Sintonia do compensador PID

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1 Sintonia do compensador PID 0.1 Introdução DAELN - UTFPR - Controle I Paulo Roberto Brero de Campos Neste capítulo será estudado um problema muito comum na indústria que consiste em fazer o ajuste dos parâmetros, ou sintonia, do compensador PID. 0.2 Informações teóricas Um dos compensadores mais utilizados na indústria é o PID devido à sua simplicidade, facilidade na sintonia dos parâmetros e atendimento das especificações. Na figura 1 é mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele é formado por um compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo (D). O ajuste dos parâmetros K p, T i e T d é chamado sintonia do compensador PID. A função de transferência do PID é dada por: G P ID = K P (1 + 1 T i s + T ds). Figura 1: Estrutura de um compensador PID Pode-se trabalhar com os elementos também de forma isolada, como por exemplo: a) i

2 proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + derivativo: s K P + K d s; d) integral: K I s. 0.3 Representações do PID Existem diversas formas de se representar implementar o compensador PID, sendo que algumas são mostradas a seguir: 1. Paralelo Ideal: u(t) = K p e(t) + Kp T r e(t)dt + Kp T d de(t) dt ; 2. Formato ISA: u(t) = K p [e(t) + 1 T r e(t)dt + Td de(t) dt ]; 3. Realização prática, que além do termo derivativo inclui um filtro passa-baixa para reduzir amplificação do ruído. T n representa a constante de tempo do filtro: U(s) = (K P + K I s + K ds 1+T ns )E(s); 4. U(s) = (K P + K I s + K ds)e(s); 5. U(s) = (P + I s + Ds)E(s); 6. Formato série: U(s) = K c [1 + 1 T i s ][1 + T ds)]e(s); Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de K p, quanto maior K p menor será o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em grandes alterações na saída para uma dada alteração no erro. Um ganho baixo implica que a ação de controle será pequena. O componente proporcional consiste essencialmente num ganho ajustável. O componente integral, ao adicionar um pólo na origem da função de transferência do controlador, elimina o erro estacionário, mas aumenta o tempo de acomodação e piora a estabilidade relativa, o que usualmente é indesejável. A adição do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodação, mas resulta num controlador sensível a ruídos e variações dos parâmetros. Existem diversas formas de se implementar o compensador PID em um processo. A forma tradicional é mostrada na figura 2. Outras configurações serão vistas nas próximas seções. SP significa Setpoint, e é o valor de referência que o processo deve atingir. P V significa ii

3 Variável do processo, e é o valor que a saída do processo apresenta. Offset significa o erro em regime permanente. M V significa Variável Manipulada, é a variável sobre a qual o controlador atua para controlar o processo. Figura 2: Sistema realimentado com PID Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas contínuos Chama-se sintonia de um compensador PID ao cálculo dos parâmetros do compensador, que são K p, T i e T d. As regras de sintonia de compensadores têm um forte componente empírico. Elas se aplicam a processos tipo passa-baixa. Quando o modelo do processo é conhecido, é mais adequado fazer o projeto utilizando técnicas de controle como Lugar das Raízes, resposta frequencial e outras técnicas, para encontrar os parâmetros mais adequados. Para processos onde o modelamento exato da planta é muito difícil, as regras de sintonia ajudam a obter uma resposta otimizada. As regras de sintonia de Ziegler-Nichols pretendem obter uma razão de decaimento de 1/4 na resposta em malha fechada, conforme mostrado na figura 3. Figura 3: Taxa de decaimento da resposta Este processo apresentará um valor de ultrapassagem a uma excitação degrau em torno de 10% 60%. Na média o valor de ultrapassagem é de 25%. Isto equivale a um ξ = 0, 3. iii

4 No processo de sintonia de compensadores PID, o primeiro passo é identificar a planta. Normalmente a planta possui uma estrutura complexa, mas ela pode ser aproximada a um processo de primeira ou segunda ordem. Para as análises feitas nesta apostila, a planta será aproximada a um processo de primeira ordem. Identificação da planta em malha aberta Aplicando-se um degrau na entrada do processo a ser controlado, em malha aberta, pode-se identificar o comportamento do processo através da forma do sinal de saída. Para este caso pode-se obter duas situações: a) sistema com comportamento não integrativo e b) sistema com comportamento integrativo. a) Sintonia PID para sistemas não integrativos Para este tipo de sistema a resposta pode ser modelada como um sistema de primeira ordem, sem componente integrativo, com atraso Y (s) = K Ee Ls U(s) 1+T s, onde U(s) = degrau unitário. As regras de Ziegler-Nichols permitem calcular o valor dos parâmetros a serem aplicados ao controlador PID. Elas são mostradas na tabela 1. Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d P K p T KL máximo 0 P I K p (1 + 1 ) 0,9T T i s KL P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) L 0 0,3 1,2T KL 2L 0, 5L Tabela 1: Regras Ziegler-Nichols para sistemas não integrativos Na figura 4 é mostrado como é feita a identificação do sistema e qual tipo de curva é obtida. L é o atraso de transporte (tempo morto) do processo, T é a constante de tempo do processo e K é o ganho do processo em malha aberto, isto é K = Y (s)/u(s) = K E /U. Se o sinal de entrada for um degrau unitário, U = 1 e K = K E. b) Sintonia PID para sistemas com comportamento integrativo Aproxima-se a resposta do processo como um atraso e um integrador. mostrada a resposta a um degrau unitário. identificado é dada por: Y (s) = K Ee Ls U(s) T G s iv Na figura 5 é A função de transferência do sistema a ser

