Circuitos Elétricos Ativos, análise via transformada de Laplace

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1 Circuitos Elétricos Ativos, análise via transformada de Laplace Carlos Eduardo de Brito Novaes 8 de maio de 0 Introdução Utilizando a transformada de Laplace, a modelagem dinâmica de circuitos ativos como compensadores é semelhante à modelagem de circuitos elétricos passivos. Basta substituir as resistências pelas respectivas impedâncias complexas. Primeiramente apresentamos as configurações usuais com amplificadores operacionais em circuitos de corrente contínua. Em seguida apresentamos a versão destes circuitos com componentes como capacitores e indutores. Por fim apresentamos alguns exemplos de projeto e alguns exercícios resolvidos. Como exemplo, vamos modelar circuitos com amplificadores operacionais, que posteriormente serão utilizados para projetar compensadores. Os compensadores podem ser utilizados para realizar o controle de uma planta. Configurações básicas com amplificadores operacionais Vamos apresentar três configurações com amplificadores operacionais, como exemplo estamos utilizando o componente CA340, portanto os valores que forem recomendados são específicos para este componente. Ao ser realizar um projeto, deve-se verificar a folha de dados para satisfazer as condições de operação dos componentes (por exemplo, limites máximos e mínimos de tensão e corrente). A corrente de entrada deste componente é da ordem de pa, enquanto que a corrente máxima de saída é da ordem de 5 ma. Os resistores de realimentação devem levar a uma corrente elétrica na malha que seja muito superior à corrente de entrada, mas com toda certeza, deve ser inferior à corrente máxima que o componente pode fornecer em sua saída. Além disso, em alguns casos é necessário incluir o ajuste de offset, que é a tensão de equilíbrio da saída. O circuito necessário para este ajuste esta ilustrado em todas as configurações.. Amplificador Inversor Esta configuração é mostrada na figura. uma vez que o modelo do sistema é conhecido e de posse das especificações desejadas de desempenho, vamos determinar a a função de transferência de um compensador para que ao fechar a malha de controle a função de transferência do sistema como um todo atenda às especificações. ao menos 00 vezes maior, de forma que a corrente drenada pela entrada seja desprezível em relação à corrente de realimentação.

2 Figura : Esquema de um Amplificador Inversor. O ganho é dado por: V out V in R F Note que a relação inverte o sinal da tensão elétrica aplicada na entrada, por este motivo a configuração é conhecida como amplificador inversor. Ainda, se fizermos R F, o ganho será unitário, restando apenas o efeito de inversão. Configurações com ganho unitário são úteis para se aumentar a corrente proveniente de um sinal cuja impedância de saída seja muito elevada, por exemplo um sensor.. Amplificador Não Inversor Com esta configuração, mostrada na figura, podemos obter uma amplificação sem inverter a tensão de entrada. Figura : Esquema de um Amplificador Não Inversor.

3 O ganho é dado por: V out V in R + R R Se desejarmos ganho unitário, pode-se substituir R por um curto circuito e R por um circuito aberto, neste caso temos uma configuração conhecida como seguidor de tensão. Observe pela equação que se R for muito maior que R o ganho realmente se aproxima da unidade, o caso limite é quando R 0 (curto circuito) e R (circuito aberto)..3 Amplificador de Instrumentação (Amplificador Subtrator ou Amplificador Diferencial) Esta terceira configuração é ilustrada na figura 3. A entrada não é referenciada no terra, podemos então realizar operações de subtração com dois sinais distintos e ainda amplificar esta diferença. Amplificadores subtratores são normalmente utilizados para recolher o sinal de sensores. Figura 3: Esquema de um Amplificador Subtrator. O ganho é dado por: V out V in R F Note entretanto que o sinal V in é na realidade a subtração de dois sinais distintos V in V + in V in. então: V out R F ( V + in R V ) in I Este tipo de configuração é muito utilizada quando o sensor se encontra distante 3, pois permite rejeitar o ruído adicionado ao longo do comprimento dos cabos de conexão. Imagine um sensor que produza entre seus dois terminais de saída, V sensor + e Vsensor uma tensão V sensor V sensor + Vsensor proporcional à grandeza medida. Ao passar esta tensão por um cabo longo e sujeito à ruído, de modo geral o ruído sera adicionado de modo semelhante aos dois condutores do cabo, então teremos duas tensões: 3 Normalmente o sensor se encontra distante. 3

