Indice. Resposta forçada (condições iniciais nulas)

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1 Indice 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade resposta natural 3.4 Função de Transferência Estabilidade devido à entrada (resposta forçada) Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros 59 Resposta forçada (condições iniciais nulas) Pólos: -0,5-1 60

2 Função de transferência (condições iniciais nulas) 61 Pólos e zeros 62

3 Pólos e zeros: ordem de um sistema 63 Indice 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade resposta natural 3.4 Função de Transferência Estabilidade devido à entrada (resposta forçada) Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros 64

4 Exemplo 65 Estabilidade (resposta forçada) Estabilidade!!! Ambas as exponenciais são decrescentes; a saída tende para um valor finito constante Instabilidade!!! Se uma das exponenciais fosse crescente a saída tenderia para infinito, seria ilimitada, embora a entrada fosse limitada. 66

5 Indice 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade 3.4 Função de Transferência Estabilidade Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros 67 O plano complexo 68

6 Indice 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade 3.4 Função de Trasnferência Pano complexo Polos, relação com resposta transitória Zeros 69 Pólo real simples 70

7 Pólo real simples 71 Pólo real duplo 72

8 Pólo real duplo 73 Pólos na origem Pólo simples 1 Y( s) = yt ( ) = 1 s Pólo simples, entrada em degrau 1 Y( s) = yt () = t lim yt ( ) = 2 s t Estável!!! Instável!!! Pólo duplo, entrada em degrau Y() s = yt () = t lim y() t = 3 s 2 t Instável!!! origem é um ponto de instabilidade!!! 74

9 Pólo imaginário simples sen2t 75 Pólo imaginário múltiplo 76

10 Par polos complexos: semiplano esquerdo p = - 1 ± j p = - 4 ± 2 j 77 Par polos complexos: semiplano direito p = 1 ± j p = 4 ± 2 j 78

11 Resumo 79 Resumo Definição de estabilidade Um sistema é estavel BIBO (bounded input bounded output) se para qualquer entrada finita a saída também é finita. Sistema estável quando Parte real dos pólos no SPEsquerdo E se tiver pólos na origem? 80

12 Indice 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade 3.4 Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros 81 Os zeros da função de transferência 82

13 Conclusão Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros Indice 3.5 Resposta temporal de sistemas lineares Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Sistemas de ordem superior 84

14 3.4 Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros Indice 3.5 Resposta temporal de sistemas lineares Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Sistemas de ordem superior 85 Sistemas de 1ª ordem 86

15 Sistemas de 1ª ordem 87 Sistemas de 1ª ordem 88

16 Sistemas de 1ª ordem Que valor? 89 Sistemas de 1ª ordem 90

17 Sistemas de 1ª ordem Além disso, definindo o parâmetro T= como constante de tempo pode-se constatar o seguinte: Verifica-se assim que a velocidade de evolução da saída depende apenas do parâmetro T (o mesmo é dizer de p), constante de tempo. 91 Sistemas de 1ª ordem 92

18 Sistemas de 1ª ordem 93 Sistemas de 1ª ordem 94

19 Sistemas de 1ª ordem 95 Sistemas de 1ª ordem 96

20 Sistemas de 1ª ordem Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros Indice 3.5 Resposta temporal de sistemas lineares Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Sistemas de ordem superior 98

21 Sistemas de 2ª ordem

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23

24 105 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 106

25 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 107 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 108

26 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 109 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 110

27 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 111 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 112

28 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada Wn frequência natural não amortecida 113 Sistemas de 2ª ordem Notação não usada 114

29 Sistemas de 2ª ordem 115 2ª ordem A saída de um sistema de segunda ordem, quando excitado por uma entrada em degrau, é função de três parâmetros: k, ζ, ωn. Estabilidade: função de ζ Valor final: função de K 116

30 2ª ordem 117 2ª ordem ζ coeficiente amortecimento 118

31 2ª ordem 119 2ª ordem 120

32 2ª ordem 121 2ª ordem ymax=vf(1+po) 1.4* VF PO: Percentagem overshoot VF: Valor final + 2% 0.6*VF 0.2*VF ts: tempo estabelecimento 0 tr 0 tp 1T 2T 3T 4T 5T 6T 122

33 2ª ordem 123 2ª ordem 124

34 2ª ordem 125 2ª ordem 126

35 2ª ordem 127 2ª ordem 128

36 2ª ordem Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros Indice 3.5 Resposta temporal de sistemas lineares Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Sistemas de ordem superior 130

37 131 Conclusão 3.1 Modelização: equações diferenciais 3.2 Transformada de Laplace Transformada de funções elementares Propriedades da TLP 3.3 Inversão da TLP Fracções parciais Resolução equações diferenciais Polinómio característico Estabilidade 3.4 Função de Transferência Pano complexo Polos: resposta transitória Zeros 3.5 Resposta temporal de sistemas lineares Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Sistemas de ordem superior 132