5 Figura 4: Curva em forma de S Figura 5: Resposta para um sistema integrativo v

6 Para se determinar os parâmetros do compensador PID utiliza-se as regras mostradas na tabela 2. Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d 1 P K p KL máximo 0 T G P I K p (1 + 1 T i s ) 0,9 KL T G P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) L 0 0,3 1,2 KL 2L 0, 5L T G Tabela 2: Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos Sintonia PID pelo método em malha fechada Para um sistema em malha fechada, os valores dos ganhos integral e derivativo (K i e K d ) são fixados em zero, e aumenta-se o ganho até o limite de estabilidade, a partir do qual o sistema em malha fechada começa a oscilar. Determina-se o valor do ganho K cr que torna o sistema oscilatório e determina-se o período de oscilação P cr, conforme mostrado na figura 6. onde: P cr =período da oscilação mantida (período crítico) K cr =ganho limite (ganho crítico), em que o sistema entra em oscilação Figura 6: Em malha fechada Os parâmetros do PID são ajustados conforme as regras mostradas na tabela 3, a partir de K cr e P cr : vi

7 Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d P K p 0, 5K cr máximo 0 P I K p (1 + 1 T i s ) 0, 45K cr P cr 0 1,2 P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) 0, 6K cr 0, 5P cr 0, 125P cr Tabela 3: Regras Ziegler-Nichols em malha fechada Construção do bloco derivativo puro D O controlador derivativo puro não pode ser implementado fisicamente com elementos passivos R, L, C, pois a função de transferência tem um zero e nenhum pólo. Mas pode ser construído com amplificadores operacionais. O derivativo puro é um filtro passa-alta e devido a isto o sistema ficará sensível a ruídos em alta frequência. Um compensador derivativo ideal traz diversos problemas. Como sua magnitude cresce quando a frequência tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificação indesejável de ruídos em altas frequências que podem estar presentes na malha fechada. Além disto, o aumento da banda de passagem associado com o compensador derivativo ideal poderia causar instabilidades devido a dinâmicas não-modeladas de altas frequências. Um compensador derivativo real é implementado da seguinte forma: K d s 1+T ns. Exemplo: considerando um compensador PD, o compensador derivativo real é normalmente implementado pela colocação de um pólo em uma frequência entre três a dez vezes maiores do que a frequência de canto Kp K d, isto é, ω = NKp, onde 3 N 10. Assim o compensador PD físico é caracterizado por uma função própria: C P D(s) = Kp(s K D KP +1) (s K D NK P +1) K d 0.4 Resumo das características do PID As ações do PID podem ser vistas como sendo comportadas por controladores independentes: 1. Um controlador proporcional K p irá reduzir o tempo de subida e irá reduzir, mas não eliminar, o erro em regime permanente. 2. Um controlador integral K i irá eliminar o erro em regime permanente, mas irá piorar a resposta transitória. vii

8 3. Um controlador derivativo K d terá o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobressinal, e melhorando a resposta transitória. Os efeitos de cada elemento do controlador PID são mostrados na tabela abaixo: Tempo subida de Sobressinal Tempo de acomodação Erro em regime permanente Proporcional Diminui Aumenta Pequenas mudanças Diminui Integral Diminui Aumenta Aumenta Elimina Derivativo Pequenas mudanças Diminui Diminui Pequenas mudanças Tabela 4: Resumo das ações do PID Note que estas correlações podem não ser exatamente precisas, porque Kp, Ki e Kd são dependentes de cada um. De fato, mudando uma destas variáveis, pode-se provocar mundaças nas outras duas. Por isto esta tabela deve ser usada apenas como referencia, na determinação de Ki, Kp e Kd. Observação é usual na indústria a adoção do conceito de Banda Proporcional (BP) em substituição a K p : MV (t) = 100 BP (e(t) + I r e(t)dt + Dt de(t) dt ) Onde, Tempo derivativo= Dt e Taxa integral ou Reset=I r viii