AULA #11. Comportamento de Sistemas de Controle

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1 UL #11 Comportamento de Sistemas de Controle por Realimentação

2 Comportamento de Sistemas de Controle por Realimentação O comportamento estacionário e dinâmico da resposta de um sistema de controle por realimentação será analisado para a seguinte malha de controle 2 H? I I O I F I + J H H - J. E + J I I? I I /? I / B I I / F I 2 H? I I O I O I / I = considerando 1. variações na carga (operação reguladora) deseja-se y(s) d(s) = G carga(s), quando y sp (s) =0 2. variações no valor de referência (operação servo) deseja-se y(s) y sp (s) = G servo(s), quando d(s) =0 Como obter essas funções de transferência globais?

3 Funções de Transferência da Malha Fechada Pode-se escrever as seguintes equações (algébricas, em s) a partir do diagrama de blocos da malha de controle, com o objetivo de se obter a resposta da malha fechada y(s), como função de y sp (s) ed(s): G p (s)m(s) +G d (s)d(s) : processo y m (s) = G m (s)y(s) : sensor/transdutor e(s) = y sp (s) y m (s) : comparação = y sp (s) G m (s)y(s) c(s) = G c (s)e(s) : correção = G c (s)y sp (s) G c (s)g m (s)y(s) m(s) = G f (s)c(s) : válvula = G c (s)g f (s)y sp (s) G c (s)g f (s)g m (s)y(s) Substituindo m(s) na equação do processo G c (s)g f (s)g p (s)y sp (s) G c (s)g f (s)g p (s)g m (s)y(s) +G d (s)d(s) e colocando y(s) em evidência [ 1+Gc (s)g f (s)g p (s)g m (s) ] G c (s)g f (s)g p (s)y sp (s)+g d (s)d(s) obtém-se as funções de transferência globais ou funções de transferência da malha fechada G carga (s) eg servo (s) G c (s)g f (s)g p (s) y sp (s)+ 1+G c (s)g f (s)g p (s)g m (s) }{{} Gservo(s) G d (s) d(s) 1+G c (s)g f (s)g p (s)g m (s) }{{} Gcarga (s)

4 Observações Gerais: 1. a série de blocos entre o comparador e a resposta da malha, G c, G f e G p, constitui o chamado caminho direto - forward path 2. o bloco G m forma a chamada linha de realimentaçã o - feedback path 3. o produto G OL = G c G f G p G m é conhecido como funçã o de transferência da malha aberta, pois relaciona a variável medida y m com o seu valor de referência y sp, quando o laço de realimentação está aberto 4. as funções de transferência da malha fechada G servo = G carga = G c G f G p 1+G c G f G p G m G d 1+G c G f G p G m não só dependem da dinâmica do processo, mas também das dinâmicas dos outros elementos da malha 5. observe que as funções de transferência da malha fechada apresentam o mesmo denominador 1+G c G f G p G m

5 6. para qualquer par de variáveis y(s) e u(s) de um sistema de controle por realimentação e malha única, pode-se generalizar realimentação negativa y(s) u(s) = realimentação positiva y(s) u(s) = f 1+ L f 1 L onde f representa o produto das funções de transferência localizadas no trajeto entre u(s) ey(s) e L representa o produto das funções de transferência da malha aberta, G OL

6 Comportamento da Malha Fechada O comportamento da resposta da malha fechada será analisado frente ao efeito das ações proporcional, integral e derivativa de um controlador PID, seja para operações servo e reguladora. Muitas vezes, para facilitar a análise, simplificações serão consideradas para as funções de transferência da malha fechada. a). ação proporcional I O I F I I? I I / 2 H? I I?? / B / F J F I F O I O I / resposta da malha fechada neste caso será 1+ y sp (s)+ K d τ d s+1 1+ d(s) a.1). P: operação reguladora (degrau em d) Para uma perturbação degrau em d(s), de amplitude, a resposta y(s) será igual a K d τ d s+1 1+ s

7 a.1.1). Comportamento Estacionário Deseja-se avaliar se a malha de controle consegue levar a variável controlada ao seu valor de referência. Mede-se esta característica da malha pelo chamado desvio permanente ( offset ) desvio permanente = y sp ( ) y( ) lembrando que para operação reguladora, y sp ( ) =0,e para operação servo, y sp ( ) 0. O valor final da variável controlada, y( ), pode ser calculado aplicando-se o Teorema do Valor Final (TVF). Neste caso, y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s K d τ d s+1 1+ Portanto, o desvio permanente será obtido de desvio permanente = 0 }{{} y sp ( )=0 Observações Importantes: = K d 1+ K d K d = a presença de desvio permanente é uma característica do controle proporcional, que em alguns casos não pode ser tolerado teoricamente, observe que fazendo desvio permanente 0 entretanto, valores elevados de podem provocar problemas de estabilidade da malha fechada controle proporcional não elimina desvio permanente

