ADL Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

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1 ADL Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Resposta ao degrau do sistema de segunda ordem genérico da Eq. (4.22). Transformada da resposta, C(s): (4.26) Expandindo-se em frações parciais, (4.27) A aplicação da transformada de Laplace inversa, fornece (4.28) Gráfico desta resposta para diversos valores de. traçado em função do eixo dos tempos normalizado. n t.

2 Outros parâmetros associados à resposta subamortecida são: 1. Instante de pico, T p : Tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico (máximo). 2. Ultrapassagem percentual, % UP: O quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o valor de estado estacionário, final, expresso como uma percentagem do valor de estado estacionário. 3. Tempo de assentamento, T s : Tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de ± 2% em torno do valor de estado estacionário. 4. Tempo de subida, T r ;. Tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do valor final. Observe que as definições de tempo de assentamento e de tempo de subida são fundamentalmente as mesmas para a resposta de primeira ordem. Todas as definições são também válidas para sistemas de ordem superior a 2. Cálculo de T p O valor de T p é encontrado derivando c(t) na Eq. (4.28) e obtendo o primeiro instante de passagem por zero depois de t =0. Esta tarefa é simplificada através da "derivação" no domínio de freqüência usando a propriedade da transformada. Supondo condições iniciais nulas e usando a Eq. (4.26), obtemos Completando os quadrados no denominador, temos

3 ou (4.33) Cada valor de n fornece o instante da ocorrência de máximos e de mínimos locais. O primeiro ponto de pico, que ocorre no instante de pico, T p, é encontrado fazendo n = 1 na Eq. (4.33): Igualando a derivada a zero, resulta (4.34) Cálculo de %UP Com base nafig. 4.14, a ultrapassagem percentual, %UP, é dada por (4.35) Onde c max é obtido calculando o valor de c(t) no instante de pico, c(t p ). Usando a Eq. (4.34) para T p e substituindo na Eq. (4.28), vem (4.36) Pela resposta ao degrau calculada na Eq. (4.28), (4.37) Substituindo as Eqs. (4.36) e (4.37) na Eq. (4.35). obtemos finalmente % UP = e ( ζπ / 2 1 ζ ) 100 (4.38) Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de amortecimento,. O inverso é dado por (4.39)

4 Cálculo de T S Usando a nossa definição, o tempo de assentamento é o tempo necessário para que a amplitude da senóide amortecida da Eq. (4.28) alcance o valor 0,02, ou seja (4.40) Esta equação é uma estimativa conservadora, pois estamos admitindo que Temos então: (4.41) Uma aproximação para o tempo de assentamento que será usada para todos os valores de (4.42) Cálculo de T r Devido à dificuldade de se obter um resultado analítico,usamos um computador e a Eq. (4.28), para determinar o tempo de subida. (figura acima) Exemplo 4.5 Obtendo T p, %UP, T s e T r a partir de uma função de transferência Problema Dada a função de transferência (4.43) Solução n e são calculados, respectivamente, como 10 e Substituindo nas relações (Eqs. (4.34), (4.38) e (4.42) obtemos T p = 0,475 s, %UP = 2,838 e T s = 0,533 s. Usando a tabela da Fig. acima, o tempo de subida normalizado é de aproximadamente 2,3 s. Dividindo por n resulta T r = 0,23 s.

5 O gráfico dos pólos relativo a um sistema de segunda ordem subamortecido genérico, mostrado anteriormente é reproduzido e expandido na Fig (acima) para maior clareza. Vemos, com base no teorema de Pitágoras, que a distância radial da origem ao pólo é a freqüência natural, n e cos=. Agora, comparando as Eqs. (4.34) e (4.42) com a localização dos pólos, calculamos o instante de pico e o tempo de assentamento em termos da localização dos pólos. Por conseguinte, (4.44) (4.45) onde d é a parte imaginária do pólo, chamada freqüência amortecida de oscilação, e d é a magnitude da parte real do pólo, chamada freqüência exponencial amortecida. A Eq. (4.44) mostra que T p é inversamente proporcional à parte imaginária do pólo. Como as retas horizontais no plano s são linhas de valores imaginários constantes, elas são também linhas de instante de pico constante. De modo semelhante, a Eq. (4.45) nos diz que o tempo de assentamento é inversamente proporcional à parte real do pólo. Como as retas verticais do plano s são as linhas de valor real constante, elas são também linhas de tempo de assentamento constante. Para finalizar, como = cos, as linhas radiais são linhas de valores constantes de. Como a ultrapassagem percentual é função somente de, as linhas radiais são, por conseguinte, linhas de valores constantes de ultrapassagem percentual, %UP. Estes conceitos estão esboçados na Fig (abaixo), onde estão rotuladas linhas de valores constantes de T p, T s, e %UP no plano s.

6 Fig Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem subamortecidos à medida que os pólos se movem: a. com parte real constante; b. com parte imaginária constante; c. com relação de amortecimento constante.