3.5.2 Compensação usando compensador de atraso de fase

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1 Seção 3. Síntese de Parâmetros de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas Métodos de controle clássico são geralmente empregados para o projeto de reguladores de velocidade de unidades na condição de operação isolada. Duas abordagens são usadas a seguir com este objetivo: projeto no domínio da frequência usando diagramas de Bode; projeto usando o método de Ziegler-Nichols Compensação usando compensador de atraso de fase A função de transferência de um compensador de atraso de fase é dada por: J f com A. A resposta em freqüência do compensador é mostrada na Figura 1. Figura 1: Resposta em freqüência do compensador de atraso de fase A compensação usando o compensador de atraso de fase é feita colocando o compensador em cascata com o processo (Fig. 2). Suponhamos que o sistema não-compensado tenha a resposta em frequência mostrada na figura 3, e que sua margem de fase seja insuficiente. Na compensação usando o compensador de atraso de fase, tenta-se reduzir a frequência de corte de ganho do sistema não-compensado, utilizando-se a atenuação de J f +v, a altas frequências, de modo que a nova frequência de corte de ganho z f propicie a margem de fase desejada. 69

2 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade R(s) +! +! n.v.v! S urfhvvr! - Y(s) Figura 2: Compensador de atraso de fase e processo O procedimento para o projeto pode ser resumido nos seguintes passos: 1. Traçar os diagramas de Bode do sistema não-compensado, e determinar a sua margem de fase. Se esta não atender às especificações, prosseguir com o passo. 2. Determinar a frequência em que se obteria a margem de fase desejada se a curva de amplitude cortasse o eixo de 3 ge nesta freqüência (deixar uma folga de 8 r a 8 r para levar em conta o atraso provocado pelo compensador). 3. Calcular a atenuação necessária à frequência $ f para assegurar que a curva de amplitude cruza 3 ge a esta frequência.. Determinar a posição do zero do compensador de acordo com o atraso permissível para J f +$,, para assegurar que a curva de amplitude cruza 3 ge a esta frequência.. Calcular a partir da atenuação calculada no passo Calcular o polo como $ $},onde$ } é a frequência correspondente ao zero Procedimento para ajuste aproximado dos parâmetros de reguladores de velocidade para hidrogeradores A parte ajustável da função de transferência em malha fechada do sistema de controle primário de velocidade de um hidrogerador é dada por: I dm u U.vU u W u A derivação a seguir permite o cálculo aproximado de W u e u. Em regime permanente (v 3) tem-se: I U Como para altas frequências z u U W u,ouz U u W u, tem-se um ganho vw u U v U u W u ou U u vezes o ganho U na frequência zero. Também nas altas frequências o ângulo de fase se 70

3 Seção 3. Síntese de Parâmetros de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas Figura 3: Compensação por atraso de fase. aproxima de zero. Portanto, para altas frequências pode-se considerar: I dm +v, * u Este é o motivo pelo qual u é chamado estatismo transitório. Como u A U(compensador de atraso de fase), o ganho nas frequências mais altas é menor que o ganho em regime permanente. Normalmente U é fixado em um valor compatível com a operação do sistema interligado 8(). Portanto os parâmetros a ajustar são u e W u. Para assegurar uma boa resposta e estabilidade, projeta-se uma margem de fase do sistema compensado de cerca de 73 r. Considerando um atraso de cerca 8 r introduzido pela função +. W u v,@+. u U W uv,, a função compensada + W z v, u+. vw,+. v Wz,+. v P G,G deve ter um ângulo de fase de 8 r (já que 8 r 73 r 8 ;3 r ). Deve-se observar que a função ajustável I dm +v, foi aproximada por seu ganho a altas freqüências, + u,. Considerando-se a parcela.v P tem-se que a relação P G G é pequena, ou seja, a frequência de corte P G é bem menor do que $f. Portanto o ângulo em $ f é 71

4 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade +$ f,@wdq + zf P G,@wdq + zf G@P, e P G?zf. Então +z f, <3r. Portanto os termos restantes devem contribuir com 68 r. Uma aproximação adicional é feita desprezando-se a contribuição de fase do termo que depende de W. Isto equivale a considerar que a frequência de corte W é tal que W z, f ou seja a contribuição em fase de.vw em z f é 3 r. Então a fase de W z v deve ser 68 r. Então:.v Wz ou wdq +W z $ f, wdq + W z $f,@68r Fazendo wdq tem-se: ou wdq +W z $ f,.wdq + W z $f,@68r W z $ f. W z ;3 r $ 3=7 W z Esta frequência deve corresponder à passagem por 3 ge,ouseja mi f +mz f, m@ A função de transferência com o compensador aproximado por um ganho u tem a forma já vista: + vw z, ug +. v P G,+. v Wz,+. vw, Usando o fato de que W z f tem-se que: e a condição fica: m.z f W 72 m* =3

