Fundamentos de Controlo

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1 Fundamentos de Controlo 6 a Série Projecto de Compensadores: Avanço/atraso de fase, moldagem do ganho de malha. S6.1 Exercícios Resolvidos P6.1 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 10 5 s(s + 10)(s + 100). Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechada R(s) Y (s) C(s) G(s) + cumpra as seguintes especicações: Figura 1 Resolução: Margem de fase MF 40 o ; Largura de banda do sistema controlado LB 20 rad/s. A resposta em frequência do sistema não controlado é G(jω) = 10 5 jω(jω + 10)(jω ) cujo diagrama de Bode está representado na Figura 2 (o diagrama real a azul e o assimptótico a vermelho). Figura 2 Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 db, i.e., a frequência ω c tal que: 10 5 G(jω c ) = ω c ω 2 c ωc =1 4 ω6 c ωc ωc =0 ω c 30 rad/s. 1

2 A margem de fase do sistema não compensado é (em graus) MF = 180 o + arg G(jω c ) = 180 o 90 o arctan ω c 10 arctan ω c 100 0o. Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode. A largura de banda do sistema compensado situa-se normalmente no intervalo LB [ω c, 2ω c ]. Como ω c já é superior à LB requerida e o compensador de avanço vai conduzir a um aumento adicional na frequência de corte a 0 db, é de prever que a especicação relativa à largura de banda seja satisfeita. A função de transferência do compensador de avanço é C(s) = 1 s + 1 T α s + 1 αt (0 < α < 1). O avanço de fase φ m que é necessário adicionar ao sistema a controlar é φ m = MF req MF + ε = 40 o o = 45 o em que se adoptou um factor de segurança ε = 5 o. O parâmetro α obtém-se de sin φ m = sin 45 o = 1 α 1 + α α = A frequência de corte a 0 db com o controlador de avanço é a frequência ω m tal que G(jω m ) = α 10 5 ω m ω 2 m ω 2 m = 0.17 ω m 46 rad/s. Esta frequência podia ter sido obtida directamente a partir da característica de amplitude do diagrama de Bode do sistema não compensado procurando a frequência para a qual O parâmetro T obtém-se de pelo que G(jω m ) db = 10 log α 7.7 db ω m = 1 T α 1 T = ω m (α) 19, C(s) = s + 19 s s + 19 s Na Figura 3 representa-se o diagrama de Bode do sistema em anel aberto com o controlador dimensionado. É fácil de vericar que a frequência de corte a 0 db é ω m 46 rad/s, mas que a margem de fase é inferior a 40 o. Calculando o valor exacto verica-se que MF=180 o +arg C(jω m )G(jω m )= 90 o arctan ω m 10 arctan ω m 100 +arctan ω m 19 arctan ω m o. 2

3 Figura 3 Como a frequência de corte a 0 db é bastante superior aos 20 rad/s pretendidos para largura de banda mínima do sistema controlado, pode-se aumentar a margem de fase deslocando a frequência de corte a 0 db para valores inferiores, o que se consegue através de um simples ajuste do ganho. Por exemplo, para ω = 30 rad/s tem-se C(j30)G(j30) = j j j30(j )(j ) db arg[c(j30)g(j30)] = arg(j ) arg(j ) 90 o arg(j ) arg(j ) 136 o Assim, dividindo o ganho do controlador por 1.8, i.e., tomando para controlador C(s) = 5.9 s s s + 19 s + 112, a frequência de corte a 0 db do sistema em malha aberta passa a ser de 30 rad/s conduzindo a uma margem de fase de MF 180 o 136 o 44 o, como se pode vericar no diagrama de Bode do sistema em malha aberta com este controlador que se representa na Figura 4. Figura 4 3

4 P6.2 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 250 s(s + 5)(s + 50). Dimensione um controlador de atraso de fase de modo a que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especicações: Resolução: Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e( ) 0.01; Margem de fase MF 40 o. A função de transferência do controlador de atraso é C(s) = K C(s) = K 1 β s + 1 T s + 1 βt (β > 1). Vamos começar por dimensionar o ganho K do controlador de modo a satisfazer a especicação relativa ao erro estático de velocidade e( ) = e v = 1 K v 0.01 K v 100. Tendo em conta a função de transferência do sistema a controlar, o coeciente de erro estático de velocidade é K v = lim skg(s) = 250K s = K K 100. Escolhendo K = 150, obtém-se para função de transferência em anel aberto sem o controlador de atraso C(s) KG(s) = s(s + 5)(s + 50), cujo diagrama de Bode está representado na Figura 5 (o diagrama real a azul e o assimptótico a vermelho). Figura 5 4

