1 Objetivo. 2.1 Compensador de Avanço e de Atraso de Fase

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA EEL 7063 SISTEMAS DE CONTROLE - LABORATÓRIO AULA NÚMERO ONZE PROJETO DE CONTROLADORES EM CASCATA USANDO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES Objetivo Nesta aula será apresentado um segundo método de projeto de controladores, em cascata com o processo a ser controlado, que permite atender as especificações relativas a transitório e a erro em regime. 2 Descrição do método Seja o sistema realimentado r + e u y G c (s) G(s) onde G(s) e G c (s) são as respectivas funções de transferência do processo a ser controlado e do controlador. O controlador G c (s) deve ser calculado de tal forma que a função de transferência do sistema realimentado M(s) = G c(s)g(s) + G c (s)g(s) seja aproximado a um sistema de primeira ordem ( pólo dominante real) ou por um sistema de segunda ordem ( par de pólos dominantes reais e iguais ou complexo conjugados ) sem zeros. O processo de cálculo é feito em duas etapas. Primeiramente é introduzido um compensador de avanço de fase para atender as especificações de transitório de tal forma a se ter um pólo dominante (aproximação a um sistema de primeira ordem), ou um par de pólos dominantes (aproximação a um sistema de segunda ordem); Em seguida, é, se necessário, calculado um compensador de atraso de fase para ajuste de ganho (K s, K v ou K a ) a fim de atender as especificações de erro em regime. 2. Compensador de Avanço e de Atraso de Fase Vimos anteriormente que a introdução de zeros adequadamente posicionados favorece a estabilidade e que a introdução de pólos pode promover instabilidade.

2 2.. Compensador de avanço de fase Para se introduzir um zero próximo aos pólos dominantes, usa-se um compensador de avanço de fase em cascata com o processo do tipo: + T s + αt s onde α é um coeficiente menor do que. O parâmetro T é calculado de tal forma a se posicionar o zero na posição desejada.. Como α ajustado adequadamente ( menor do que ), pode-se fazer com que o pólo introduzido ficará afastado dos pólos dominantes ou próximo a um zero Compensador de atraso de fase Para se corrigir o ganho e assim controlar o erro estático usa-se um compensador em cascata com o processo do tipo atraso de fase: + T s + αt s onde α é um coeficiente maior do que. O parâmetro T é calculado de tal forma a se posicionar o zero próximo a zero. Como α é maior do que, o pólo introduzido ficará também próximo de zero. 2.2 Ajuste do transitório 2.2. Aproximação a um sistema de primeira ordem. Ajuste de transitório Pelas tabelas abaixo, determinar a região de posicionamento da parte real R do pólo dominante em malha fechada, que satisfaça as condições de transitório especificadas : Sobredepassamento R Sem R < 0 Tempo de resposta R t r5% t r 5% R 3 t r 5% t r2% t r 2% R 3.9 t r 2% Com o LGR, verificar se existe um ganho K c tal que o sistema em malha fechada tenha um pólo dominante posicionado na região desejada. Se existir tal ganho o ajuste de transitório está completo; Se não existir, determinar adequadamente um compensador de avanço de fase G c (s)e introduzir em cascata no sistema. É prática comum selecionar um valor para α (valor típico é 0.), e escolher um valor para T de tal forma que: 2

3 em sistemas Tipo e Tipo 2, seu valor seja igual ou menor ao valor da maior constante de tempo de G(s); em sistemas Tipo 0, seu valor seja igual ou menor ao valor da segunda maior constante de tempo de G(s); Com o LGR, verificar se existe um K c de tal maneira que o sistema em malha fechada tenha um pólo dominante posicionado em R. Se existir, o ajuste de transitório está completo. Se tal ganho não existir, voltar ao passo anterior; Ajuste de ganho Completada a etapa de ajuste de transitório, é necessário, agora, atender a especificação de erro estático através de um compensador de atraso de fase. O método de projeto de tal compensador está apresentados abaixo Aproximação a um sistema de segunda ordem. Ajuste de transitório Pelas tabelas abaixo, determinar a região de posicionamento da parte real R e da parte imaginária I dos pólos dominantes em malha fechada, que satisfaçam as condições de transitório especificadas : Sobressinal Tempo de Resposta R I Sem Sobressinal R < 0 I = 0 Sem Sobressinal t r5% t R 4.74 I = 0 r5% t r5% Sem Sobressinal t r2% t R 5.83 I = 0 r2% ( t r2% ) R π ln(c p% /00) I I > 0 Com Sobressinal t r5% t R 3 I > 0 r5% t r5% Com Sobressinal t r2% t R 4 I > 0 r2% t r2% Com Sobressinal t p t R < 0 I π p t p t r5% t r5% t r2% t r2% t p t p R 3 t r5% R 4 t r2% ( ) R π ln(c p% /00) I ( ) π I ln(c p% /00) R ( ) π I ln(c p% /00) R I π t p Com o LGR, verificar se existe um ganho K c tal que o sistema em malha fechada tenha pólos dominantes R + ji e R ji, com R e I na região desejada. Se existir tal ganho, o ajuste de transitório está completo; 3