4 A tensão de saída do amplificador de instrumentação será: V + in V sensor + + V ruido V in Vsensor + V ruido V out R F ( V + in R V ) in I R F ( V + sensor +V ruido V sensor V ruido ) R F ( V + sensor V sensor Observamos que a saída não será tão afetada pelo ruído de entrada. 3 Compensadores com amplificadores operacionais Podemos substituir os resistores de realimentação e de entrada por malhas RC, RL ou RLC, neste caso, os ganhos terão um comportamento dinâmico que poderemos analisar substituindo nas expressões adequadas as resistências por impedâncias complexas. Deve-se observar que embora seja teoricamente possível utilizar malhas cuja resistência para corrente contínua seja nula ou infinita, este tipo de configuração não é recomendável pois no primeiro caso pode significar que a saída do amplificador operacional será colocada em curto circuito ou, no segundo caso, que não haverá uma corrente elétrica fluindo pela malha de realimentação. Usualmente utilizam-se associações que garantam um valor adequado para a malha de realimentação. 3. Compensador com Amplificador Inversor 3.. Resistor e Capacitor em paralelo O esquema da figura 4 ilustra um amplificador em configuração inversora, onde os resistores e R F foram substituídos por um circuito RC paralelo, respectivamente C I e R F C F. ) Figura 4: Esquema de um Compensador Inversor com RC paralelo. 4

5 A função de transferência deste circuito pode ser obtida pela equação de ganho, bastando substituir as resistências originais pelas impedâncias representadas como funções no domínio de Laplace. Assim: Z F (s) De modo semelhante, a impedância da malha de entrada será: + ( R F sc F + sc F R F R F + sr F C F ) Por fim, a função de transferência será: Z I (s) + s C I Z F (s) Z I (s) R F R F + sr F C F + s C I + s C I + sr F C F ou seja, obtemos uma função de transferência cujo ganho estacionário é R F, com um polo em s R F C F e um zero em s C I. 3.. Resistor e Capacitor em série Como mencionado anteriormente, este tipo de configuração não assegura uma corrente estacionária na malha de realimentação, vamos analisar apenas pelo interesse matemático e como forma de exercício. O esquema é ilustrado na figura 5, os resistores e R F foram substituídos por um circuito RC série, respectivamente + C I e R F + C F. Figura 5: Esquema de um Compensador Inversor com RC série. 5

6 Substituindo as resistências originais pelas impedâncias representadas como funções no domínio de Laplace. Assim: Z F (s) R F + sc F sr F C F + sc F De modo semelhante, a impedância da malha de entrada será: Por fim, a função de transferência será: Z I (s) sc I + sc I Z F (s) Z I (s) sr F C F + sc F s C I + sc I sr F C F + s C I + sr F C F + s C I + em teoria, obtemos uma função de transferência cujo ganho estacionário é C I C F, com um polo em s C I e um zero em s R F C F Resistor e Capacitor em série e paralelo Na configuração anterior, adicionando resistores em paralelo com os capacitores garantimos uma corrente de repouso na malha de realimentação. O esquema é ilustrado na figura 6, os resistores e R F foram substituídos por um circuito RC série, respectivamente + C I e R F + C F R F. sc I sc F C I C F Figura 6: Esquema de um Compensador Inversor com RC série e paralelo. 6

7 Substituindo as resistências originais pelas impedâncias representadas como funções no domínio de Laplace. Assim: Z F (s) R F + + ( R F sc F R F R F + + sr F C F De modo semelhante, a impedância da malha de entrada será: ) R F ( + sr F C F ) + R F + sr F C F R F + sr F R F C F + R F + sr F C F Por fim, a função de transferência será: Z I (s) + s C I + + s C I Z F (s) Z I (s) R F + sr F R F C F + R F + sr F C F + s C I + + s C I + sr F C F R F + sr F R F C F + R F + s C I + + s C I + sc I R F + R F + sr F R F C F + sr F C F + + s C I R F + R F + sc I + sr F C F R F + R F + R F + R F + + s R F R F C F R F + R F R F + R F + + s C I sr + s R F R F C F IC I R F + R F + sr F C F + s C I + obtemos uma função de transferência com ganho em repouso R F + R F, com dois polos em s e s + R F C F +, e com dois zeros em s e s R F + R F. C I C I R F R F C F Este tipo de compensador é chamado de lead-lag pois possui uma rede de avanço de fase e outra rede de atraso de fase Resistor e Indutor em série De modo semelhante, pode-se equacionar a função de transferência para um circuito com indutores. Ilustramos o esquema na figura 7. 7