8 a.1.2). Comportamento Dinâmico Deseja-se, agora, avaliar o comportamento dinâmico da resposta da malha fechada, e como esse comportamento se assemelha ao comportamento de sistemas de 1 a e2 a ordem, em malha aberta. ssim, para a situação em questão e fazendo τ p = τ d, K d τ d s+1 1+ s = K d 1+ τ p 1+ s +1 s = arga τ carga s +1s onde arga = K d 1+ e τ carga = τ p 1+ Observações Importantes: a resposta da malha fechada continua de 1 a ordem ( ) y(t) =arga 1 e t/τ carga a constante de tempo da malha fechada é menor do que a da malha aberta: τ carga <τ p = τ d. Isto é, a malha fechada é mais rápida do que a malha aberta (bom para o controle) o ganho estático da malha fechada é reduzido: arga < K d. Este é o efeito da ação de controle (redução do erro)

9 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: P + reguladora 1 sem controle <2 < y "offset" 0 y sp tempo a.2). P: operação servo (degrau em y sp ) Características semelhantes para o comportamento da resposta da malha fechada e operação reguladora são também observadas para uma perturbação degrau no valor de referência, y sp (s) =/s: 1+ s a.2.1). Comportamento Estacionário Lembrando que para a operação servo em questão y sp ( ) =. Pelo TVF obtém-se y( ) y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s 1+ = 1+

10 Portanto, o desvio permanente será obtido de desvio permanente = }{{} = y sp ( )= Igualmente, quando desvio permanente 0 a.2.2). Comportamento Dinâmico nalogamente, observa-se que o comportamento dinâmico da resposta da malha fechada também será de 1 a ordem, como a malha aberta: 1+ s = y(t) =K servo 1+ τ p 1+ s +1 s = ( ) 1 e t/τ servo K servo τ servo s +1s onde K servo = 1+ e τ servo = τ p 1+ Novamente, a constante de tempo da malha fechada será menor do que a da malha aberta τ servo <τ p (a malha fechada é mais rápida do que a malha aberta) e o ganho estático da malha fechada é também reduzido K servo < (efeito da ação de controle).

11 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: P + servo 1 y sp "offset" y <2 < sem controle tempo Incorporando a dinâmica do elemento final de controle (válvula), obtém-se o seguinte diagrama de blocos para a malha de I O I F I I? I I B / 2 H? I I?? / B / F J B I J F I F O I O I / Observe que a relação em malha aberta entre a resposta, y(s), e o seu valor de referência, y sp (s), tem características de um sistema de 2 a ordem (dois sistemas de 1 a ordem em série)

12 K f τ f s +1τ p s +1 y sp(s) K f (τ f τ p )s 2 +(τ f + τ p )s +1 y sp(s) K OL τol 2 s2 +2ζ OL τ OL s +1 y sp(s) onde K OL = K f, τ OL = τ f τ p e ζ OL = 1 1 (τ f + τ p ) 2 τf τ p Para o caso em questão, a resposta da malha fechada fica igual a K f 1+ K f y sp (s)+ K d τ d s+1 1+ K f d(s) a.3). P: operação servo (degrau em y sp ) Considerando uma perturbação degrau no valor de referência, y sp (s) =/s: K f 1+ K f s a.3.1). Comportamento Estacionário Pelo TVF obtém-se y( ) y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s K f 1+ K f = K f 1+ K f

13 Calcula-se o desvio permanente de desvio permanente = Observe, também que quando }{{} K f = y sp ( )= 1+ K f desvio permanente 0 a.3.2). Comportamento Dinâmico 1+ K f Veja que o comportamento dinâmico da resposta da malha fechada permanece de 2 a ordem, como a malha aberta: K f onde K f 1+ K f s = K servo τservos ζ servo τ servo s +1s 1+ K f τ f τ p 1+ K f s 2 τ f +τ p 1+ K f s +1 s K servo = τ servo = K f K OL = 1+ K f 1+ K f τ f τ p τ OL = 1+ K f 1+ K f ζ servo = 1 1 (τ f + τ p ) = 2 τf τ p 1+ K f ζ OL 1+ K f Observações Importantes: a resposta da malha fechada continua de 2 a ordem, como a malha aberta