5 Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 db, i.e., a frequência ω c tal que: KG(jω c ) = A margem de fase do sistema KG(s) é (em graus) ω c ω 2 c ω 2 c = 1 ω c 26 rad/s. MF = 180 o + arg KG(jω c ) = 180 o 90 o arctan ω c 5 arctan ω c 50 17o. Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode, como se indica na Figura 5. Repare-se que MF < 0 o o que indica que o sistema em anel fechado é instável. Como se pretende obter uma margem de fase MF 40 o, vamos escolher para nova frequência de corte a 0 db a frequência ω c tal que arg[kg(jω c )] = 180 o + MF req + ε = 180 o + 40 o + 5 o 135 o. A partir da característica de fase do diagrama de Bode verica-se que a fase de 135 o ocorre para ω c = 4 rad/s. Determina-se β tal que KG(j4) = j4(j4 + 5)(j4 + 50) = β β 29. O zero do controlador de atraso é colocado uma década abaixo da frequência ω c, i.e., Desta forma, obtém-se 1 T = ω c 10 = 0.4. C(s) = 1 s s C(s) = 150 s s s s O diagrama de Bode do sistema em anel aberto com este controlador é o representado na Figura 6. A margem de fase obtida é MF = 180 o + arctan arctan o arctan 4 5 arctan o que satisfaz a especicação dada. Figura 6 5

6 P6.3 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde G(s) = s s + 1 representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamente a entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema. r + e y C(s) G(s) + n + Figura 7 a) Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça as seguintes especicações: 1. Erro em regime permanente nulo para uma entrada r escalão unitário; 2. Erro em regime permanente menor ou igual a 0.1 para uma entrada r rampa unitária; 3. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências [0,0.1] rad/s com erro menor ou igual a 60 db; 4. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos 20 db; 5. Margem de fase MF superior a 40 o. Justique as condições a impor ao ganho de malha e a escolha do controlador. Trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e conrme a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. b) Suponha que existe um atraso τ na transmissão de informação entre o controlador C(s) e o sistema a controlar G(s). Calcule, a partir do diagrama de Bode do ganho de malha, o valor máximo de τ tolerado tal que o sistema em malha fechada permaneça estável. Resolução: a) Para garantir que o erro estático de posição é nulo e o erro estático de velocidade é nito, especicações 2 e 3, o sistema em anel fechado tem de ser de tipo 1, i.e., como a retroacção é unitária, a função de transferência em cadeia aberta tem de ter 1 polo na origem. Como G(s) não tem polos na origem, este terá de estar no controlador. Assim, a versão mais simples de controlador é C 1 (s) = K s. O ganho K vai ser dimensionado de modo a satisfazer a especicação relativa ao erro estático de velocidade, i.e., e v = K v = lim sc 1 (s)g(s) = lim K s = 100K 10 K 0.1 K v s 0 s 0 s + 1 Para satisfazer a especicação 3 é preciso garantir que E(jω) R(jω) = C(jω)G(jω) 60 db C(jω)G(jω) ω [0,0.1] +60 db. ω [0,0.1] A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares C(jω)G(jω) >> 1 para ω [0, 0.1]. 6

7 Para satisfazer a especicação 4 é preciso garantir que Y (jω) N(jω) = C(jω)G(jω) 1 + C(jω)G(jω) 20 db C(jω)G(jω) ω> db. ω>100 A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares C(jω)G(jω) << 1 para ω > 100. Na Figura 8 representa-se a característica de amplitude do diagrama de Bode do sistema em malha aberta com o controlador C 1 (s) denido com K = 0.1, i.e., da função de transferência C 1 (s)g(s) = 0.1 s s s + 1 a que se sobrepuseram as zonas de exclusão determinadas pelas especicações 3 (zona A) e 4(zona B). Para que a caracteristica de amplitude da resposta em frequência do sistema, Figura 8 em malha aberta não intersecte as zonas de exclusão, é preciso aumentar o ganho do controlador entre 20 db e 40 db. Optando por aumentar o ganho de 20 db, obtém-se C 2 (s) = 10C 1 (s) = 1 s. Na Figura 9 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta com o controlador C 2 (s), i.e., da função de transferência C 2 (s)g(s) = 1 s s s + 1. Figura 9 7

