Projeto de Compensadores/Controladores pelo Diagrama de Lugar das Raízes

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1 Projeto de Compensadores/Controladores pelo Diagrama de Lugar das Raízes Carlos Eduardo de Brito Novaes 2 de novembro de 202 Introdução O diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta muito útil para visualizar as possibilidades de alocação de polos em um sistema de controle. Através dele, pode-se verificar qual a ação a ser tomada para que o sistema em malha fechada se comporte segundo as características desejadas. Serão apresentadas alguns procedimentos para o projeto de compensadores utilizando o diagrama de lugar das raízes. As técnicas descritas estão detalhadas no livro texto [], e em diversas outras referências recomendadas, como [2, 3], por exemplo. Serão discutidos os compensadores do tipo:. Lead ou Avanço de fase 2. Lag ou Atraso de fase 3. PID O material ora apresentado se presta apenas como uma breve introdução, sendo também recomendada a leitura da apostila do curso e, para um maior domínio, a consulta ao livro texto. Em especial, o método de projeto apresentado para compensadores PID é apenas ilustrativo para o uso do diagrama de lugar das raízes e, embora funcional, é bastante dependente de um software para traçar o lugar das raízes e assim, acelerar o processo de melhoria da sintonia. 2 Compensador do tipo Lead ou Avanço de Fase O compensador do tipo Lead ou Avanço de Fase é utilizado para modificar o diagrama de lugar das raízes, permitindo a alocação dos polos de malha fechada em posições que antes não seriam possíveis. Possui uma função de transferência dada por G C (s) s + a s + b (2.) com um polo em s b e um zero em s a e com a particularidade de que o seu polo é mais rápido que o zero, ou seja, o polo esta localizado no eixo real em um valor mais negativo que o zero. Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2. apresenta b > a. Por exemplo: G C (s) s + 8 s + 0 (2.2) que possui um polo em s 0 e um zero em s 8. No plano complexo, o polo do compensador esta localizado à esquerda do seu zero, apresentando portanto um transitório mais rápido. Aplicando um degrau unitário a um compensador lead e utilizando-se o teorema do valor final, podemos verificar que a longo prazo, o compensador apresenta um ganho dado por:

2 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE ( ) lim s s 0 s G C (s) lim s 0 s + a s + b a b (2.3) Como foi visto, o compensador lead apresenta b > a e portanto a razão a é menor que a unidade. Isto significa b que ao introduzir um compensador lead na malha direta de um sistema de controle, estamos reduzindo o ganho desta e portanto, reduzindo o valor das constantes de erro estacionário. O efeito final é que a introdução de um compensador do tipo lead aumenta o erro estacionário do sistema em malha fechada. Um bom projeto visa escolher a e b de modo que os polos de malha fechada sejam alocados nos pontos de interesse, mas buscando também o maior valor para a relação a, de modo que o erro estacionário em malha fechada não seja b muito prejudicado. Suponha por exemplo que um sistema a ser controlado possui função de transferência G (s) (s + ) (s + 2) (2.4) e, por questões de desempenho deseja-se alocar os polos de malha fechada em s 2 ± 2j, garantindo que a saída em malha fechada estabilize em 5% do valor final em aproximadamente segundo, com fator de amortecimento ζ 0, 7 e portanto, um sobressinal também inferior a 5%. O primeiro passo é determinar o lugar das raízes do sistema sem compensador, e então verificar se é possível alocar os polos nesta posição apenas pelo ajuste do ganho de realimentação. A figura 2. ilustra o diagrama de lugar das raízes. Figura 2.: Lugar das Raízes da planta sem compensador. como se pode verificar, não os pontos s 2 ± 2j não são parte do lugar as raízes e portanto, será necessário projetar um compensador para alterar o lugar das raízes de modo que este passe por s 2 ± 2j. A seguir vamos descrever dois métodos de projeto. Muitas vezes, utiliza-se a representação 2