14 a constante de tempo da malha fechada é menor do que a da malha aberta: τ servo <τ OL o ganho estático da malha fechada é reduzido: K servo < K OL o fator de amortecimento da malha fechada é reduzido: ζ servo < ζ OL. Com isto, um processo superamortecido pode se tornar subamortecido (oscilatório), a partir de valores apropriados de. redução do offset, com o aumento de, ocorre ao custo de um aumento da sobre-elevação (erros maiores) e da razão de decĺınio da resposta da malha fechada. Igualmente, as oscilações dessa resposta tornam-se mais longas Resposta ao Degrau em Malha Fechada: P + servo 1 3 y sp "offset" y <2 <3 0 sem controle tempo

15 b). ação integral I O I F I I? I I? / 2 H? I I? / B J / F 1 I J F I F O I O I / Com a ação I, a resposta da malha fechada fica igual a τ I s 1+ τ I s y sp (s)+ K d τ d s+1 1+ τ I s d(s) b.1). I: operação servo (degrau em y sp ) Para uma perturbação degrau em y sp (s), de amplitude, a resposta y(s) será igual a τ I s 1+ τ I s s

16 b.1.1). Comportamento Estacionário Pelo TVF obtém-se y( ) y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s τ I s 1+ τ I s = s s τ I s(τ p s +1)+ = O desvio permanente será calculado de desvio permanente = }{{} y sp ( )= =0 Observe que a ação integral apresenta a sua característica mais importante ação integral elimina desvio permanente b.1.2). Comportamento Dinâmico Diferentemente do controlador proporcional, a adição da ação integral aumenta a ordem da dinâmica da resposta em malha fechada: τ I s 1+ τ I s s = 1 τ I τ p s 2 + K servo τservo 2 s2 +2ζ servo τ servo s +1s τ I s +1 s

17 onde K servo = 1 τ servo = τ I τ p ζ servo = 1 τ I 2 τ p Observações Importantes: a resposta da malha fechada aumenta de ordem, tornando-a diferente quanto às suas características dinâmicas evidentemente, essas características dinâmicas da resposta em malha fechada dependerão dos valores de e τ I segundo a expressão de ζ servo, observa-se que: aumentando-se, o fator de amortecimento, ζ servo, diminui: a resposta passa de um comportamento moroso e superamortecido para um comportamento mais rápido, mas oscilatório tanto a sobre-elevação, quanto a razão de decĺınio da resposta em malha fechada aumentam melhora-se a velocidade da resposta da malha fechada ao custo de mais oscilações e maiores desvios pode-se, também, observar que quando τ I diminui, ζ servo diminui. Portanto, as observações feitas anteriormente são válidas para as variações em τ I

18 o aumento da ação integral (aumentando e diminuindo τ I ) torna a resposta da malha fechada mais sensível 1.8 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: I + servo ( =const.) 1.6 τ I τ I2 y sp 1 y τ I3 τi1 <τ I2 <τ I tempo 1.8 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: I + servo (τ I =const.) y sp 1 y >2 > tempo

19 c). ação derivativa I O I F I I? I I B / 2 H? I I?? J, I / B / F J B I J F I F O I O I / Observe que a relação em malha aberta entre a resposta, y(s), e o seu valor de referência, y sp (s), tem características de um sistema de 2 a ordem (dois sistemas de 1 a ordem em série) τ D s τ f s +1τ p s +1 y sp(s) τ D K f s (τ f τ p )s 2 +(τ f + τ p )s +1 y sp(s) K OL s τol 2 s2 +2ζ OL τ OL s +1 y sp(s) onde K OL = τ D K f, τ OL = τ f τ p e ζ OL = 1 1 (τ f + τ p ) 2 τf τ p K f

20 Com a ação D, a resposta da malha fechada fica igual a τ D s K f 1+ τ D s K f y sp (s)+ K d τ d s+1 1+ τ D s K f d(s) c.1). D: operação servo (degrau em y sp ) Para uma perturbação degrau em y sp (s), de amplitude, a resposta y(s) será igual a τ D s K f 1+ τ D s K f c.1.1). Comportamento Estacionário Pelo TVF obtém-se y( ) s y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s τ D s K f 1+ τ D s K f =0 O desvio permanente será calculado de desvio permanente = }{{} y sp ( )= 0 = Observe que a ação derivativa, como a proporcional, não elimina desvio permanente

