Pelo gráfico pode-se perceber que existe atraso na resposta, portanto o modelo adequado é o de 1ª ordem mais tempo morto, que se dá por:

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1 TEQ00 - Lista 3 Controle de Processos Monitoria º Semestre 013 Resolução 1- a) Pelo gráfico pode-se perceber que existe atraso na resposta, portanto o modelo adequado é o de 1ª ordem mais tempo morto, que se dá por: G P = Ke t 0s τ Determinação do ganho do processo: K = y y - variação na entrada u = 15 0 = 15 g/l - variação na saída y = 14,8 0 = 14,8 g/l

2 Assim: K = y u = 14,8 15 = 0,9867 Pelo método de Smith, podemos calcular τ e t 0 : - t 1 e t são encontrados no gráfico: t 1 = 17,6 min e t = 8 min, pelas fórmulas: t 1 0,83 y = 0,83 C t 0,63 y = 0,63 C Determinação da constante de tempo: τ = 1,5(t t 1 ) τ = 1,5(8 17,6) τ = 15,6 min Determinação do tempo morto: t 0 = t τ t 0 = 8 15,6 t 0 = 1,4 min Portanto, o modelo que descreve a resposta é: G P = 0, 9867e 1,4s 15, 6 b) Para determinar o ajuste de um controlador PID usando o método da curva de reação do processo, usaremos a tabela de sintonia de Ziegler-Nichols, malha aberta:

3 Tipo de controlador Ganho Proporcional Tempo integral Tempo derivativo K c τ I τ D P 1 K t 0 τ PI 0,9 K t 0 τ 1 3,33t 0 - PID 1, K t 0 τ 1,0t 0 t 0 Como queremos um controlador PID, é só substituir nas fórmulas: K C = 1, K t 0 τ 1 = 1, 0,9867 1,4 15,6 1 = 1, 53 τ I =,0t 0 =,0 1,4 = 4, 8 min τ D = t 0 = 1,4 = 6, min - Primeiro devemos determinar a função de transferência do processo G P. Temos a variação na entrada, Δu= m 3 /h, e na saída, Δy= 5mA (17mA-15mA) podendo assim calcular o ganho: K = y u = 5 =,5 ma/m3 / A constante de tempo é dada, τ=1, min, e não tem tempo morto. Assim, teremos: G P = G P = K τ, 5 1, As funções de transferência da válvula (G V ) e do transmissor (G T ), levando em conta que a dinâmica de ambas é desprezível, são: G V = 0,9 G T = 0,75m 3 //ma Para o controlador temos: G C = K C

4 Para encontrar a sintonia para um controlador PID utilizando Ziegler-Nichols em malha fechada, devemos fazer: Equação característica 1 + G C G P G T G V = 0,5 1 + K C. 1,. 0,75.0,9 = 0 1, + 1,6875K C = 0 Substituindo s=iw cu e K c =K cu 1,iw CU ,6875K CU = 0 Resolvendo: - parte imaginária: 1,w CU = 0 w CU = 0 T U = 0 - parte real: 1 + 1,6875K CU = 0 K CU = 0,59 Para determinar a sintonização usando Ziegler-Nichols, malha fechada, usamos a tabela abaixo: Tipo de controlador Ganho Proporcional K c Tempo integral τ I Tempo derivativo τ D P K CU - - PI K CU, T U 1, - PID K CU 1,7 T U T U 8 Como T U foi zero, não posso sintonizar um controlador do tipo PID, pois este contém o tempo integral e o derivativo. Portando, o controlador será do tipo P, proporcional: K C = K CU = 0,59 K C = 0, 96

5 3- a) 15 dρ dt = 0.1f A + 0,4f B (f A + f B )ρ 15 dρ dt = 0.1f A + 0,4f B f A ρ f B ρ No estado estacionário: 0 = 0.1f A + 0,4f B f A ρ f B ρ (1) Fazendo a linearização: - f(f A ρ) = f A ρ + ρ f A f A + f A ρ ρ -f(f B ρ) = f B ρ + ρ f B f B + f B ρ ρ Sendo as variáveis de desvio: F A = f A f A F B = f B f B ρ = ρ ρ Assim: 15 dρ dt = 0.1f A + 0,4f B f A ρ + ρ F A + f A ρ f B ρ + ρ F B + f B ρ () Subtraindo () de (1): Fazendo Laplace: 15 dρ dt = 0.1F A + 0,4F B ρ F A f A ρ ρ F B f B ρ 15 sρ s ρ(0) = 0.1F A s + 0,4F B s ρ F A s f A ρ(s) ρ F B (s) f B ρ(s) 15sρ s + f A + f B ρ s = F A s 0,1 ρ + F B s 0,4 ρ (3) f A = L/min f B = 5L/min Cálculo da densidade da mistura: ρ 1 F A + ρ F B = F A + F B ρ (Balanço de massa)

