INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z. Wilson Arnaldo Artuzi Junior Ricardo Rodrigo Wolf Cruz

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1 INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z Wilson Arnaldo Artui Junior Ricardo Rodrigo Wolf Cru CURITIBA 2010

2 Sumário 1 - Introdução Definição:...1 a) Domínio do tempo discreto n...1 b) Domínio...2 c) Par transformado...2 d) Transformada Direta...2 e) Transformada Inversa Região de Convergência da Transformada Z Propriedades da ROC Propriedades da Transformada Z Linearidade Deslocamento Produto por exponencial Reversão Convolução Transformação Bilinear Transformada de Laplace e Transformada Z...12 a) Transformada de Laplace...12 b) Transformada Z...12 c) Comparação Transformação bilinear...12 Bibliografia...16

3 1 1 Introdução A Transformada Z é bastante utiliada para a análise de sistemas em tempo discreto. Pode ser aplicada no processamento digital de sinais, por exemplo, para obtenção do comportamento de sinais digitaliados e para a criação de filtros digitais. Também é possível aplicar tal transformada em equações diferença lineares, que quando convertidas para o domínio tornam-se equações algébricas de mais fácil solução. Neste caso, a resposta final é obtida pela utiliação da transformada Z inversa após os cálculos. Do mesmo modo, pode-se obter funções de transferência de sistemas em função da variável, utiliadas para verificação da resposta do sistema a uma entrada arbitrária. A transformada Z é o equivalente para sinais e sistemas discretos da transformada de Laplace, usada no caso contínuo. 1.1 Definição: A transformada Z fa a mudança do domínio do tempo discreto para o domínio da variável. É uma alternativa mais adequada que a transformada de Laplace quando a variável tempo não é contínua. a) Domínio do tempo discreto n. g [n] é uma sequência de números reais ordenados segundo valores crescentes de n. Neste caso, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, Em casos práticos, g[n] é obtida através da amostragem de g(t) a intervalos regulares t, ou seja, g[n] = g (n. t), como ilustrado na Figura 1.1. Figura 1.1: Exemplo de amostragem de sinal analógico.

4 b) Domínio. G() é uma função real da variável complexa 2. A variável não tem significado físico e é contínua (ao contrário da variável n que é discreta). O plano complexo Z é ilustrado na Figura 1.2. (ROC). Figura 1.2: Plano complexo Z com exemplo de um valor possível da variável em aul. c) Par transformado. A relação g[n] G() é unívoca, desde que considerada sua Região de Convergência d) Transformada Direta. G = g [n] n (1) n= e) Transformada Inversa. g[n]= 1 2 j G n 1 d (2) c Na qual c é um contorno fechado no sentido anti-horário ao redor da origem do plano complexo, como exemplificado na Figura 1.3. Figura 1.3: Exemplo de caminho fechado possível para a integral da Transformada Z inversa. Exemplo 1 (resolvido): Calcule a transformada Z direta do degrau unitário discreto, mostrado na Figura 1.4:

5 3 Figura 1.4: Função degrau unitário discreto, correspondente à g[n]=0 para n<0 e g[n]=1 para n 0. Partindo da Equação 1: G = n= u[n] n = n= 0. n n= 1. n G = n =1 1 n= Fórmula da soma dos termos de uma PG: n k =m Usando r = 1/; m = 0 e n = : r k = rn 1 r m r 1 ;r 1 (3) g = 1/ 1,se 1; 1/ 1 = 1 1/ 1 = 1, se 1. Logo: g = 1 ; 1 G() possui um pólo em = 1 (valor que anula o denominador), a Região de Convergência (região do plano complexo Z para a qual G() < ) fica sendo >1, como mostra a FIGURA.