3 2. Projeto por cancelamento de polo 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE G C (s) K C α T s + αt s + (2.5) onde K C α representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempo do zero e αt corresponde à constante de tempo do polo (Com α estabelecendo a relação entre as duas). Nesta representação, K C é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada. 2. Projeto por cancelamento de polo Uma técnica para o projeto de um compensador do tipo lead é o que se chama de cancelamento de polo ou zero. A ideia fundamental é verificar se é possível obter um diagrama de lugar das raízes satisfatório ao se cancelar um polo da planta e coloca-lo em outra posição. Para o exemplo anterior, bastaria cancelar o polo da planta em s 2, colocando ai o zero do compensador e, posicionar o polo do compensador em s 3. Neste caso, a função de transferência do compensador será então, a função de transferência do ramo direto é G C (s) s + 2 s + 3 G c (s) G (s) s + 2 s + 3 (s + ) (s + 2) s + 2 s 3 + 6s 2 + s + 6 (2.6) e traçando o novo lugar das raízes, obtém-se Figura 2.2: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado por cancelamento. claramente, é possível agora posicionar os polos de malha fechada em s 2 ± 2j. O ganho de realimentação necessário pode ser encontrado pela condição do módulo, ou seja 3

4 2. Projeto por cancelamento de polo 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE e que ao ser resolvida resulta em K G c (s) G (s) s 2+2j (2.7) K G c (s) G (s) s 2+2j s + 2 s 3 + 6s 2 + s + 6 s 2+2j 2 + 2j + 2 ( 2 + 2j) ( 2 + 2j) 2 + ( 2 + 2j) j + 2 (6 + 6j) + 6 ( 8j) + ( 2 + 2j) + 6 2j 6 + 6j 48j j + 6 2j 0j 0, 2 0, 2 5 (2.8) O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantes de erro estático para este ajuste de K K p lim (K G C (s) G (s)) s 0 ( ) 5 (s + 2) lim s 0 s 3 + 6s 2 + s + 6 e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais: 0 6, 667 (2.9) Erro % + K p 2, , , 5% O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 2.3 e a resposta é apresentada na figura

5 2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE Figura 2.3: Diagrama em blocos do sistema de controle. Figura 2.4: Resposta do sistema de controle. 2.2 Projeto pelo método gráfico Uma técnica mais elaborada para o projeto de compensadores do tipo lead é o procedimento gráfico. Utilizando esta técnica garante-se o maior ganho possível no ramo direto e consequentemente, o menor erro estacionário. Esta técnica consiste em. Localizar no gráfico a posição dos polos e zeros da planta e também a posição dos polos desejados em malha fechada, a figura 2.5 ilustra esta situação para a planta em questão, com polos em s e s 2 e o polo desejado de malha fechada em s 2 + 2j. 5

6 2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE Figura 2.5: Projeto gráfico de compensador Lead - Passo. 2. A partir do polo desejado de malha fechada, trace uma reta horizontal e outra ligando à origem, a figura 2.6 ilustra este procedimento. Figura 2.6: Projeto gráfico de compensador Lead - Passo Trace a bissetriz do ângulo formado entre as retas traçadas anteriormente, procedimento ilustrado na figura

7 2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE Figura 2.7: Projeto gráfico de compensador Lead - Passo Determine qual deve ser a contribuição angular do compensador, φ. Para realizar este cálculo, basta determinar qual a contribuição angular da função de transferência no ponto desejado e verificar quanto falta (ou quanto excede) 80 graus. No nosso exemplo temos G (s) s 2+2j (s + ) (s + 2) 0, 2 + 0, j 0, , 4 s 2+2j e portanto, constatamos que a contribuição angular da planta no ponto s 2 + 2j é de aproximadamente 53, 4. Para completar 80, faltam aproximadamente 26, 6. Dizemos que a planta apresenta uma deficiência angular de 26, 6 em s 2 + 2j e que esta deficiência deve então ser suprida pelo compensador. Conclui-se que o compensador deve contribuir com um ângulo φ 26, Partindo do ponto onde se deseja alocar o polo de malha fechada, traçamos duas, formando com a bissetriz um ângulo de ± φ o que é equivalente a dizer que o ângulo entre estas duas retas é φ. Veja a figura

