CONTROLO. 3º ano 1º semestre Transparências de apoio às aulas teóricas. Capítulo Projecto Nyquist/Bode

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1 CONROLO 3º ano º semestre ransparências de apoio às aulas teóricas Capítulo Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro António Pascoal odos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior écnico) sem autorização dos autores /Cap.2-ParteA

2 Projecto no domínio da frequência Diagrama de Bode da f.t.ca./s 2 K Controlador Sistema a controlar K > 0 2 C(s) s G(s) EXEMPLO frequência de cruzamento ω c. 0rad/ s argg(jω c ) 80º margem de fase ΦM 0º sistema marginalmente estável 2/Cap.2-ParteA

3 EXEMPLO Controlador Sistema a controlar Critério de Nyquist K > 0 2 C(s) s G(s) Contorno de Nyquist A pólo duplo x - A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico - ω* : G(jω*)C(j ω*) argg(jω*)c(j ω*) 80º sistema marginalmente estável G(jω*)C(jω*) 0 jω* é um pólo em malha fechada 3/Cap.2-ParteA

4 EXEMPLO Controlador Sistema a controlar Root-Locus K > 0 2 C(s) s G(s) C(s) K s z z Estratégia de Controlo pólo duplo x efeito estabilizador (PD) o x 2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário sistema marginalmente estável Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo 4/Cap.2-ParteA

5 EXEMPLO Controlador Sistema a controlar exemplo K, z0.rad/s s z K 2 z s C(s) G(s) ΦM 90º sistema em c.f. estável - G M Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade 5/Cap.2-ParteA

6 Análise do compensador PD arg C(s) C(s) K s z z 90º 45º benefício de avanço de fase z ω(rad/ s) compensador por avanço de fase sistema original Diagrama de Nyquist O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto - sistema compensado - nova margem de fase 6/Cap.2-ParteA

7 Compensador PD Compensador de avanço de fase s z C(s) K z p s z C(s) K z s p sistema realizável (com um pólo e um zero) Controlador Sistema a controlar K p z s s z p C(s) s 2 G(s) avanço de fase 7/Cap.2-ParteA

8 Compensador por Avanço de Fase C(s) K β s s β K β db lim C(jω) ω β < Ganho estático K β zero - / o 90 pólo - /βτ x φ max ω max β 8/Cap.2-ParteA

9 Compensador por Avanço de Fase φmax? ω max? Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE C(jω ) K s βs s jω K jωβ jω argc(jω ) φc( ω) arctg( ω) arctg( ωβ) dφ c dω ( ω) β ( ω) 2 ( ωβ ) 2 Cálculo de ω max dφ c ( ω) β 0 2 dω ( ω) ( ωβ) Em escala logarítmica, equidistante das frequências de corte do zero e do pólo ω max 2 0 β ω 2 2 β 9/Cap.2-ParteA

10 Compensador por Avanço de Fase ω max β φmax? φ max φ c ( ωmax ) arctg( ωmax) arctg( ωmaxβ) arctg arctg( β) β φ max β arctg 2 β φ max β arcsin β 0/Cap.2-ParteA

11 Compensador por Avanço de Fase φ c ( ω max ) Máximo AVANÇO DE FASE 90º β β < p x β z β 0 p >> z φ c ( ω max ) 90º /Cap.2-ParteA

12 Compensador por Avanço de Fase K β db C(jω max ) K? Porque é importante conhecer? β o 90 φ max β arcsin β φ max ω max ω max β β O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. Ao somar fase em w max, também se aumenta o ganho. De quanto? É o preço a pagar pelo avanço de fase 2/Cap.2-ParteA

13 Compensador por Avanço de Fase K β db C(jω max ) K? C(jω ) K jω jωβ o 90 φ max β φ max β arcsin β C(jω max ω ω max j ) K j β β ω max ω max β β C(j ω max ) K β 3/Cap.2-ParteA

14 EXEMPLO Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K(s) amplificador 00 motor com carga s 00 s 36 s posição angular velocidade Objectivos a atingir. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) o 3. Margem de fase ΦM Margem de ganho G M 6 db 4/Cap.2-ParteA

15 EXEMPLO a projectar K(s) G(s) 00 s(s 36)(s 00) K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária ( ) e ramp ( ) s 0 lim sg(s)k(s) s 0 lim sg(s)k(s) s K lim (s 36)(s 00) K e ramp K 440 escolha-se K 440 5/Cap.2-ParteA

16 EXEMPLO a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 diagrama de Bode de KG(s) ΦM 34º ω 0 db 29. 5rad/ s G M ω π 0. 6 db 59.9rad/ s Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida 6/Cap.2-ParteA

17 EXEMPLO a projectar KG(s ) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist com K ~ (s) Contorno de Nyquist x x x - 34º P0 N0 ZPN0 módulo 7/Cap.2-ParteA

18 EXEMPLO a projectar KG(s ) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 o 3. Margem de fase ΦM 48 sistema original Para (s) 0 db K ~ ΦM 34º Compensador de avanço Aumento nominal de 48º - 34º 4º nova frequência de cruzamento No entanto é necessário dar FASE ADICIONAL figura não à escala. Apenas ilustrativa -80º sistema original 34º Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso aumento de fase Não basta um aumento de 4º 8/Cap.2-ParteA