6 4 Figura 1.5: ROC da Transformada Z do degrau unitário u[n] (Exemplo 1). Exemplo 2: Calcule a transformada Z direta da sequência g[n] = a n u[n], onde 0<a<1. g = a ; a Resposta:, conforme a Figura 1.6. Figura 1.6: ROC da Transformada Z de a n u[n] (Exemplo 2). 2 Região de Convergência da Transformada Z A Transformada Z de uma sequência g[n] é definida apenas para os valores de no plano complexo que resultem em

7 n= 5 g[n ] n (4) Os pontos no plano complexo Z que satisfaem a condição acima definem a região de convergência (ROC Region of Convergence). 2.1 Propriedades da ROC a. A ROC é sempre uma região conexa (uma única superfície) na forma de disco ou anel com centro na origem do plano complexo Z, como nos exemplos da Figura 2.1. Figura 2.1: Tipos possíveis para a Região de Convergência (ROC). b. A ROC não contém os pólos de G() e é delimitada por estes. Pólos são os valores da variável que anulam o denominador da função G() quando ela é expressa na forma racional (divisão de polinômios da variável ). c. ROC de uma sequência finita: Uma sequência é dita finita quando satisfa a seguinte condição: g[n]=0 para n N 1 e n N 2 (5) Sendo N 1 e N 2 valores inteiros menores que infinito, como exemplificado na Figura 2.2. Figura 2.2: Exemplo de sequência finita com N 1=-1 e N 2=1.

8 A ROC de uma sequência finita é todo o plano complexo, mas exclui =, se N 1 <0, e =0, se N 2 >0. 6 d. ROC de uma sequência à direita: Uma sequência é dita à direita quando satisfa a condição: g[n]=0 para n N 1 (6) A ROC de uma sequência à direita é o exterior de uma circunferência e exclui =, se N 1 <0. Um exemplo de sequência à direita é apresentado na Figura 2.3. Figura 2.3: Exemplo de sequência à direita com N 1=0. A função mostrada é g[n]=2 -n u[n]. e. ROC de uma sequência à esquerda: Uma sequência é dita à esquerda quando satisfa a condição: g [n]=0 para n N 2 (7) A ROC de uma sequência à esquerda é o interior de uma circunferência e exclui =0, se N 2 >0. Uma sequência à esquerda é ilustrada na Figura 2.4.

9 7 Figura 2.4: Exemplo de sequência à esquerda com N 2=0. A função mostrada é g[n]=u[-n]. f. ROC de uma sequência bilateral: Uma sequência é dita bilateral quando não se enquadra nos casos anteriores e não é periódica, como ilustrado na Figura 2.5. Figura 2.5: Exemplo de sequência bilateral. A função mostrada é g [n ]=1,2 n2 A ROC de uma sequencia bilateral é um anel (a>0 e b<,considerando a Figura 2.1). g. ROC de uma sequência periódica: Uma sequência é dita periódica quando apresenta um padrão que se repete indefinidamente, como na Figura 2.6.

10 8 Figura 2.6: Exemplo de sequência periódica. Neste caso é mostrada a função g[n]=(-1) n. Não existe ROC para sequências periódicas, logo não é possível calcular sua Transformada Z. Exemplo 3: Calcule a Transformada Z direta da sequência g[n] = -a n u[-(n+1)]. Resposta: g = a ; a 3 Propriedades da Transformada Z. 3.1 Linearidade pólos. a.g [n] b.h[n] a.g b.h (8) A ROC passa a ser a ROC de G() ROC de H(), exceto quando há cancelamento de 3.2 Deslocamento g [n k] k G (9) A ROC é a ROC de G(), mas com possibilidade de alterações em = 0 e =. Exemplo 4 (resolvido): Sabendo que u [n] 1 ; 1 obtenha a Transformada Z do sinal g[n] apresentado na Figura 3.1.

11 9 Figura 3.1: g[n]=1, se n 1; g[n]=0, se n >1. Este sinal pode ser representado pela soma entre um degrau unitário deslocado de 1 unidade para a esquerda (Figura 3.2) e outro, com sinal negativo, deslocado de 2 unidades para a direita (Figura 3.3), ou seja, g[n] = u[n+1] u[n-2]. Figura 3.2: Degrau unitário deslocado de uma unidade para esquerda (k = -1).

