CONTROLO. 3º ano 1º semestre 2004/2005. Transparências de apoio às aulas teóricas. Critério de Nyquist. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC) CONTROLO 3º ano º semestre 4/5 Transparências de apoio às aulas teóricas Critério de Nyquist Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Noembro de Reistas em Maio de e Noembro de 4 Todos os direitos reserados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap.

2 Introdução O que é o Critério de Nyquist? Estudo da estabilidade (absoluta e relatia) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. Que tipo de análise? Da resposta em frequência da f.t.c.a. Resposta em frequência da f.t.c.a. Critério de Nyquist Estabilidade do sistema em cadeia fechada Localização dos pólos da f.t.c.f. relatia/ eio imaginário Resposta transitória Erro em regime estacionário Analogia com Root-Locus Localização dos pólos da f.t.c.a. Root-Locus Localização dos pólos da f.t.c.f. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap.

3 Introdução O que é o Critério de Nyquist? Estudo da estabilidade (absoluta e relatia) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. Método gráfico Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem aaliar eplicitamente os pólos da f.t.c.f. Dá indicações sobre estabilidade relatia Margem de ganho Margem de fase Parte do conhecimento da f.t.c.a. Usa resultados da teoria das funções compleas (Teorema de Cauchy) para estudar a eistência de zeros de +G(s)H(s) no semi-plano compleo direito ou sobre o eio imaginário. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 3/Cap.

4 Nomenclatura sistema de controlo em cadeia fechada R (s) + C(s) G c (s) G(s) _ H(s) (s) G c função de transferência do compensador situação que irá ser tratada por redefinição de G(s) é sempre possíel passar de um diagrama para outro R (s) + C(s) G(s) _ H(s) Nomenclatura f.t.cadeia acção = G(s) f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = G(s)H(s ) f.t.cadeia retroacção = H(s) G(s) f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) = + G(s)H(s) equação característica + G(s)H(s) = INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 4/Cap.

5 Teorema de Cauchy F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, ecepto num número finito de pontos. A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno. O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s). plano s s s s 3 F(s) F(s ) F(s 3 ) F (s ) plano F(s) Contorno A Contorno B F(s) = (s z)(s z (s p )(s p )... )... descrito num determinado sentido descrito no mesmo sentido ou em sentido contrário ao contorno A INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 5/Cap.

6 Teorema de Cauchy eemplos clockwise zero no eterior do contorno A clockwise Contorno B não contém a origem pólo no eterior do contorno A counterclockwise Contorno B não contém a origem zero no interior do contorno A clockwise Contorno B contém a origem pólo no interior do contorno A pólo e zero no interior do contorno A counterclockwise Contorno B contém a origem INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 6/Cap. counterclockwise Contorno B não contém a origem

7 Teorema de Cauchy enunciado Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio. P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A N = número de oltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem. N = Z P INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 7/Cap.

8 Teorema de Cauchy interpretação F(s) = (s z)(s z ) (s p )(s p )(s p 3 ) plano s Contorno A s F(s) F (s ) plano F(s) Contorno B o o z z p p p 3 Quando s dá uma olta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio o argumento dos ectores associados aos pólos e zeros no eterior de A têm uma ariação líquida de º o argumento dos ectores associados aos zeros no interior de A têm uma ariação de 36º. o argumento dos ectores associados aos pólos no interior de A têm uma ariação de 36º. s a percorrer o contorno A arg F(s) = arg(s z ) + arg(s z arg(s p ) arg(s p ) arg(s p INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 8/Cap. ) O argf(s) tem uma ariação de (-)*36º oltas em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio 3 )

9 Teorema de Cauchy interpretação F(s) = (s z)(s z (s p )(s p )...(s z )...(s p m n ) ) Z = zeros de F(s) no interior do contorno A P = pólos de F(s) no interior do contorno A Quando s dá uma olta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio O argf(s) tem uma ariação de (Z-P)*36º em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio N = Z P N = nº de oltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 9/Cap.

10 Critério de Nyquist Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da estabilidade da f.t.c.f.? aaliar da eistência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d. G(s) + G(s)H(s) aaliar da eistência de raízes de +G(s)H(s)= no s.p.c.d. aaliar da eistência de zeros de +G(s)H(s) no s.p.c.d. j plano s contorno de Nyquist F (s) = + G(s)H(s) plano F(s) raio estabilidade em c.f. j Z = P + N inspecção P INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap. N N = Z - P Teorema de Cauchy inspecção nº de oltas em torno da origem (contadas como positias no sentido dos ponteiros do relógio)

