Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

Transcrição

1 ADL21 Funções de Transferência de Segunda Ordem Obtidas Experimentalmente Uma vez mais podemos medir na curva de resposta em laboratório a ultrapassagem percentual e o tempo de assentamento, de onde é possível obter os pólos e, por conseguinte, o denominador. O numerador pode ser encontrar, como nos sistemas de primeira ordem, do conhecimento dos valores esperado e medido em estado estacionário Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais Sob certas condições, sistemas com mais de dois pólos e com zeros podem ser aproximados como sistemas de segunda ordem que possuem apenas dois pólos dominantes complexos. Admitindo que os pólos complexos de um determinado sistema estejam em - n ± n 1-2 e que o pólo real esteja em - r, a resposta do sistema ao degrau pode ser determinada a partir da expansão em frações parciais. Assim, a transformada da saída é (4.57) ou, no domínio do tempo (4.58)

2 Se r >> n (Caso II), a exponencial pura desaparecerá muito mais rapidamente que a resposta de segunda ordem amortecida ao degrau. A resposta total se aproximará da um sistema de segunda ordem puro (Caso III). Se r não for muito maior que n, (Caso I), a resposta transitória do pólo real não se tomará insignificante no ir da primeira ultrapassagem ou no tempo de assentamento gerado pelo par de segunda ordem. Neste caso o valor do decaimento exponencial é importante e o sistema não pode ser representado como um sistema de segunda ordem. Consideramos que o decaimento exponencial se toma insignificante depois de cinco constantes de tempo. Assim, se o pólo real estiver à esquerda dos pólos dominantes, cinco vezes mais distante, admite-se que o sistema seja representado por seu par de pólos de segunda ordem dominantes. Podemos mostrar, através da expansão em frações parciais, que o resíduo do terceiro pólo, em um sistema de três pólos com pólos de segunda-ordem dominantes e sem zeros, decrescerá realmente em magnitude à medida que o terceiro pólo seja deslocado, cada vez mais longe no semiplano da esquerda. 4.8 Resposta de Sistema com Zeros Começando com um sistema de segunda ordem com pólos em (-1 ± j2,828), adicionamos, consecutivamente zeros em -3, -5 e -10. Os resultados, normalizados ao valor de estado estacionário, estão plotados na figura abaixo. Podemos constatar que quanto mais próximo estiver o zero dos pólos dominantes, tanto maior será seu eleito sob-resposta transitória. A medida que o zero se afasta dos pólos dominantes, a resposta tende à do sistema com dois pólos. Uma forma de olhar o efeito de um zero, devida a Franklin (1991): seja C(s) a um sistema, T(s). com um numerador unitário. Se adicionarmos um zero à função de transferência, gerando (s + a)t(s), a transformada de Laplace da resposta também será multiplicada por (s + a), (4.70) Assim, a um sistema com um zero consiste em duas partes: a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta original. Se a, o negativo do zero, for muito grande, a transformada de Laplace da resposta será aproximadamente ac(s), ou seja, uma versão em escala da resposta original. Se a não for muito grande, a resposta terá uma componente adicional consistindo na derivada da resposta original. A medida que a se toma menor, o termo que corresponde à derivada contribui mais para a resposta e tem um efeito maior. Para as respostas ao degrau, a derivada é, usualmente, positiva nos instantes iniciais da resposta. Assim, para pequenos valores de a, devemos esperar um valor maior de ultrapassagem nos sistemas de segunda ordem porque o termo derivativo será aditivo nas proximidades da primeira ultrapassagem.

3 Ocorre um fenômeno interessante quando a é negativo, colocando o zero no semiplano da direita. Com base na Eq. (4.70), vemos que o termo derivativo, que é normalmente positivo nos instantes iniciais, será de sinal contrário ao lermo da resposta em escala. Portanto, se o termo derivativo. sc(s), for maior que o termo em escala, ac(s). a resposta seguirá inicialmente a derivada em direção oposta à da resposta em escala. O resultado referente a um sistema de segunda ordem está mostrado na Fig. 4.26, onde o sinal da entrada foi invertido de modo a produzir um valor positivo em estado estacionário. Observe que a resposta começa a se orientar cm direção negativa, embora o valor final seja positivo. Os sistemas que apresentam este fenômeno são conhecidos como sistemas de fase nãomínima. cancelamento de pólo com zero Admita um sistema de três pólos com um zero. como está mostrado na Eq. (4.85). Se o termo do pólo, (s + p 3 ), e o termo do zero, (s + z), se cancelarem, ficaremos com (4.85) como função de transferência de segunda ordem. De uma outra perspectiva, se o zero em z estiver muito próximo do pólo em p 3 então a expansão em frações parciais da Eq. (4.85) mostrará que o resíduo do decaimento exponencial é muito menor que a amplitude da segunda ordem. Calculando o cancelamento de pólo com zero usando resíduos Problema Para cada uma das funções respostas nas Eqs. (4.86) e (4.87), determine se há cancelamento entre o zero e o pólo mais próximo do zero. Para a função em que o cancelamento seja válido, obtenha a resposta aproximada. (4.86) (4.87)

4 Solução A expansão em frações parciais da Eq. (4.86) é (4.88) O resíduo do pólo em -3.5, que é o mais próximo do zero em -4, é igual a - 1 e não é insignificante em relação aos outros resíduos. A expansão em frações parciais para C 2 (s) é (4.89) O resíduo do pólo em -4,01 que é o mais próximo do zero em -4, é igual a 0.033, cerca de duas ordens de grandeza abaixo dos outros resíduos. Em conseqüência, fazemos a aproximação de segunda ordem desprezando a resposta gerada pelo pólo em -4,01: (4.90) e a resposta c 2 (t) é aproximadamente (4.91) 4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo a. Efeito da saturação do amplificador sobre a velocidade angular da carga; b. Diagrama de blocos em Simulink

5 Fig a. Efeito da zona morta sobre a deslocamento angular da carga; b. diagrama de blocos em Simulink Fig a. Efeito da folga sobre a deslocamento angular da carga; b. diagrama de blocos em Simulink