5 Seção 3. Síntese de Parâmetros de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas Ou aproximadamente: onde foi suposto que: m ug + m3=7, +. 3=7P m@ W z G,+. m3=, m ug m3=7 m 3=7P m@ W +. m3=, zg m.mz f P G m P zf G já que z f P G. Adicionalmente, supondo que: tem-se: m z f W z m m.z f W z m =3 m ug 3=7P W z G m@ Então Wz Determinação de W u : A função de transferência u@=8 W z P.vW u.v u U W u (3.18) deve ter um ângulo de fase de 8 3 na frequência de corte de ganho z 3=7 W z.então Usando-se com wdq 3=7W u W z wdq 3=7uW u W z 83 wdq wdq wdq+8 3,@wdq 8 3=9; 73

6 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade e fazendo-se 3=7Wu W z, tem-se: [ u U [.[ u (3.19) ou [. + u U, 3=9; u U. U A solução é: u U 3=9; u U u u U 3=9; u U 7 U u Como 3=7Wu W z, segue que: W v 7 U u u 3=869 U u. U 3=869 U u 6 U 8 W z u 3=7 A raiz com sinal positivo é escolhida porque um maior valor de W u assegura a relação 3=7.vW W u W z fazendo com que u U+.v tenha um ganho de cerca de U u Wu, u na frequência zf Ajuste de parâmetros de compensadores pelo método de Ziegler-Nichols Os ajustes propostos por Ziegler e Nichols são expressos em termos do valor do ganho N rvf de um controlador proporcional (Fig. ) que leva o sistema ao limite da estabilidade e do período da oscilação sustentada que ocorreria neste limite, dado por S R(s) +! $ rvf. +! N rvf! surfhvvr! - Y(s) Figura : Ajuste de Ziegler-Nichols O método de Ziegler-Nichols permite a determinação dos parâmetros do compensador de uma maneira simples. Os seguintes ajustes são propostos para o controlador J f +v,: Proporcional (P ): J f f,onden rvf Proporcional-Integral (PI ): J f f +. W l v,, onde 7

7 Seção 3. Síntese de Parâmetros de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas N rvf W rvf Proporcional-Integral-Derivativo (PID ) J f f +. W l v. W gv,,onde N rvf W rvf W rvf Proporcional-Derivativo (PD ) J f f +. W g v,, onde N rvf W rvf O método de Ziegler-Nichols é usado a seguir para a determinação dos parâmetros de controladores para reguladores de velocidade com configuração moderna. O sistema de controle de velocidade de uma unidade hidráulica mostrado no diagrama de blocos da Fig. tem função de transferência! +v, + +! - K!!!!.vW vw z.vw P v +v, Figura : Sistema usado para calcular ganho +v, N+ vw z, PW W z v 6. v +W. Wz,P. v+p NW z,.n O controlador foi substituído por um ganho N e W representa a constante de tempo do servoposicionador. A equação característica é dada por: v 6 PW W z +,.v P+W W z.,.v+pnw Deve-se determinar o ganho N rvf que leva o sistema ao limiar da instabilidade. Usando Routh-Hurwitz: 7

8 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade v 6 v v v 3 PWWz P NW z P+W. W z, N P+W Wz.,+PNW z,n+pw W z,@ P+W. Wz, 3 N A condição para a existência de raízes sobre o eixo imaginário é: e, portanto +W W z.,+p N W rvfw z, W z N N W. W z 6W. W z P W z A frequência de oscilação pode ser calculada da equação auxiliar: Logo: P +W. W z,v. N v m W z +6W. W z, Portanto a frequência é dada por: v e o período pode ser calculado de $ W z +6W. W z, ou seja, S $ rvf S s W z +6W. W z, Exemplo: Seja o sistema com parâmetros: W Então usando as expressões anteriores, tem-se N e S vhj. Supondo inicialmente que o controlador seja SL. Então 76

9 Seção 3. Síntese de Parâmetros de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas J f f +., vw l onde N rvf e W rvf. Os parâmetros do controlador são N e W vhj. A estrutura do regulador com servoposicionador considerando-se apenas a ação SL (e 3 3) é (ver Eq.(2.96): Então, ew. vw { Com os parâmetros calculados, tem-se: J f f. N f vw e w. vw { e N f, e e w, W W l N f, W vhj Usando-se a função de transferência do regulador, tem-se: ew W { e 3 s.ew,u@ e 3 s. e w e w e 3 s.v W { e 3 s.ew.v W{ e 3 U.vW u.v u U W u se e3 w e eu@e w, de tal modo que os dois lados da equação são equivalentes. 3 s.ew Pode-se calcular e 3 s usando a equação e 3 s U e e 3 s. e w Então: e 3 e wu e w U ou, com e 3 W u pode ser calculado usando-se a equação: 77