11 Critério de Nyquist Contorno de Nyquist abarca todo o s.p.c.d. F (s) = + G(s)H(s) N = Z - P nº de oltas de +G(s)H(s) em torno da origem nº de zeros de +G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de +G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist = = = nº de oltas de G(s)H(s) em torno de - nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist j contorno de Nyquist G(s)H(s) diagrama de Nyquist raio - j inspecção P INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap. N Z = N + P inspecção nº de oltas em torno de -

12 Critério de Nyquist enunciado Estabilidade em cadeia fechada Z= - N = P Enunciado do critério de Nyquist Um sistema causal com f.t.c.a. G(s)H(s) é estáel em cadeia fechada sse, quando o afio de s percorre o contorno de Nyquist num determinado sentido, o número de oltas que o afio de G(s)H(s) percorre em torno do ponto em sentido contrário é igual ao número de pólos da G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap.

13 Diagrama de Nyquist Como esboçar o diagrama de Nyquist? G(s)H(s) j contorno de Nyquist raio s = jw, w [, + [ G( jw)h( jw) j função resposta em frequência da f.t.c.a. com representação polar pode obter-se por análise do diagrama de Bode e sua representação na forma polar s = jw, w ],] G(jw)H(jw) s = jw, w [, + [ G( jw)h( jw) G(jw)H(jw) arg(g( jw)h( jw)) função par função ímpar Simétrico, relatiamente ao eio real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eio imaginário positio O contorno de Nyquist dee ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 3/Cap.

14 Diagrama de Nyquist Como esboçar o diagrama de Nyquist? G(s)H(s) j contorno de Nyquist raio s = re G (s)h(s) =? j θ θ [ π, π ] r j (s z)(s z)...(s z G(s)H(s) = (s p )(s p )...(s p m n ) ) n > m G(s)H(s) A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem n = m G(s)H(s) alor finito O contorno de Nyquist dee ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 4/Cap.

15 a Diagrama de Nyquist Eemplo > R (s) + C(s) f.t.c.a. = j _ a s + a contorno de Nyquist db P= s a + a a > A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist j a lim r re j θ + a = N= Z=N+P= O sistema em c.f. é estáel para qualquer alor de > INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 5/Cap. -

16 a Diagrama de Nyquist Eemplo < R (s) + C(s) f.t.c.a. = j _ a s + a contorno de Nyquist P= s a + a a > A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist j a lim r re j θ + a = - Se >- N= Z= sistema em c.f. estáel Se <- N= Z=P+N= sistema em c.f. instáel INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 6/Cap.

17 Diagrama de Nyquist Eemplo G(s)H(s) = (s + a)(s + b)(s + c) a >, b >, c > s = jw, w G(s)H(s) j e abc w G(s)H(s) 3π arg(g(s)h(s)) s = re jθ, r G(s)H(s) zoom w + w = + w = w = + w = abc INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 7/Cap.

18 Diagrama de Nyquist Eemplo G(s)H(s) = (s + a)(s + b)(s + c) a >, b >, c > P= - w = + w = w = + w = abc N= Z=P+N= Para = sistema em c.f. é estáel > INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 8/Cap. abc N= Z=P+N= Para = o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instáel

19 Diagrama de Nyquist Eemplo G(s)H(s) = (s + a)(s + b)(s + c) a >, b >, c > P= - Qual o alor de para o qual este ponto se torna igual a? Que ponto é este? É o ponto com fase de 8º Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 9/Cap.

20 Diagrama de Nyquist Eemplo 3 R (s) + C(s) _ > s P= =3 - N=- Z=P+N= Sistema em cadeia fechada estáel para este alor de INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap.

21 Critério de Nyquist Eemplo 4 R (s) + C(s) s(s + ) _ sistema tipo O contorno de Nyquist dee ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno Contorno de Nyquist duas hipóteses semi-circunferência raio ε ε G(s)H(s) = > s(s + ) + w = ε < < A C B w = r + w = C ε B r INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap. < < A w = P= P=

22 Critério de Nyquist Eemplo 4 contorno de Nyquist G(s)H(s) = s(s + ) contorno de Nyquist + w = < < ε A C B w = r < < + w = C ε B A w = r diagrama de Nyquist não desenhados à escala INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 /Cap.

23 Critério de Nyquist Eemplo 4 contorno de Nyquist G(s)H(s) = s(s + ) contorno de Nyquist + w = < < ε A C B w = r < < + w = C ε B A w = r contorno de Nyquist A B C π π θ,, ε semi-circunferência de raio infinitesimal A B C π π θ, π, contorno de Nyquist G(s)H(s) = εe ( εe + ) εe jθ s= εe jθ jθ jθ ε = e jθ diagrama de Nyquist θ π,, π - Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito argumento -θ θ INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 3/Cap. π, π, π - diagrama de Nyquist

24 Critério de Nyquist Eemplo 4 R (s) + C(s) s(s + ) _ G(s)H(s) = sistema tipo s(s + ) 4 = = INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- diagrama Controlo de 4/5 Nyquist desenhados Noembro à escala 4 4/Cap.