12 10 Figura 3.3: Degrau unitário deslocado de 2 unidades para a direita (k = 2). u [n 1] 1 1 ;1 Observe que para o sinal u[n+1] a ROC foi alterada, visto que trata-se de uma sequência à direita que se inicia antes do 0 (antes do deslocamento ela se iniciava no 0). u [n 2] 2 1 ;1 u[n 1] u [n 2] = = A ROC seria a intersecção das ROCs de u[n+1] e u[n-2], mas, neste caso, ocorre um cancelamento de pólo, pois: = Portanto o limite correspondente ao pólo = 1 é alterado e: u[n 1] u [n 2] 2 1 ;0 3.3 Produto por exponencial

13 11 Para ROC de /a. a n g[n] G /a (10) Exemplo 5 (resolvido): Sabendo que u [n] 1 ; 1 obtenha a transformada Z de a n u[n]. a n u [n] /a /a 1 = ; /a 1 ou a a 3.4 Reversão g [ n] G 1/ Para ROC de 1/. Exemplo 6 (resolvido): Sabendo que u [n] 1 ; 1 obtenha a transformada Z de u[-n]. 1/ u[ n] 1/ 1 = 1 ; 1/ 1ou Convolução g [n m]h[m]=g[n] h[n] m= g[n] h[n] G H Para ROC de G() ROC de H().

14 12 Exemplo 7:Sabendo que u [n] 1 ; 1 calcule a Transformada Z de -a n u[-(n+1)] (mesmo do exemplo 3) usando as propriedades da Transformada Z. Resposta: g = a ; a 4 Transformação Bilinear A transformação bilinear fa a mudança da variável da frequência complexa s (analógica) para a variável (usada em sistemas digitais) de forma a permitir que um circuito elétrico analógico seja processado numericamente em computadores e em processadores digitais de sinais (DSPs). 4.1 Transformada de Laplace e Transformada Z a) Transformada de Laplace G s = 0 g t e st dt g n t e sn t t n=0 b) Transformada Z G = g [n] n n=0 c) Comparação G s =G g n t t= g[n] ; e s t =. 4.2 Transformação bilinear A relação s = (1/ t).ln() fa o mapeamento exato da variável s para a variável, porém é de pouca utilidade prática. Porém, utiliando a relação = (1+x)/(1-x), o logaritmo pode ser expandido usando a seguinte série de Taylor:

15 ln 1 x 1 x =2x 2 3 x3 2 5 x5 (11) Utiliando tal expansão, a relação entre s e pode ser reescrita como: ] s= 2 [ 1 t e, considerando apenas a aproximação de primeira ordem, obtém-se uma transformação bilinear que apresenta importância prática quando associada à propriedade do deslocamento. s= 2 t 1 1 Exemplo 8 (resolvido): Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o equivalente digital do circuito RC mostrado na Figura 4.1, considerando nulas as condições iniciais. 13 (12) 1. Domínio do tempo: Figura 4.1: Circuito RC, considerando a tensão e a corrente discretas. v t R.i t 1 i t dt=0 C t 2. Domínio da variável s: v t V s i t I s V s R.I s 1 C [ I s s 1 i t s dt] =0 A integral correspondente às condições iniciais é nula, logo: 0

16 14 V s [ R 1 Cs ] I s =0 3. Domínio da variável : V s V I s I s= 2 t V [ R 1 C t ] I =0 t V V R 2C I t R 2C I =0 4. Domínio do tempo discreto n: k V v[n k ] k I i[ n k] t R v[n 1] v[n] 2C i [n 1] t R 2C i[n]=0 t 1 2C i[n 1]= t R 2C v[n 1] v [n] R 2C i [n] R t ou, considerando: t a 1 RC 2 = t RC 2 C a 2 = t RC 2 i[n 1]=a 2 v[n 1] v[n] a 1 i[n] Lembrando que i[n] e v[n] = 0 para n <0. Pode-se representar esta resposta pelo diagrama apresentado na Figura 4.2.

17 15 Figura 4.2: Diagrama recursivo representando a corrente em função da tensão no tempo discreto para um circuito RC. Exemplo 9: Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o equivalente digital do circuito RL mostrado na, considerando nulas as condições iniciais. Figura 4.3: Circuito RL no tempo discreto. Resposta: t /2R i[n 1]= t /2 L/ R v[n 1] v[n] t /2 L/ R t /2 L/ R i [n]

18 16 Bibliografia [1] B. P. Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, 2 edição, Bookman, Porto Alegre, Brasil, [2] Roland, Digitaliação, Brasil, 2010, disponível em acesso em 19/11/2010. [3] Wilson Arnaldo Artui Junior, Notas pessoais de aula.