8 A frequência de corte a 0 db do sistema é ω c = 10 rad/s, e a margem de fase do sistema, indicada na característica de fase, é praticamente zero pelo que vai ser necessário introduzir fase positiva, i.e., um zero no controlador. Repare-se que se tivessemos optado por aumentar o ganho do controlador em 40 db (em vez de 20 db), a frequência de corte a 0 db descia para aproximadamente 3 rad/s, mas a margem de fase, embora um pouco superior, continuava a ser inferior a 40 o. O zero a introduzir no controlador não deverá alterar o diagrama de Bode na baixa frequência de modo a garantir o cumprimento das especicações em regime permanente e de baixa frequência. Consequentemente, o novo controlador terá de ser da forma C 3 (s) = C 2 (s) s + z z = 1 z s + z s Além disso, tendo em conta que a contribuição de um zero para a característica de amplitude do diagrama de Bode é, na alta frequência, uma recta de declive +20 db/dec, e que com o controlador C 2 (s) em ω = 100 rad/s a amplitude está quase 20 db abaixo da zona de exclusão de alta frequência (na realidade, 17 db devido ao zero em s = 100 do sistema a controlar), o zero do controlador terá de se situar no intervalo de frequência [10, 100] rad/s, i.e., 10 z 100. Como a contribuição de um zero para a fase varia de 0 o até 90 o desde uma década antes até uma década depois da sua frequência, para maximizar o avanço de fase introduzido pelo zero sem alterar signicativamente a frequência de corte a 0 db, vamos colocar o zero em s = 10. Desta forma, o acréscimo de fase introduzido pelo zero na frequência ω = 10 rad/s é de 45 o. Como a contribuição do zero para a característica de amplitude passa em 3 db na sua frequência (ω = 10 rad/s), a frequência de corte a 0 db do sistema com o controlador C 3 (s) = 0.1 s + 10 s será ligeiramente superior a 10 rad/s, pelo que o acrécimo na margem de fase também será ligeiramente superior a 45 o. Na Figura 10 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta C 3 (s)g(s) = 0.1 s + 10 s s s + 1. Figura 10 8

9 Como se esperava, a especicação 4 não é satisfeita para frequências próximas de 100 rad/s. Para que esta especicação fosse completamente satisfeita seria necessário descer de 3 db a amplitude na frequência ω = 100 rad/s, o que se consegue deslocando o zero do controlador para uma frequência ligeiramente superior, por exemplo, colocando o zero em s = 15. Na Figura 11 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta C 4 (s)g(s) = 1 15 s + 15 s s s + 1. Figura 11 A especicação 4 é agora totalmente satisfeita. A frequência de corte a 0 db é ω c 10 rad/s (na realidade, ligeiramente superior) e a margem de fase é MF 45 o (também ligeiramente superior), pelo que o controlador que permite satisfazer todas as especicações é C(s) = 1 s s Analisando o contorno e o correspondente diagrama de Nyquist do sistema em anel aberto com este controlador (ver Figura 12), verica-se que o número de polos da função de Figura 12 transferência em anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama 9

10 de Nyquist em torno do ponto crítico 1 é N = 0. Consequentemente, Z = N + P = 0, i.e., o sistema em anel fechado é estável pois não tem polos no semiplano complexo direito. b) O atraso τ traduz-se na existência de um bloco com função de transferência e sτ entre o controlador C(s) e o sistema a controlar G(s). Assim, a função de transferência em anel aberto do sistema com atraso é C(s)G(s)e sτ. Consequentemente, C(jω)G(jω)e jωτ = C(jω)G(jω) arg[c(jω)g(jω)e jωτ ] = arg[c(jω)g(jω)] ωτ (em radianos), i.e., o atraso τ apenas afecta a característica de fase do sistema em anel aberto. Assim, a frequência de corte a 0 db não se altera. A margem de fase do sistema com atraso é MF com atraso = π + arg[c(jω c )G(jω c )e jωτ ] = MF sem atraso ω c τ (em radianos). Para que o sistema em anel fechado se mantenha estável MF com atraso > 0 ω c τ < MF sem atraso τ < MF sem atraso ω c. Para o sistema com o controlador dimensionado na alínea anterior em que ω c 10 rad/s e MF 45 o conclui-se que τ < π 40 seg. S6.2 Exercícios Propostos P6.4 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 25 s(s + 1)(s + 5). Pretende-se que o sistema em anel fechado tenha MF 30 o. a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) com ganho estático unitário de modo a satisfazer a especicação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema? b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo a satisfazer a especicação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema? P6.5 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 1000 s(s + 5)(s + 200). Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especicações: Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e( ) 0.01; Polos dominantes do sistema em anel fechado com coeciente de amortecimento ξ