25 Critério de Nyquist Eemplo 4 análise de estabilidade G(s)H(s) = s(s + ) ponto de intersecção com o eio real? G( jw)h( jw) = jw(jw + ) arg( G( jw)h( jw)) = 8º arg(g( jw)h( jw)) = arg() arg( jw) arg( jw + ) 8º INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 5/Cap. = 9 º arctg(w) = 8º arctg (w) = 45º w = tg(45º ) = rad/ s G( jw)h( jw) w= =

26 Critério de Nyquist Eemplo 4 análise de estabilidade G(s)H(s) = s(s + ) < < < < P= P= -/ -/ diagrama de Nyquist não desenhados à escala < N= Z=P+N= N=- sistema estáel Z=P+N=-= < N= Z=P+N= N= Z=P+N=+= sistema instáel INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 6/Cap.

27 Critério de Nyquist Eemplo 5 G(s)H(s) = s (s + ) < < C A B P= qual é a imagem desta semi-circunferência? εe jθ ε G( εe jθ )H( εe jθ ) ε e jθ Dois pólos ecluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero A π θ - θ - π B C π π Só esta análise não chega para desambiguar duas semi-circunferências com raio a tender para infinito Qual é o correcto? INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 7/Cap.

28 Critério de Nyquist Eemplo 5 G(s)H(s) = s (s + ) < < C A B D qual é a imagem desta semi-circunferência? G( εe jθ εe jθ )H( εe jθ ε ) e ε jθ P= A θ π - θ - π D π - 4 π B C π π D N= C A - B Z=P+N= A = imagem de A < O sistema sistema em em cadeia cadeia fechada fechada é é instáel instáel para para qualquer qualquer alor alor de de Confirme com o Root-Locus INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 8/Cap.

29 Critério de Nyquist Eemplo 6 (s )(s ) (s + ) + R (s) + C(s) _ Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab.5 Nyquist Diagrams From: U().5 P= N=? Imaginary Ais To: Y() Real Ais Chegou a Z=? Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o diagrama de Nyquist Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a..5 Imag Ais Real Ais INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 9/Cap.

30 Critério de Nyquist Eemplo 6 (s )(s ) (s + ) + R (s) + C(s) _ Bode Diagrams = 4 From: U() 3 Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) P= N=? = Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab.5.5 Nyquist Diagrams From: U() > P = N = Z = Imaginary Ais To: Y() < Real Ais Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instáel para >/3 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 3/Cap.

31 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase 6 (s + )(s + )(s + 4) R (s) + C(s) _.5 Nyquist Diagrams From: U() =.5 Imaginary Ais To: Y () Real Ais P=, N=, Z= Para = o sistema em cadeia fechada é estáel Root-locus Imag Ais Pergunta: De quanto é possíel aumentar o ganho sem que o sistema se torne instáel? Pergunta: O sistema torna-se instáel com o aumento do ganho Resposta Sim er Root-Locus ou Diagrama de Nyquist Real Ais INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 3/Cap.

32 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase 6 (s + )(s + )(s + 4) R (s) + C(s) _.5 Nyquist Diagrams From: U() = P=, N=, Z= c.f. estáel.5 Imaginary Ais To: Y() Real Ais Nyquist Diagrams From: U() P=, N=, Z= c.f. instáel =5 5 Imaginary Ais To: Y() INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Real Ais Noembro 4 3/Cap.

33 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Pergunta: De quanto é possíel aumentar o ganho sem que o sistema se torne instáel?.5 Nyquist Diagrams From: U() =.5 Imaginary Ais To: Y () qual é o ganho quando a frequência=8º? Real Ais = -5dB.77 qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário? O ganho pode aumentar de.77 = 5.63 até que o sistema em c.f. se torne instáel INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 33/Cap.

34 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Pergunta: De quanto é possíel aumentar o ganho sem que o sistema se torne instáel? 8 Nyquist Diagrams From: U() 6 = Imaginary Ais To: Y() - = Real Ais 4 G( jw)h( jw) = = INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 34/Cap.

35 Margem de Ganho Margem de Fase Até aqui o diagrama de Nyquist foi usado para aaliar a estabilidade absoluta Diagrama de Nyquist permite também aaliar estabilidade relatia proimidade do sistema relatiamente à situação de instabilidade quão próimos do eio imaginário estão os pólos do sistema em cadeia fechada Proimidade do diagrama de Nyquist do ponto - MG Margem de ganho (MG) - é a ariação, epressa em db, do ganho da f.t.c.a., para a fase de 8º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instáel Margem de fase (Φ M ) é a ariação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instáel. O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relatia só é álido para P=, i.e., para sistemas em cadeia aberta estáeis. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 35/Cap.

