PROJETO DE CONTROLADORES A PARTIR DO PLANO S. critério Routh-Hurwitz análise de estabilidade análise de desempenho

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1 PROJETO DE CONTROLADORES A PARTIR DO PLANO S critério Routh-Hurwitz análise de estabilidade análise de desempenho

2 Critério Routh-Hurwitz: análise da estabilidade Sistemas de primeira ordem: 1 x o (t)= (1- e -σt ), σ = 1/T 1+Ts Pólo de G(s) 1+Ts = 0 s = - σ = - 1/Τ Se σ for positivo o sistema é estável Se σ for negativo então o sistema é instável Parte real do pólo no semi plano esquerdo indica sistema estável! UNIDADE 04 2/21

3 Análise da estabilidade Sistemas de segunda ordem: 1 as 2 + bs +c Pólo de G(s) as 2 +bs+c = 0 s = - σ ±j ω Se σ for positivo o sistema é estável Se σ for negativo então o sistema é instável Parte real do pólo no semi plano esquerdo indica sistema estável! UNIDADE 04 3/21

4 Análise da estabilidade UNIDADE 04 4/21

5 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 1 - Escreva o polinômio característico na seguinte forma : 2 Se quaisquer um dos coeficientes for nulo ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo então o sistema apresenta raízes no spd ou no eixo imaginário. 3 Se os coeficientes forem positivos então arranje-os conforme o diagrama: UNIDADE 04 5/21

6 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz O critério de Routh-Hurwitz assegura que o número de raízes da equação característica no spd é igual ao número de trocas de sinais dos coeficientes da primeira coluna da matriz de coeficientes gerados. Exemplo: (1) (2) Duas mudanças de sinal implica em duas raízes no spd i i i i UNIDADE 04 6/21

7 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Para o sistema da figura, quais os valores de K que garantem a estabilidade dos sistema? UNIDADE 04 7/21

8 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz (casos especiais) E quando um elemento da primeira coluna da matriz de coeficientes é nulo? b1 ou c1 é zero? E quando uma linha acima é nula? b1,b2,..., bn é zero? UNIDADE 04 8/21

9 Lugar das Raízes Como visto a resposta de um sistema depende essencialmente da localização no plano s das raízes da equação característica. R(s) A questão é como se pode modificar as raízes da equação característica com um controlador proporcional? B(s) + - E(s) Controlador K U(s) Planta 1/(s 2 +4s) C(s) 1 + K*G(s)*H(s)=0 1 + K*[ 1/(s 2 +4s)] =0 Sensor 1 UNIDADE 04 9/21

10 Lugar das Raízes 1 + K*[ 1/(s 2 +4s)] =0 S 2 + 4S + K = 0 R(s) + - E(s) Controlador K U(s) Planta 1/(s 2 +4s) C(s) B(s) Sensor Resposta do sistema para diferentes valores de K 1 UNIDADE 04 10/21

11 O Diagrama do Lugar das Raizes No Matlab : N=1; D=[1 4 0]; SYS=tf( N,D ); K=4; [R,K] = rlocus(sys,k); [K,POLES] = rlocfind(sys) UNIDADE 04 11/21

12 O Diagrama do Lugar das Raizes: Regras úteis (sistemas de fase mínima e realimentação negativa) 1 É construído a partir da FTMA 2 O número de ramos é igual ao número de pólos da FTMA 3 - Sempre começa nos pólos (k=0) e termina nos zeros (k = ) 4 Quando o número de zeros é menor que o número de pólos os zeros são alocados no infinito 5 Um ponto P no eixo real pertence ao lugar das raízes se o total de pólos e zeros a direita do ponto P no eixo real for ímpar 6 Os zeros atraem sempre os pólos 7 Os pólos repelem outros pólos. 8 O diagrama é simétrico em relação ao eixo real. UNIDADE 04 12/21

13 O Diagrama do Lugar das Raízes: Regras úteis 9 Para valores elevados de K o diagrama se reduz a retas assintóticas com os ângulos com o eixo real dados por: onde n = número finito de pólos e m o número finito de zeros da FTMA 10 A intersecção das assíntotas com o eixo real acontece no ponto dado por: UNIDADE 04 13/21

14 O Diagrama do Lugar das Raízes: MATLAB clc clear s=tf('s'); sys=tf(1/(s*(s+2)*(s+5))); rlocus(sys) UNIDADE 04 14/21

15 Lugar das Raízes : Exemplos UNIDADE 04 15/21

16 Lugar das Raízes : Diagramas Típicos UNIDADE 04 16/21

17 Lugar das Raízes : Estabilidade e Desempenho 1. Quais os valores de K que instabilizam o sistema governado pelas funções: 2. Quais os valores de K que instabilizam o sistema da figura: UNIDADE 04 17/21

18 Lugar das Raízes : Estabilidade e Desempenho e Plano s M p constante T p constante t s constante UNIDADE 04 18/21

19 Lugar das Raízes : Estabilidade e Desempenho 3. Dado a função de transferência de malha aberta, encontrar - se existir - os valores de K de sorte que o overshoot seja inferior a 20%, o tempo de acomodação inferior a 3 seg. e o tempo de subida inferior a 0.5 segundos 4. Qual o valor de K do sistema abaixo para que o fator de amortecimento seja 0.4 UNIDADE 04 19/21

20 Lugar das Raízes : Sistemas com atraso Um atraso de transporte pode ser visto como entrada x(t) e uma saída y(t) n forma: y(t) = x (t-t) assim: Y(s) = X(s)e -Ts logo: G(s) = Y(s)/X(s) = e -Ts A função de transferência de um sistema térmico pode em muitas situações ser modelada por um sistema de primeira ordem com um certo atraso T: UNIDADE 04 20/21

21 Lugar das Raízes : Sistemas com atraso O lugar das raízes deste sistema com atraso pode ser obtido, modelando o atraso por meio da funçao pade no matlab, cuja sintaxe é: Com atraso!! [NUM,DEN] = PADE(T,N), onde N é a ordem de aproximação e T o atraso. No exemplo: [Nu,De]=pade(1,3); G1=tf(Nu,De); G2=tf(1,[1 1]); G=G1*G2; rlocus(g) Sem atraso!! O ATRASO DESESTABILIZA O SISTEMA QUANDO O GANHO É ELEVADO!! UNIDADE 04 21/21