10 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade W W { e 3 s. e w e W vhj. O projeto de um controlador de atrase do fase por diagramas de Bode, usando as aproximações desenvolvidas anteriormente, leva a vhj. (Subsubsubsection head:)controlador SLG Este controlador é dado por J f f +. W l v. W gv, onde N rvf, W rvf e W rvf Substituindo-se os parâmetros obtem-se N W vhj W vhj Comparando com a estrutura do regulador de velocidade SLG: J f +v,@n f. N f W l v.n fw g v@ e w. vw {. vw q Usando as fórmulas de Ziegler-Nichols, tem-se: e 3=6;< e 3 3=38:7 W =;; W 6=::; 3.6 Exercícios 1. O diagrama de blocos da Fig. 6 corresponde a um regulador de velocidade utilizado em unidades hidráulicas. a) Ache a função de transferência Q +v,@+v,; b) Determine os estatismos permanente e transitório, U e, supondo W f desprezível. Cálcule seus valores numéricos para W d =1,86s,W l = 3,0 s, J i =,0, K s = 0,2, w=1. c) Se o regulador controla a velocidade de um gerador isolado de potência nominal 100 MW e freqüência nominal 60 Hz, o qual alimenta uma carga de 60 MW, calcule o desvio de freqüência resultante da aplicação de um degrau de carga de 3,0 MW. Suponha que 1% de variação de freqüência implica em 1% de variação da carga. 78

11 Seção 3.6 Exercícios +v,! w v,! J i!! +!! FA vw l.vw f! + -! Frequencímetro vw d K s " Servoposicionador Taco-acelerômetro Ação integral Figura 6: Diagrama de blocos para regulador do Exercício Dois sistemas D e E têm as seguintes características: Sistema A: Capacidade Nominal = 300 MW, R = 8%, D = 2% para cada 1% de variação de freqüência; Sistema B: Capacidade Nominal = 900 MW, R = 8%, D = 2% para cada 1% de variação de freqüência. a) Supor que os sistemas operam isoladamente. Se o sistema D alimenta sua carga nominal de 200 MW, calcule a queda de freqüência em regime permanente na área D após um degrau de carga de MW; b) Repetir (a), mas agora supondo áreas interligadas e que a área E está alimentando sua carga nominal de 800 MW. Calcule ainda os acréscimos de geração em cada área para suprir o degrau de carga na área D. 3. Considere o caso de uma área ligada a um sistema infinito, sem controle primário de velocidade. Denote por P a constante de inércia da área, G o coeficiente de amortecimento da carga da área e W o coeficiente de potência de sincronização entre a área e o sistema infinito. Através de uma análise para pequenas perturbações (modelo linearizado), calcule a resposta no tempo do desvio de freqüência que segue uma variação em degrau de amplitude O na carga Calcule a razão de amortecimento, a freqüência natural não-amortecida e comente a cerca do desvio de freqüência em regime permanente.. Considere a malha de regulação de velocidade de um gerador isolado, sendo o regulador do tipo com queda de velocidade e W 3>3; v, turbina a vapor sem reaquecimento com ganho unitário e W 3>8 v, constante de inércia do conjunto turbina-gerador, K, igual a,0 s. Além disso, considere que a carga varia com a freqüência de acordo com a relação 2,0 sx PZ /> 3 sx udg@v. Calcule o mínimo valor do estatismo U para que o sistema de controle em malha fechada ainda permaneça estável.. Considere o sistema de controle de velocidade de um gerador hidráulico, cujos parâmetros são dados abaixo: W (constante de tempo do servomotor) = 0,2 s W z (constante de tempo de partida da água) =,0 s 79

12 Capítulo 3 Controle Primário de Velocidade P (inércia da unidade) = 10,0 s G (variação da carga com velocidade)= 1,0 pu/pu U (estatismo permanente) = 0,0 pu/pu Projete um regulador de velocidade para a unidade hidráulica de modo que a margem de fase do sistema compensado seja de aproximadamente 73 r, admitindo-se um atraso de fase de 8 r para a parte ajustável do regulador na nova freqüência de cruzamento de ganho. Para executar o projeto, utilize: A abordagem aproximada sugerida na Subseção 3.; Um procedimento similar ao da Subseção 3., mas sem a introdução de aproximações. Compare os resultados dos dois projetos e discuta possíveis discrepâncias. 80