11 P6.6 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 250 s(s + 5). Projecte um compensador de modo a que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintes especicações: Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e( ) < 0.005; Resposta a um escalão com sobre-elevação S < 20%; Largura de banda do sistema compensado não inferior à do sistema não compensado. P6.7 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 1 s(s + 1). Pretende-se que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintes especicações: Coeciente de erro estático de velocidade K v = 20; Margem de fase MF 40 o. a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) de modo a satisfazer as especicações dadas. b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) de modo a satisfazer as especicações dadas. P6.8 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que G(s) = 100 s(s + 1)(s + 10). Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo a que o sistema em cadeia fechada tenha margem de fase MF 40 o. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema? P6.9 Considere o sistema de controlo representado na Figura 13. r 1 y K C(s) + (s + 1)(s + 10) Figura 13 O compensador C(s) tem uma função de transferência da forma C(s) = 1 γ s + 1 T s + 1 γt. Pretende-se que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especicações: 11

12 Erro em regime permanente para a entrada escalão e( ) 0.01; Margem de fase MF = 45 o. Nesta condições a) Calcule o valor de K para satisfazer a especicação relativa ao erro permanente. b) Dimensione um compensador C(s) de avanço de fase de modo a satisfazer a especicação relativa à margem de fase. c) Dimensione um compensador C(s) de atraso de fase de modo a satisfazer a especicação relativa à margem de fase. P6.10 Considere o sistema de controlo da Figura 14 onde G(s) = 1 s 10 representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, d, n e y representam respectivamente a entrada de referência, a perturbação na cadeia de acção, o ruído no sensor e a saída do sistema. r d + + e + y C(s) G(s) + n + Figura 14 Dimensione um compensador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça as seguintes especicações: i) Erro em regime permanente nulo para um escalão na referência r; ii) Efeito da perturbação d sobre a saída y atenuado de pelo menos 40 db na gama de frequências [0,1] rad/s; iii) Efeito do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s atenuado de pelo menos 20 db; iv) Margem de fase MF superior a 45 o ; Justique as condições a impor ao ganho de malha e a escolha do controlador. Trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e conrme a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. Sugestão: Considere o controlador composto pelos seguintes termos: C(s) = K 1 s l C(s) em que K é um ganho, l é o número de integradores e C(0) = 1. Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas. 12

13 P6.11 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde G(s) = 100 s(s + 100) representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamente a entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema. Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça as seguintes especicações: 1. Erro em regime permanente inferior a 0.1 para uma entrada r parábola unitária; 2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior 1 rad/s com erro menor ou igual a 40 db; 3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s de pelo menos 60 db; 4. Margem de fase MF superior a 40 o. Justique as condições a impor ao ganho de malha e a escolha do controlador. Trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e conrme a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas. P6.12 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde G(s) = 1 s + 10 representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamente a entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema. Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça as seguintes especicações: 1. Erro estático de posição nulo; 2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior a 0.1 rad/s com erro menor ou igual a 60 db; 3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos 20 db; 4. Margem de fase MF superior a 40 o. Justique as condições a impor ao ganho de malha e a escolha do controlador. Trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e conrme a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas. S6.3 Soluções dos Exercícios Propostos P6.4 a) Para um avanço de fase φ m = 45 o, obtém-se C(s) = 5.8 s ; A largura de banda s ω m LB 2ω m 3.1 LB 6.2 rad/s. 13

14 b) Para um factor de segurança ε = 5 o, obtém-se C(s) = 0.15 s ; A largura de banda s ω c LB 2ω c 0.6 LB 1.2 rad/s. P6.5 Erro estático de velocidade e( ) 0.01 K 100; Polos dominantes com ξ 0.4 MF 40 o ; Para ganho K = 150 e avanço de fase φ m = 60 o, obtém-se C(s) = 2079 s + 14 s P6.6 Para não reduzir largura de banda, compensador de avanço de fase. Erro estático de velocidade e( ) K 4; Sobre-elevação S < 20 % ξ > 0.46 MF > 46 o ; Para ganho K = 5 e avanço de fase φ m = 60 o, obtém-se C(s) = 70 s + 18 s P6.7 a) Para um avanço de fase φ m = 35 o, obtém-se C(s) = 74 s s b) Para um factor de segurança ε = 5 o, obtém-se C(s) = 1.4 s s P6.8 Para um factor de segurança ε = 5 o, obtém-se C(s) = 0.11 s ; A largura de banda s ω c LB 2ω c 0.8 LB 1.6 rad/s. P6.9 a) K 990; nas alíneas a) e b) tomou-se K = b) Para um avanço de fase φ m = 30 o, obtém-se C(s) = 3 s s c) Para um factor de segurança ε = 5 o, obtém-se C(s) = s s P6.10 C(s) = 10 2 s s P6.11 C(s) = 10 s s P6.12 C(s) = 10 2 s + 1 s(s + 0.1). Bibliograa 1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Sixth edition. 2. Eduardo Morgado, Controlo-problemas,