6 0,1 + 0,4 5 = + 5 ρ ρ = 0,g/L Substituindo os valores de f A, f B e ρ em (3) ficamos com: 15sρ 5ρ s = 0,1F A s + 0,F B s 15sρ 5ρ s = 0,1F A s + 0,F B s ρ s = 0,1 155 F 0, A s F B s ρ s = 6,7x 3 F s+1 A s + 0,013 F s+1 B s (4) F A (s) e F B (s) podem ser achados pelos gráficos: Para F A (s): (com tempo morto) K A = y,6 = u 70% 60% = 6L/min/%

7 Pelo método de Smith, podemos calcular τ e t 0 : - t 1 e t são encontrados no gráfico: t 1 = 19,5 min e t = 39 min, pelas fórmulas: t 1 0,83 y t 0,63 y Determinação da constante de tempo: τ = 1,5(t t 1 ) τ = 1,5(39 19,5) τ = 9,5 min Determinação do tempo morto: t 0 = t τ Assim: t 0 = 39 9,5 t 0 = 9,75 min F A (s) U A (s) = F A (s) = 6e 9,75s 9,5 6e 9,75s 9, 5 U A(s) Para F B (s): (sem tempo morto) K B = y u = % 50% = L/min/%

8 Pelo método de Smith, podemos calcular τ: - t 1 e t são encontrados no gráfico: t 1 = 7,5 min e t = 18 min, pelas fórmulas: t 1 0,83 y t 0,63 y Determinação da constante de tempo: τ = 1,5(t t 1 ) τ = 1,5(18 7,5) τ = 15,75 min Assim: F B (s) U B s = 15,75

9 F B (s) = 15, 75 U B(s) Substituindo os valores de F A (s) e F B (s) encontrados pelas curvas na equação (4), para deixar em função do sinal recebido no controlador (U A e U B ), temos: 6, 7x 3 ρ s = 6e 9,75s 9, 5 U 0, 013 A(s) + 15, 75 U B(s) - O esquema é: Obs:. Apenas a F B será controlada, pois a F A possui tempo morto. Além disso, pode-se observar que na equação de ρ s o peso do efeito da variação em U B (s) é maior que U A (s).

10 - Diagrama de blocos: Onde: G C = K C G V = 1 (levando em consideração que ganho é 1e dinâmica de tempo desprezível) G T = K T = G P (s) = G D (s) = 0 0 %ST 1 0 g/cm 3 = 0%ST/g/cm3 = 0,1%ST/g/L ρ s U B (s) = 0,013 ρ s U A (s) = 6,7x 3 15,75 6e 9,75s 9,5 b) Para malha fechada temos: Equação característica 1 + G C G P G T G V = K C x 0, K C 1 + K C 15,75 x0,1x1 = 0 0,013 15,75s + 16,75 = 0 0,013 15,75s + 16,75 = 0 15,75s + 16,75 + 0,013K C = 0 Substituindo s=jw, K C =K CU,e w=w U

11 15,75(jw U ) + 16,75jw U ,013K CU = 0 15,75w U + 16,75jw U ,013K CU = 0 Parte imaginária: 16,75w U = 0 w U = 0 Parte real: 15,75w U ,013K CU = 0 K CU = 76,9 g/l/%sc Pela tabela malha fechada, só podemos calcular um sintonizador P, já que w U foi zero (isso mostra que a corrente do sinal é contínua e não alternada). Tipo de controlador Ganho Proporcional Tempo integral Tempo derivativo K c τ I τ D P K CU - - PI K CU, T U 1, - PID K CU 1,7 T U T U 8 Assim, o controlador terá como parâmetro: K C = K CU / K C = 38, 5 g/l/%sc c) Temos que, pelo teorema do valor final, o erro no estado estacionário é: Onde: E s = e SS = lim s 0 se(s) ρ s U B (s) = 0,013 15,75 A variação no setpoint foi dada, então U B s = 0,1g/cm 3 = 4 g/l E s = 0,013 15,75. 4 E s = 1, ,75s + 16,75

12 Assim: e SS = lim s 0 s e SS = lim s 0 1, ,75s + 16,75 1, ,756,75 + 1/s e SS = 0 Analisando a malha fechada: 1 + K C x 0, , G C G P G T G V = 0 15,75 x0,1x1 = 0 0,013 15,75s + 16,75 = 0 Para determinar o fator de amortecimento: 1 + 4,9x 7 15,75s + 16,75 = 0 Associando com: Temos: Y s = K τs + ζτ τ = 15,75 min X(s) ζτ = 16,75 ζ = 16,75 x15,75 = 0,53 Como 0 < ζ < 1, resposta é subamortecida.