de diagrama de blocos Exemplo - Simplificar o diagrama blocos mostrado abaixo:

39 Exercícios Simplifique os seguintes diagramas de blocos: (a) (b) (c)

40 Modelagem de sistemas mecânicos Seja um sistema massa-mola-amortecedor: Pela 2ª Lei de Newton: Portanto:» Somatório de forças aplicadas à massa = F kx cv Onde: -F é a força aplicada à massa; -k é a constante elástica da mola; -c é a constante do amortecedor; -v é a velocidade do pistão do amortecedor; -x é deslocamento da massa. Como: 2 d x Somatório de forças aplicadas à massa = ma = m dt 2 d x m = F kx cv 2 dt 2 d x dx m + c + kx = F 2 Descreve a relação entre a entrada F e a saída x. dt dt v 2 = dx dt

41 Modelagem de sistemas mecânicos Pela 2ª Lei de Newton: 2 d x Somatório de forças aplicadas à massa = ma = m dt 2 Portanto: 2 d x m = F kx cv Como: dx 2 dt v = dt 2 d x dx m + c + kx = F 2 dt dt Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.

42 Modelagem de sistemas mecânicos Equação diferencial que descreve o comportamento do sistema massamola-amortecedor: 2 d x dx m + c + kx = F 2 dt dt 2 X ( s) ms + cs + k = F( s) X ( s) 1 = 2 F ( s ) ms + cs + k F( s) 1 2 ms + cs + k X ( s)

43 Modelagem de sistemas mecânicos Na ausência de amortecimento, a massa m oscilará com um freqüência angular natural ω n dada por: ω = n ( / ) k m rad/s Para o movimento amortecido, uma razão de amortecimento ζ(zeta) é usada para definir a extensão do amortecimento: ζ = 2 c mk

44 Modelagem de sistemas mecânicos A equação diferencial torna-se: d x ζ dx F + + x = dt ω dt k ω 2 2 n n Em Laplace 2 d x dx 2 F 2 + 2ζω 2 n + ωn x = ωn dt dt k ( ) ωn F s s X ( s) + 2ζωnsX ( s) + ωn X ( s) = k ( ) ( ) X s 1 ω = F s k s s 2 n ζωn + ωn

45 Modelagem de sistemas mecânicos O sistema massa-mola-amortecedor pode ser representado da seguinte forma: F( s) ω 2 1 n 2 2 k s + 2 ζωns + ωn X ( s)

46 Modelagem de sistemas elétricos Os blocos básicos de sistemas elétricos passivos são os resistores, indutores e capacitores considerando os princípios básicos. Para o resistor: v = Ri i = v R P = Ri 2 Para o indutor: v = di L dt i 1 = L vdt E = 1 2 Li 2 Para o capacitor: v 1 = idt C i = dv C dt E = 1 2 Cv 2

47 Modelagem de sistemas elétricos As equações que descrevem cada componente devem ser combinadas utilizando as Leis de Kirchoff. Exemplo: Seja o circuito abaixo, onde e i é a entrada e e o é a saída do sistema. Em Laplace

48 Modelagem de sistemas elétricos Funções de Transferência de elementos em cascata com carregamento: Em Laplace

49 Modelagem de sistemas elétricos Sistema formado por elementos em cascata sem carregamento: Funções de Transferência de elementos em cascata sem carregamento

50 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Resistência e Capacitância de sistemas de Nível de Liquido: A resistencia R ao fluxo de liquido na válvula de carga é:

51 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido A relação entre vazão e a diferença de nível difere no escoamento laminar e no escoamento turbulento. Fluxo laminar Número de Reynolds menor que 2000 Sistemas que apresentam fluxo laminar podem ser representados por equações diferencias lineares. Fluxo Turbulento Número de Reynolds maior que Sistemas que apresentam fluxo Turbulento devem ser representados por equações diferenciais não lineares.

52 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Para escoamento Laminar: Onde: A resistência no escoamento laminar é : A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à resistência elétrica.

53 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Para escoamento Turbulento: Onde: A resistência no escoamento Turbulento é:

54 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido A relação entre Q e H pode ser dada por: A resistência pode ser determinada pela inclinação da curva no ponto de operação

55 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Capacitância: A capacitância C de um reservatório é definida sendo a variação da quantidade de liquido armazenado necessária par causar a variação unitária no potencial(altura do nível do liquido). Deve-se notar que a capacidade (m 3 ) e capacitância (m 2 ) são grandezas diferentes. A capacitância de um reservatório é igual à área de sua seção reta. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer altura de liquido.

56 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Seja o sistema abaixo. As variáveis dão definidas com se segue:

57 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante um pequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório: Sendo: Seja :

58 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Seja o sistema de nível de liquido com iteração mostrado abaixo: Sendo:

59 Modelagem de sistemas de Nível de Líquido Admitindo a vazão q como grandeza de entrada e q 2 como variável de saída, a função de transferência do sistema é: Seja :

60 Exemplo: Nosistemadeníveldafiguraabaixo,admita-sequeavazãoQm 3 /satravés daválvuladesaídaserelacionacomovalordacolunahporintermédioda expressão: Q = K H = 0,01 H Admita-se, tambémqueparaumavazãodeentrada Q i constanteeiguala 0,015m 3 /sovalordacolunahsemantenhaconstante.noinstantet=0a válvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula para t 0. Determinar o tempo necessário para esvaziar o reservatório ate que o valor da coluna seja metade do valor inicial. A capacitância C do reservatórioéde2m 2.

61 Modelagem de sistemas térmicos Seja o sistema térmico: Para transferência de calor por condução ou convecção: Onde:

62 Modelagem de sistemas térmicos Resistência Térmica para transferência de calor entre duas substancias: A resistência Térmica para transferência de calor por condução ou convecção:

63 Modelagem de sistemas térmicos A CapacitanciaTérmica: é uma medida do armazenamento da energia interna do sistema, é definida por: Ou: Onde: m é a massa da substancia considerada, kg; C é o calor especifico da substancia, kcal/kg o C

64 Modelagem de sistemas térmicos

65 Modelagem de sistemas térmicos

66 Modelagem de sistemas térmicos

67 Modelagem de sistemas térmicos

68 Diagrama de blocos de um sistema térmico

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