19 EXEMPLO a projectar KG(s ) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 o 3. Margem de fase ΦM 48 Para (s) K ~ ΦM 34º Aumento nominal de 48º - 34º 4º Aumento total de fase Nominal Factor de Segurança 4º 0º 24º Determinação das características do compensador de avanço de fase avanço ω max φmax 24º φ max β arcsin β β 0.42 O parâmetro β define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador 9/Cap.2-ParteA

20 EXEMPLO β. 54 β db 3. 77dB preço a pagar pelo avanço de fase Ganho estático do compensador unitário odo o ganho necessário já foi considerado φmax 24º ω max? onde se coloca ω max? ω max β w max é a frequência a que o avanço de fase é maior Conhecendo β Escolhendo w max Calcula-se ω max β 20/Cap.2-ParteA

21 EXEMPLO onde se coloca ω max? 3.77dB ω max f.t.c.a sistema compensado f.t.c.a sistema original -3.77dB ωmax Frequência à qual o ganho de malha KG(s) s jω 3. 77dB ω max β β 39 rad/ s β β ω max rad/ s ωmax 39rad/ s 25. 3rad/ s 2/Cap.2-ParteA

22 EXEMPLO a projectar G(s) K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) K(s) K K ~ (s) K s β s β s K(s) s f.t.c.a. do sistema original*440 f.t. do compensador com ganho estático unitáro f.t.c.a. do sistema compensado K( s) s s /Cap.2-ParteA

23 EXEMPLO K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado G M. 5dB > 6 db o ΦM 46 < 48º Se não for satisfatório, refaça os cálculos 23/Cap.2-ParteA

24 EXEMPLO K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) ΦM 34º ΦM 46 o nova margem de fase Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico 24/Cap.2-ParteA

25 Compensador de avanço - Sumário Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador 25/Cap.2-ParteA

26 Compensador de Atraso de Fase K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) K ~ (s) α > α s s α O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário 0 db Diagrama de Bode de K ~ (s) 20log0 α Ganho estático zero - / pólo - /ατ x α 26/Cap.2-ParteA

27 Compensador de atraso Princípio de utilização irar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada. Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador Até uma década após o zero Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada. 27/Cap.2-ParteA

28 Compensador de Atraso de Fase K ~ (s) α s s α 0 db Diagrama de Bode de K ~ (s) 20log0 α α 28/Cap.2-ParteA

29 EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K(s) amplificador 00 motor com carga s 00 s 36 s posição angular velocidade Objectivos a atingir. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) / Margem de fase ΦM 59. 2º 4. Margem de ganho G M 2 db 29/Cap.2-ParteA

30 EXEMPLO 2 a projectar K(s) G(s) 00 s(s 36)(s 00) K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária ( ) / e ramp ( ) lim sg(s)k(s) s 0 lim sg(s)k(s) s 0 00K lim (s 36)(s 00) s K e ramp K 5839 escolha-se K /Cap.2-ParteA

31 EXEMPLO 2 a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 5839 diagrama de Bode de KG(s) Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida? ω 4. 7rad/ s ΦM 59 º, KG(jω) 20dB Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso? 3/Cap.2-ParteA

32 EXEMPLO 2 a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 5839 diagrama de Bode de KG(s) desejada ΦM 59. 2º 0º 69. 2º factor de segurança Porque é necessário o factor de segurança? ΦM 69. 2º para ω 9. 78rad/ s KG(j ω ) 24dB 9.78rad/s ω O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s 32/Cap.2-ParteA

33 EXEMPLO 2 Dimensionamento do compensador de atraso 0 db α log 0 α 24dB α dB define o afastemento entre o pólo e o zero -90º Fase negativa preço a pagar pela diminuiçãode ganho Onde colocar o compensador? 33/Cap.2-ParteA

34 EXEMPLO 2 Várias hipótess possíveis de colocação do compensador 0º 34/Cap.2-ParteA

35 EXEMPLO 2 Estratégia de colocação do compensador de atraso Zero do compensador década abaixo da frequência de cruzamento desejada rad/ s α 0 db α rad/ s -24dB Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula -90º Fase negativa preço a pagar pela diminuiçãode ganho Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada 35/Cap.2-ParteA

36 EXEMPLO 2 a projectar G(s) K(s) 00 s(s 36)(s 00) Ks () KKs %() K s α s α s 0.98 Ks () s s 0.98 Ks () s ΦM 64 º,GM 22dB especificações verificadas Magnitude (db) Phase (deg) f.t.c.a. do sistema compensado f.t. do compensador f.t. do compensador Bode Diagram f.t.c.a. do sistema f.t.c.a. original*5839 do sistema original*5839 Frequency (rad/sec) System: sys Frequency (rad/sec): 0 Magnitude (db): f.t.c.a. do sistema compensado System: sys Frequency (rad/sec): 0 Phase (deg): /Cap.2-ParteA