8 2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE Figura 2.8: Projeto gráfico de compensador Lead - Passo Por fim, o ponto onde as retas interceptam o eixo real determina a posição do polo e do zero do compensador. Veja a figura 2.9. Figura 2.9: Projeto gráfico de compensador Lead - Passo 6. Este procedimento permite a determinação do melhor compensador lead possível para a planta em questão. Pelos valores obtidos para este exemplo, o compensador deve ter um polo em s 3, 4 e um zero em s 2, 3. A função de transferência do ramo direto será G c (s) G (s) s s (s + ) (s + 2) s s s s (2.0) O diagrama do lugar das raízes com o compensador é ilustrado na figura 2.0 8

9 2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO LEAD OU AVANÇO DE FASE Figura 2.0: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado graficamente. Pela condição do módulo, determinamos o ganho K que deve ser imposto para posicionar os polos de malha fechada em s 2 ± 2j. Determinando o ganho adequado: K G c (s) G (s) s 2+2j s s s s s 2+2j 0, 852 0, (2.) resultado que é confirmado pela figura 2.0. O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantes de erro estático para este ajuste de K K p lim (K G C (s) G (s)) s 0 ( ) 5.4 (s + 2.3) lim s 0 s s s , 83 (2.2) 9

10 3 COMPENSADOR DO TIPO LAG OU ATRASO DE FASE e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais: Erro % + K p , , 3% (2.3) O erro obtido pelo projeto gráfico foi apenas um pouco inferior ao obtido por cancelamento de polos. Esta situação não é a regra geral, muitas vezes o erro estacionário é muito menor, e portanto, o projeto pelo método gráfico é sempre preferível em relação ao simples cancelamento de polo. O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 2. e a resposta é apresentada na figura 2.2. Figura 2.: Diagrama em blocos do sistema de controle. Figura 2.2: Resposta do sistema de controle. 3 Compensador do tipo Lag ou Atraso de Fase Utiliza-se o compensador do tipo lag quando o sistema em malha fechada não satisfaz os requisitos de erro estacionário, mas a resposta transitória é suficientemente rápida. Neste caso, a função de transferência do compensador 0