21 c.1.2). Comportamento Dinâmico Veja que o comportamento dinâmico da resposta da malha fechada permanece de 2 a ordem, como a malha aberta, semelhante à ação proporcional: onde τ D s K f 1+ τ D s K f τ D K f s (τ f τ p )s 2 +(τ f + τ p + τ D K f )s +1s K servo s τ 2 servos 2 +2ζ servo τ servo s +1 s s K servo = τ D K f = K OL τ servo = τ f τ p = τ OL ζ servo = 1 1 (τ f + τ p + τ D K f ) 2 τf τ p = ζ OL τ D K f τf τ p Observações Importantes: a ação derivativa não altera a ordem da resposta, quando comparada à resposta da malha aberta (como a ação proporcional) a resposta da malha fechada torna-se mais amortecida com o aumento da ação derivativa (aumento de ou aumento de τ D ): ζ servo > ζ OL. Esta característica produz respostas mais robustas em malha fechada

22 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: D + servo ( =const.) 1 y sp 0.8 τ D1 <τ D2 <τ D3 0.6 y τ D3 0.4 τ D2 0.2 τ D tempo Removendo a dinâmica do elemento final de controle da malha I O I F I I? I I / 2 H? I I?? J, I / B / F J F I F O I O I / a resposta da malha fechada será τ D s 1+ τ D s K y sp (s)+ p K d τ d s+1 1+ τ D s d(s)

23 c.2). D: operação servo (degrau em y sp ) Para uma perturbação degrau em y sp (s), de amplitude, a resposta y(s) será igual a τ D s 1+ τ D s argas τ carga s +1 s = τ D s (τ p + τ D )s +1s s e equivalente a um sistema de 1 a ordem, onde τ carga = τ p + τ D = τ OL + τ D já que para a malha aberta τ D s τ p s +1 y sp(s) com constante de tempo τ p. c.2.1). Comportamento Estacionário Obtém-se y( ) pelo TVF y( ) = lim s 0 [sy(s)] = s s O desvio permanente será calculado de τ D s (τ p + τ D )s +1 =0 desvio permanente = }{{} y sp ( )= 0 = indicando que a ação derivativa não elimina o offset. c.2.2). Comportamento Dinâmico Observe que a constante de tempo da malha fechada é superior à da malha aberta, o que torna a malha fechada mais lenta do que o sistema de primeira ordem original, sendo cada vez maior quanto maior for o aumento da ação derivativa (aumento de e/ou aumento de τ D )

24 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: D + servo ( =const.) 1 y sp 0.8 τ D1 <τ D2 <τ D3 0.6 y τ D3 0.4 τ D2 0.2 τ D tempo d). ação combinada (PID) ção proporcional pode ser usada isoladamente, diferentemente das ações integral e derivativa, usualmente empregadas no controle PI e PID, respectivamente. d.1). Controle I O I F I I? I I / / B F?? J 1 I / F J F I O I O I /

25 combinação de ambas as ações proporcional e integral provocam os seguintes efeitos: 1. a ordem da resposta aumenta (efeito da ação integral) 2. o offset é eliminado (efeito da ação integral) 3. com o aumento de, a resposta torna-se mais rápida (efeito de ambos os modos) e mais oscilatória: aumenta oveshoot e decay ratio (efeito do modo integral). umentos em tornam as respostas muito sensíveis, podendo levar à instabilidade 4. com constante, o decréscimo de τ I provoca mais oscilações, com oveshoot e decay ratio maiores (efeito da ação integral) Resposta ao Degrau em Malha Fechada: PI + servo = 4,0 τ I = 0,2 = 2,0 τ I = 0,4 1 y sp y = 4,0 τ I = 0, tempo

26 d.2). Controle PID combinação dos três modos de controle leva a um comportamento da resposta em malha fechada muito similar à resposta de um controle I O I F I I? I I /?? J 1 / B F J I, I / F J F I O I O I / O modo derivativo (D) introduz o seguinte benefício: a ação derivativa acrescenta um efeito estabilizante à resposta em malha fechada: ela compensa a redução na velocidade da resposta ocasionada pela ação integral e o aumento das oscilações provocadas pelo incremento da ação proporcional, como conseqüência da diminuição da velocidade da resposta devido à ação integral é possível obter velocidades de respostas adequadas com valores de apropriados, mantendo-se a sobreelevação e a razão de decĺınio em patamares moderados, reduzindo a chance de instabilidade da malha fechada

27 1.6 Resposta ao Degrau em Malha Fechada: PID + servo (τ I, τ D = consts) = 20 y sp 1 y = = tempo