Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace Prof. Luis S. B. Marques

2 A frequência complexa A variável complexa s é dada por: A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial: Resposta para função exponencial com sigma maior e menor que zero t

3 A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: Resposta para sigma a zero t

4 A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: 3 2 Resposta para sigma maior que zero t

5 t A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: 3 2 Resposta para sigma menor que zero

6 A transformada de Laplace A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:

7 A transformada de Laplace Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.

8 A transformada de Laplace

9 Propriedades da transformada de Laplace

10 Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a região de convergência para os sinais mostrados abaixo.

11 A transformada Inversa de Laplace

12 Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

13 Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

14 Solução de equação diferencial usando Laplace Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:

15 Solução de equação diferencial usando Laplace Exercício E4.6 PÁGINA 337

16 Resposta do Sistema A transformada de Laplace fornece a resposta total, componente da resposta devido à entrada nula e componente da resposta devido estado nulo. Por exemplo, a equação diferencial abaixo ao ser resolvida utilizando a transformada de Laplace possui ambos os termos na resposta. A componente de entrada nula corresponde às condições iniciais.

17 Resposta do Sistema termo devido as condições iniciais termo devido À entrada Resposta entrada nula Resposta de estado nulo

18 Função de transferência A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada Diagrama de blocos

19 Estabilidade Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica: 1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.

20 Estabilidade 2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário. 3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário. A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.

21 Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.

22 Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2 a lei de newton:

23 Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

24 Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

25 Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2 a lei de newton: C X(t)

26 Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

27 Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

28 Geradores de condições iniciais A corrente no capacitor é dada pela equação abaixo: A transformada de Laplace desta equação é:

29 Geradores de condições iniciais A tensão no indutor é dada pela equação abaixo: A transformada de Laplace desta equação é:

30 Geradores de condições iniciais A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:

31 Geradores de condições iniciais

32 Diagrama de blocos Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída

33 Diagrama de Blocos Sistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo

34 Sistemas com realimentação

35 Sistemas com realimentação A função de transferência em malha Fechada é modificada em relação à função de transferência em malha aberta. Diz-se, portanto, que tem-se agora os pólos em malha fechada.

36 Sistemas com realimentação

37 Sistemas com realimentação Considere o sistema abaixo. Os pólos de malha aberta são 0 e -20. Pode-se verificar que os pólos de malha fechada depende da constante K a.

38 Sistemas com realimentação

39 Sistemas com realimentação

40 Sistemas com realimentação

41 Sistemas com realimentação

42 Sistemas com realimentação

43 Análise de sistemas de controle A figura acima representa um sistema de controle automático de posição

44 Análise de sistemas de controle

45 Análise utilizando simulink

46 Análise de sistemas de controle

47 Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.

48 Análise utilizando simulink

49 Análise utilizando simulink

50 Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.

51 Análise utilizando simulink

52 Análise utilizando simulink

53 Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.

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