11 3. Projeto de um compensador lag 3 COMPENSADOR DO TIPO LAG OU ATRASO DE FASE é G C (s) s + a s + b (3.) com um zero em s a e um polo em s b e com duas particularidades:. O seu zero é mais rápido que o polo, ou seja, o zero esta localizado no eixo real em um valor mais negativo que o zero. Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2. apresenta a > b. 2. O polo e o zero estão localizados no eixo real, próximos à origem. Desta maneira, garante-se que a interferência no ponto de localização dos polos em malha fechada é mínima. Por exemplo: G C (s) s + 0. s (3.2) que possui um polo em s 0.0 e um zero em s 0.. No plano complexo, o polo do compensador esta localizado à direita do seu zero, apresentando portanto um transitório mais lento. Ao se aplicar o teorema do valor final na função de transferência do compensador lag, verifica-se que a longo prazo é como se fosse incluído um ganho com valor a >. A inclusão de um compensador do tipo lag, tem então b o efeito de aumentar o ganho na malha direta, reduzindo o erro estacionário às custas de uma pequena modificação na posição dos polos de malha fechada que tende a tornar o sistema ligeiramente mais lento. 3. Projeto de um compensador lag O projeto de um compensador do tipo lag se resume a:. Determinar o fator pelo qual a constante de erro estático do sistema deve ser aumentada. 2. Escolher os valores a e b da função de transferência do compensador próximos da origem e, de modo que a relação a seja igual ao aumento desejado para a constante de erro estático. b 3. Traçar o novo diagrama do lugar das raízes e verificar se existe alteração sensível. Caso a alteração do lugar das raízes seja pequena, determinar o novo ganho K que leva os polos até a posição desejada. Do contrário escolher novos valores de a e b. 4. No caso de um reprojeto de a e b, cabe observar que quanto mais próximos da origem estiverem o polo e o zero do compensador lag, menor sera a modificação no CLR, mas por outro lado, mais lenta será a minimização do erro estacionário. Nada impede que se utilize um compensador lead para tornar o sistema mais rápido e um compensador lag para minimizar o erro estacionário. Este arranjo é conhecido como compensador lead-lag e possui uma técnica de projeto específica. Aqui apresenta-se apenas as técnicas isoladas, e por este motivo fizemos primeiro o projeto do compensador lead e agora faremos o projeto do compensador lag de modo independente. Vamos projetar um compensador do tipo lag para o sistema anterior, da figura 2., de modo a obter um erro estacionário ao degrau de 2%. Neste caso, a constante de erro do sistema era K p, 83 (nossa planta agora é a planta original em série com o compensador lead projetado graficamente). Para obter um erro estacionário ao degrau de 2%, a nova constante de erro estacionário ao degrau deve ser tal que 0, 02 K p,novo +. Assim: Então, o aumento desejado na constante de erro é K p,novo + 50 K p,novo 49 (3.3)

12 3. Projeto de um compensador lag 3 COMPENSADOR DO TIPO LAG OU ATRASO DE FASE K p,novo 49 K p, 83 26, 77 (3.4) Escolhendo-se a posição do zero do compensador lag em s 0, 5, para satisfazer o aumento desejado na constante de erro estático: a b 0.5 b b 26, 77 26, , 77 0, 087 (3.5) portanto, o polo deve estar localizado em s 0, 087. A próxima etapa é traçar o novo lugar das raízes. A função de transferência da malha direta agora é dada por G C,lag G C,lead G s s s s }{{}}{{} lag lead e o novo diagrama do lugar das raízes é apresentado na figura 3. (s + ) (s + 2) } {{ } planta s s +.5 s 4 + 6, 42s 3 + 2, 32s 2 + 7s + 0, 3 Figura 3.: Lugar das Raízes da planta (planta+lead) com compensador lag.. Percebe-se que o lugar das raízes foi modificado e não é mais possível alocar o polo de malha fechada exatamente em s 2 ± 2j. Se esta modificação for aceitável, podemos prosseguir o projeto escolhendo novos polos próximos 2

13 3. Projeto de um compensador lag 3 COMPENSADOR DO TIPO LAG OU ATRASO DE FASE aos desejados, por exemplo em s.8 ± 2j. Observe que se a modificação do CLR devida à inclusão do lag não for muito significativa, o ganho K da realimentação também permanece praticamente o mesmo. Determina-se o novo ganho K que leva os polos até esta posição em malha fechada pela condição de módulo K G c (s) G (s) s 2+2j s s +.5 s 4 + 6, 42s 3 + 2, 32s 2 + 7s + 0, 3 s 2+2j 0, 656 0, 656 6, 04 (3.6) informação que é confirmada pelo MATLAB na figura 3.. O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 3.2 e a resposta é apresentada na figura 3.3. Figura 3.2: Diagrama em blocos do sistema de controle. 3