36 Margem de Ganho Margem de Fase Margem de Ganho é o inerso do módulo da f.t.c.a., G(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. Introduz uma rotação de 8º MG = G( jw)h( jw) w= w π Margem de Fase é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e 8º quando G(jw)H(jw) = Φ = 8º +α M ( ) G( jw )H( jw ) = α = arg G(jw)H( jw) Determinação das margens de estabilidade Diagrama de Nyquist Diagrama de Bode INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 36/Cap.

37 Margem de Ganho Margem de Fase R ( s ) + C (s ) _ 6 ( s + )( s + )( s + 4 ).5 Nyquist Diagrams From: U() =.5 Imaginary Ais To: Y () -.5 α Real Ais = - MG db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 37/Cap. Φ M

38 Margem de Ganho Margem de Fase Valores conenientes para uma boa estabilidade relatia 3º<FM<6º MG>6dB INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 38/Cap.

39 Margem de Ganho Margem de Fase G(s)H(s) = (s + )(s + ) P=.5 Nyquist Diagrams From: U()..5 /MG. Imaginary Ais To: Y() Real Ais /MG α < Condições de estabilidade: Se MG> sistema em c.f. estáel Se MG< sistema em c.f. instáel Se MG= sistema em c.f. marginalmente estáel Se Φ M >º sistema em c.f. estáel Se Φ M <º sistema em c.f. instáel Se Φ M =º sistema em c.f. marginalmente estáel INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 39/Cap.

40 Margem de Ganho Margem de Fase Eemplo Sistema com retroacção unitária. Qual é o alor de para o qual a margem de fase é de 45º? 4 G(jw) db - -4 arg(g(jw)) (graus) -6 - w(rad/s) w(rad/s) Desenhe o diagrama de Nyquist Calcule o alor da margem de ganho para esse alor de Identifique o sistema em cadeia aberta INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 4/Cap.

41 Margem de Ganho Margem de Fase Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG> e Φ M >º É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e aaliar a estabilidade com base no enolimento do ponto +j. Caso Para sistemas de ª e ª ordem, em que não eiste cruzamento do diagrama de Nyquist com o semieio real negatio, a MG é sempre infinita. Caso Para sistemas de ordem superior pode haer mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eio real negatio. Caso 3 Sistemas em c.a. de fase não mínima w π3 w π Há 3 alores de frequência para os quais a fase da f.t.c.a. é de 8º w π INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 4/Cap.

42 Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento Para sistema de ª ordem, sem zeros, que alor dee ter a margem de fase (especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia fechada apresente uma certa sobreeleação (especificação no domínio do tempo) na resposta ao escalão? R (s) + w C(s) n s(s + ζw ) _ G(s) n f.t.cadeia fechada C(s) R(s) = s w + ζw n n s + w n Margem de fase G (jw) = 4 w = wn ζ + 4ζ + Φ M arg G(jw = 8º + argg( jw w ) = 9º arctg ζw ) = 9º arctg INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 4/Cap. n ζ + ζ 4ζ 4 +

43 Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento Retirado de G.Franklin, J. Powell, A. Naeini Feedback Control of Dynamic Systems INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 43/Cap.

44 Sistemas com um atraso Retirado de E. Morgado Controlo Teto de apoio produção de fibra óptica Ajuste do diâmetro do orifício da fieira d Em qualquer dos casos surge um atraso Condução do carro atraso = tempo de reacção do condutor Produção fibra óptica atraso de transporte a acção de controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica Atraso τ traduzido por sτ e De que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relatia) na cadeia fechada? INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 44/Cap.

45 Sistemas com um atraso Eemplo R (s) + C(s) e sτ G(s) G (s) _ τ = e sτ G(s) G(s) = 5 s(s + )(s + ) G (jw) e jwτ G(jw) τ = função resposta em frequência G τ(jw) = G(jw) O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência arg( G (jw)) = wτ + arg(g(jw)) τ O atraso introduz na fase uma componente que aria linearmente com w A margem de fase diminui A margem ganho diminui INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 45/Cap.

46 Sistemas com um atraso Eemplo R (s) + C(s) e sτ G(s) _ G(s) = 5 s(s + )(s + ) = τ= Para o mesmo alor de, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relatia, para o mesmo alor de INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 46/Cap.

47 Sistemas com um atraso Eemplo R (s) + C(s) e sτ G(s) _ G(s) = 5 s(s + )(s + ) = τ= = τ= INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo 4/5 Noembro 4 47/Cap.