4 Se não existir, determinar adequadamente um compensador de avanço de fase G c (s)e introduzir em cascata no sistema. É prática comum selecionar um valor para α ( valor típico é 0.), e escolher um valor para T de tal forma que: i em sistemas Tipo e Tipo 2, seu valor seja igual ou menor ao valor da maior constante de tempo de G(s); ii em sistemas Tipo 0, seu valor seja igual ou menor ao valor da segunda maior constante de tempo de G(s); Com o LGR, verificar se existe um K c de tal maneira que o sistema em malha fechada tenha pólos dominantes posicionados em R + ji e R jir ji, com R e Isatisfazendo as condições de projeto. Se existir, o ajuste de transitório está completo. Se tal ganho não existir, voltar ao passo anterior; Ajuste de ganho Completada a etapa de ajuste de transitório, é necessário, agora, atender a especificação de erro estático através de um compensador de atraso de fase. O método de projeto de tal compensador está apresentados abaixo Influência de zeros Nas aproximações de primeira e segunda ordem descritas não se levou em consideração a presença de zeros. Zeros próximos do eixo imaginário produzem sobressinal mesmo que os pólos sejam todos reais. Um pólo suficientemente próximo de um zero anula sua influência. Quando se tem um par constituído de um pólo com um zero, onde o pólo não está suficientemente próximo do zero, nas vizinhanças dos pólos dominantes, o zero pode influenciar a resposta temporal com um sobressinal. Em virtude deste fato podemos estabelecer a seguinte regra: pode aparecer sobressinal na resposta temporal se o LGR apresenta um par constituído de um pólo com parte real negativa e de um zero com parte real negativa nas vizinhanças dos pólos dominantes, quando o pólo não está suficientemente próximo do zero. Este efeito aparece mesmo que todos os pólos sejam reais; quanto mais afastado do eixo imaginário estiver o par pólo-zero, menor é o sobressinal na resposta temporal. 2.3 Ajuste do erro estático Se com o ganho obtido na etapa de ajuste de transitório for igual ou superior ao ganho especificado (K s, K v ou K a, conforme o caso) para atender aos requisitos de erro estático, o projeto está terminado. Se for inferior, devemos introduzir um ganho K n (ganho necessário) para atendimento de tais requisitos. O ganho necessário é calculado por: para ajuste do ganho estático para ajuste do ganho de velocidade K n = K s K t ; K n = K v K t ; 4

5 para ajuste do ganho de aceleração K n = K a K t. O ganho K t é o ganho total (ganho do controlador vezes ganho do processo) obtido na etapa de ajuste do transitório. O compensador por atraso de fase é calculado como segue: cálculo de T : + T s + αt s T = β R, onde R é a parte real do pólo ou pólos dominantes e β 0; cálculo de α: sistemas tipo e 2 : o parâmetroα K n ; sistemas tipo 0 : existe um valor máximo para α α max = δ ( δ)k t, onde > δ 0.9; Se K n α max, escolher α = K n. Se K n > α max, escolher α = α max, e, se necessário, um novo compensador de atraso deve ser adicionado. Como este compensador coloca um zero (próximo de um pólo) no sistema em malha aberta há a tendência de ser produzido um sobredepassamento, apesar de existir um pólo próximo, que deveria anular o efeito do zero. EXPERIMENTO : Seja G(s) = ( + 0.s)( + 0s) ; Simular esta função de transferência em malha aberta com um degrau unitário, e medir o t r5% ; Calcular um controlador, usando o LGR (aproximação a um sistema de primeira ordem), de tal forma que o sistema realimentado: i tenha t r5% 6; ii tenha erro ao degrau unitário menor que 0.; Observe que neste caso não deve haver sobressinal; 5

6 Implementar o controlador. Simular em malha fechada com uma referência do tipo degrau unitário. Medir o t r5% e o erro estático; Um possível controlador que atende as condições especificadas é : G c (s) = 9. EXPERIMENTO 2: Seja G(s) = ( + 4s)( + 0s) ; Simular esta função de transferência em malha aberta com um degrau unitário, e medir o t r5% ; Calcular um controlador, usando o LGR (aproximação a um sistema de primeira ordem), de tal forma que o sistema realimentado: i tenha t r5% 6; ii tenha erro ao degrau unitário menor que 0.; Observe que neste caso não deve haver sobressinal; Implementar o controlador. Simular em malha fechada com uma referência do tipo degrau unitário. Medir o t r5% e o erro estático; Um possível controlador que atende as condições especificadas é : ( + 4s). G c (s) = 9 ( + 0.2s). EXPERIMENTO 3: Seja G(s) = 2 s( + 5s)( + 0.s) ; Usando o Scilab, simular esta função de transferência em malha aberta com um degrau unitário; Calcular um controlador, usando o LGR (aproximação a um sistema de segunda ordem), de tal forma que o sistema realimentado: i tenha t p ; ii tenha sobredepassamento menor que 5%; 6

7 iii tenha K v 6; Implementar o controlador no SAPIC. Simular em malha fechada com uma referência do tipo degrau unitário. Verificar as condições especificadas em projeto; Um possível controlador que atende as condições especificadas é : ( + 5s)( + 0s) G c (s) = 3 ( s)( + 20s). 7