8 Figura 7: Esquema de um Compensador Inversor com RL série. Substituindo as resistências originais pelas impedâncias representadas como funções no domínio de Laplace. Assim: Z F (s) R F + sl F De modo semelhante, a impedância da malha de entrada será: Por fim, a função de transferência será: Z I (s) + sl I Z F (s) Z I (s) R F + sl F + sl I L F R + s F R F + s L I Obtivemos então uma função de transferência com ganho em repouso igual a R F, com um polo em s L I zero em s R F. L F 3. Compensador com Amplificador Não Inversor 3.. Resistor e capacitor em paralelo O esquema da figura 8 ilustra um amplificador em configuração não inversora, onde os resistores R e R foram substituídos por um circuito RC paralelo, respectivamente R C e R C. e um 8

9 Figura 8: Esquema de um Compensador Não Inversor com RC paralelo. A função de transferência deste circuito pode ser obtida pela equação de ganho, bastando substituir as resistências originais pelas impedâncias representadas como funções no domínio de Laplace. Assim: Z (s) + ( ) R sc + sc R R + sr C De modo semelhante, a impedância da malha de entrada será: Z (s) R + sr C Por fim, a função de transferência será: 9

10 Z (s) + Z (s) Z (s) R R + + sr C + sr C R + sr C R ( + sr C ) + R ( + sr C ) ( + sr C ) ( + sr C ) R + sr C ( + sr C ) (R ( + sr C ) + R ( + sr C )) R ( + sr C ) ( + sr C ) (R + R ) + s (R R C + R R C ) R ( + sr C ) Com um artifício matemático, isolamos o ganho em repouso do sistema: (R + R ) + (R + R ) s (R R C + R R C ) (R + R ) R ( + sr C ) R + R R R R (C + C ) + s R + R + sr C ou seja, obtemos uma função de transferência cujo ganho estacionário é R + R, com um polo em s e um R R C R + R zero em s R R (C + C ). 4 Exemplos de Projeto 4. Compensador lag com configuração inversora Suponhamos que seja necessário projetar um compensador inversor com ganho 0, um polo em s e um zero em s 0. Este tipo de compensador é chamado compensador lag ou compensador por atraso de fase pois o zero 4 é mais rápido que o polo. Podemos adotar a configuração de compensador com amplificador inversor com um circuito RC paralelo, e se adotarmos ainda o amplificador operacional CA340, já temos uma faixa de valores aceitáveis para o resistor R F. As equações, demonstradas anteriormente são: R F + s C I + sr F C F Se escolhermos R F 00 K Ohms, imediatamente fixamos para um ganho 0: 0 R F o zero do sistema esta mais distante do zero, portanto seu efeito é mais rápido que o efeito do polo. 0

11 Portanto, 0 K Ohms. Resta-nos agora determinar os capacitores C I e C F. Para o zero em s 0, o valor do capacitor C I será: + s 0 + s C I s s 0000 C I s 0000 C I 0000 C I C I Portanto, tem-se C I F ou C I 0 µf. De modo semelhante, vamos calcular C F para que o polo esteja localizado em s. Portanto, tem-se C I + s s F ou C I 5 µf. + sr F C F + s C F s C F C F C F 4. Compensador lead com configuração inversora De modo semelhante ao exemplo anterior, desejamos projetar um compensador com ganho em repouso 0, zero em s e polo em s 0. Trata-se de um compensador do tipo lead ou avanço de fase, pois o polo é mais rápido que o zero. Vamos utilizar a mesma configuração do exemplo anterior, inclusive, como o ganho em repouso é o mesmo, podemos adotar os mesmos valores de resistores, ou seja, R F 00 K Ohms e 0 K Ohms. A diferença é que os valores desejados para o polo e para o zero foram trocados, assim, resta-nos calcular os valores dos capacitores. Para o zero em s, o valor do capacitor C I será: + s + s C I s s 0000 C I s 0000 C I 0000 C I C I Portanto, tem-se C I 0000 F ou C I 50 µf. De modo semelhante, vamos calcular C F para que o polo esteja localizado em s 0.

12 Portanto, tem-se C I + s 0 s F ou C I µf. + sr F C F + s C F s C F C F C F 4.3 Compensador lag com configuração não inversora Vamos refazer o projeto em uma configuração não inversora, com ganho em repouso igual a 0, e repetindo um polo em s e um zero em s 0. A equação da função de transferência do amplificador não inversor, deduzida anteriormente, é: R + R R R R (C + C ) + s R + R + sr C Como de costume, vamos calcular os resistores para assegurar um ganho igual a 0. Assumindo R tem-se: 00 K Ohms, 0 R + R R R R 0 R R 0 R R R R R Ou seja, devemos escolher R aproximadamente igual a. K Ohms. Vamos agora determinar o polo do sistema pois este depende apenas de C : Encontramos então que o valor de C + s s sr C sr C R C 00000C C F ou C 5 µf.