14 4 O COMPENSADOR PID Muitas vezes, utiliza-se a representação Figura 3.3: Resposta do sistema de controle. G C (s) ˆ K C β T s + βt s + (3.7) onde K ˆ C β representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempo do zero e αt corresponde à constante de tempo do polo (Com β estabelecendo a relação entre as duas). Nesta representação, Kˆ C é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada. 4 O compensador PID O compensador do tipo PID (Proporcional, Integrativo e Derivativo) é um tipo de compensador amplamente utilizado na industria, podendo ser encontrado em implementação independente ou mesmo como um bloco funcional em CLPs. A sintonia de um PID (ou seja, o ajuste de seus parâmetros) pode ser feita com base no diagrama de lugar das raízes, embora, outros métodos são comumente utilizados, como por exemplo o método de Ziegler-Nichols e até mesmo de forma totalmente empírica (não recomendável, mas pode levar a ótimos resultados dependendo da experiência do profissional que ajusta o PID) Basicamente, um PID possui um diagrama esquemático como o da figura 4. (outras configurações ou algorítimos são possíveis) 4

15 4 O COMPENSADOR PID Figura 4.: Esquema interno do PID. Teoricamente, o bloco derivador tem função de transferência do tipo F (s) s, ou seja, não tem polos e possui um zero na origem. Na prática, para poder ser construído e apresentar alguma robustez a ruídos, utiliza-se um bloco com função de transferência do tipo F (s) s onde α tem um valor muito grande e em alguns casos pode ser ajustado s + α no CLP ou PID. Ao se simplificar o diagrama de blocos do PID, obtém-se para o algorítimo representado na figura 4. P ID (s) KI s + KDs + KP KDs2 + KP s + KI s observa-se então que o PID apresenta um polo na origem e dois zeros (devidos à equação de segundo grau no numerador). O projeto pelo diagrama de lugar das raízes deve então considerar a inclusão de um polo na origem (algo normalmente desejável pois elimina o erro estacionário ao degrau) e de dois zeros que podem estar localizados em pontos distintos do eixo real ou ser complexos conjugados. Pela avaliação do diagrama de lugar das raízes, é possível verificar qualitativamente as modificações devidas aos zeros e ao polo do PID. Pode-se então, determinar a localização aproximada dos zeros adicionados pelo PID, de modo a levar os polos de malha fechada para a posição de interesse e realizar um ajuste mais preciso utilizado o MATLAB para traçar o CLR exato e verificar o resultado. Para a planta exemplificada, com função de transferência (4.) G (s) (s + ) (s + 2) (4.2) após algumas experiências (traçando o CLR no MATLAB), verificou-se que adicionar um polo na origem e dois zeros complexos conjugados em s 2.3 ± 0.8j leva o lugar das raízes a passar próximo do ponto desejado. Então, a função de transferência temporária do PID deve ser da forma β (s j) (s j) P ID (s) s βs2 + 4, 6βs + 5, 93β s fazendo β e traçando o CLR obtém-se o o diagrama da figura 4.2 5

16 4 O COMPENSADOR PID Figura 4.2: Lugar das Raízes da planta com compensador PID. onde se observa que para um ganho de aproximadamente K 3, 74, os polos de malha fechada se localizam em s 2, 04 ± 2, 04j. Desta maneira, deve-se escolher o valor final de β 3, 74. O próximo passo é determinar a função de transferência definitiva do PID e os correspondentes parâmetros de sintonia. Assim: P ID (s) 3, 74s2 + 4, 6 3, 74s + 5, 93 3, 74 s 3, 74s2 + 7, 2s + 22, 7 s (4.3) e que, pela equação 4. correspondem a KD 3, 74 KP 7, 2 KI 22, 7 O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 4.3 e a resposta é apresentada na figura

17 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS Figura 4.3: Diagrama em blocos do sistema de controle. Figura 4.4: Resposta do sistema de controle PID. Como era de se esperar, o erro estacionário ao degrau é nulo devido à inclusão de um polo na origem. Referências [] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed. Prentice Hall / SP, 200. [2] R. C. Dorf and R. H. Bishop, SISTEMAS DE CONTROLE MODERNOS, th ed. LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora, [3] N. S. Nise, ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE, 5th ed. LTC,