13 Resta apenas calcular o valor de C para obter o zero especificado: + s 0 s Coincidentemente, o valor calculado foi C + s R R (C + C ) R + R s R R (C + C ) R + R R R (C + C ) R + R ( ) C ( ) C ( ) 9 ( ) C ( 0000 C + C + C C ) F ou C 5 µf. 4.4 Compensador lead-lag com configuração inversora Projete um compensador do tipo lead-lag com ganho em repouso de 0, polos em s e s 5, e zeros em s 4 e s 0. Vamos utilizar a estrutura da figura 6, mas como as equações são mais complicadas, devemos estudar com mais atenção antes de fazer nossas escolhas. É possível que o circuito não seja realizável para qualquer valor dos componentes e, em alguns casos pode ser necessário utilizar dois compensadores separados. A equação da função de transferência, calculada anteriormente, é: R F + R F + + sr + s R F R F C F IC I R F + R F + sr F C F + s C I + Inicialmente, verificamos que o ganho pedido é 0, significando que R F +R F deve ser 0 vezes maior que +. R F + R F 0 ( + ) 3

14 Escolhemos então, para a malha de realimentação, R F + R F 00 K Ohms. Assim, + 0 K Ohms. Vamos escolher os polos e zeros, mas é possível que a equação não tenha solução, neste caso podemos tentar escolher de outra forma 5., C I 4 4 C I () R F + R F R F R F C F R F R F C F R F R F C F (), e R F C F R F C F (3) Substituindo () em () + C I C I C I (4) e consequentemente: substituindo estes valores na equação (): C I C I 000C I A escolha apresentada leva é possível de ser implementada, mas se tivéssemos escolhido com resistores negativos. Neste caso a alternativa seria tentar trocar os valores. C I 0 e R F + R F R F R F C F 4, obteríamos uma solução 4

15 confirmando pela equação (4): 000 C I E agora, substituindo (3) em () 0000 R F 0000 R F e consequentemente: substituindo estes valores na equação (3): R F + R F R F R F R F R F confirmando pela equação (): C F R F C F 80000C F R F R F C F Sendo assim, é possível construir este compensador se escolhermos os valores: C F 6, 5 µf R F 0 K Ohms R F 80 K Ohms C I 5 µf K Ohms K Ohms 5

16 5 Exercícios resolvidos 5. Determine a função de transferência para o circuito da figura 4, onde: R F M Ohms C F µf 47 K Ohms C I 0, 47 µf Resolução: Trata-se de um amplificador inversor, a função de transferência encontrada anteriormente é: R F + s C I + sr F C F Substituindo os valores: s , s s 47 0, s , 009s + s Ou seja, o ganho em repouso é igual a 000, aproximadamente, 7, existe um polo em s e um zero em 47 s 45, 6. 0, Determine a função de transferência para o circuito da figura 8, onde: R M Ohms C µf R 47 K Ohms C 0, 47 µf Resolução: Trata-se de um amplificador não inversor, a função de transferência encontrada anteriormente é: R + R R R R (C + C ) + s R + R + sr C Substituindo os valores: 6

17 s s s 47 Ou seja, o ganho em repouso é igual a s ( 0, ) s (, 47) s (, 47) s 69, s 047, 7, existe um polo em s e um zero em s 5, 5. 69, Determine a função de transferência para o circuito da figura 9 para valores arbitrários de, R F, L F e C F. Em seguida obtenha a função de transferência para os valores: R F 00 K Ohms C F 00 µf L F 0 mh 0 K Ohms Figura 9: Esquema do Exercício 5.3. Resolução: Trata-se de um amplificador não inversor, mas neste caso, ainda não calculamos a função de transferência. As impedâncias Z I e Z F serão: 7

18 Z I (s) Z F (s) R F + R F + L F s + C F s L F C F s + C F s C F s + R F L F C F s + L F C F s + + R F C F s L F R F C F s + R F L F R F C F s + R F L F C F s + R F C F s + Então, a função de transferência será: L F R F C F s + R F L F C F s + R F C F s + L F R F C F s + R F L F C F s + R F C F s + R F L F C F s + L F C F s + R F C F s + R F s + L F C F s + R F s + L F L F C F E esta é a função de transferência do circuito da figura 9. Observamos que o ganho em repouso é R F, existe um par de R I zeros complexos conjugados em s 0 ± j e polos em s R F RF ± L F C F L F L 4. Se o radical for negativo, os F L F C F polos serão também complexos conjugados. Substituindo os valores dos componentes na equação obtida: s s s s s s s s s

19 Posteriormente, quando estudarmos a resposta temporal, verificaremos que esta função de transferência apresenta uma frequência natural ω n rad 07 e um coeficiente de amortecimento ξ seg

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