Capítulo 2 Funções de uma variável complexa. A origem dos números complexos repousa na solução de equações algébricas

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1 Capítulo 2 Funções de uma variável complexa A origem dos números complexos repousa na solução de equações algébricas para. A solução da equação de 1º. grau:, remonta ao Egito antigo. Note que com os coeficientes reais a solução está totalmente imersa no conjunto de números reais. O conjunto dos números reais é composto pela união do conjunto de números racionais (que têm dízima periódica) e os números irracionais (que têm período infinito) e podem ser: transcendental (isto é, que não podem ser solução de equações algébricas com coeficientes racionais, como os números (razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência), o número de Napier, etc. e não transcendental como. O persa Abu Al-Kowarismi ( ), cujo nome deu origem à palavra algarismo, determinou a solução da equação de 2º. grau. Obviamente, a equação de 2º. grau já traz a idéia de números complexos ou imaginários como solução, por exemplo, de. Mas somente a solução da equação de 3º. grau, com possíveis soluções (para coeficientes reais): 3 reais ou uma real, uma complexa e o seu complexo conjugado, deu aos números complexos o status de extensão ou ampliação dos números reais. A equação de 3º. grau reduzida: teve sua solução obtida, independentemente, por Scipione del Ferro ( ) e Nicolo Fontana ( , também conhecido por Tartaglia, por ter defeito de fala em virtude de um golpe de sabre). A solução completa da equação de 3º. grau: foi obtida por Girolamo Cardano ( ). A solução da equação de 4º. grau: seguida e foi obtida por Ludovico Ferrari ( ). veio logo em A demonstração de que equações algébricas completas, de grau maior ou igual a 5, não têm solução através de radicais, foi primeiro feita por Niels Abel ( ) no âmbito da álgebra e por Evariste Galois ( ), usando Teoria de Grupos. O uso do símbolo, foi introduzido por Leonhard Euler ( ). 1

2 Número Complexo Se, o número é real puro e se, o número é imaginário puro. Álgebra dos números complexos Adição (Comutativa) Sejam e Multiplicação (Comutativa) Complexo conjugado definição Se então Módulo Divisão Geometria de números complexos Plano Complexo Podemos representar um número complexo qualquer por um ponto no plano bidimensional (x,y) a cada ponto deste plano corresponde a um único número complexo e vice-versa. y x Diagrama de Argand 2

3 Representação trigonométrica Em coordenadas polares: logo, O ângulo pode ser escolhido em outros intervalos, por exemplo,. A escolha desse intervalo implica no posicionamento corte (como veremos mais adiante) no plano complexo z. Em relação à Adição, os números complexos se comportam exatamente igual aos vetores bidimensionais obedecem à regra do paralelogramo. Logo, valem as desigualdades geométricas 1) Um lado de um triângulo é menor ou igual à soma dos outros 2 lados. 2) A diferença de 2 lados de um triângulo é menor ou igual ao terceiro lado. Obs: Não faz o menor sentido escrever módulos de 2 números complexos, isto é,,pois só podemos comparar os Em relação à Multiplicação, os números complexos não se comportam nem como o produto escalar nem como o produto vetorial de 2 vetores. A Fórmula de Euler Podemos expandir em série de Taylor, em torno de, a exponencial ou que é a famosa fórmula de Euler. Logo, podemos escrever qualquer número complexo como 3

4 Fórmula de De Moivre É consequência imediata da fórmula de Euler. Pois se, então daí, a fórmula de De Moivre Raízes Seja As N raízes de,, serão Exemplo:, tem 5 soluções (escrevendo Exercícios: 1) Obtenha a parte real e imaginária do número complexo logo, a parte imaginária é nula e a parte real tem infinitas soluções! 2) Obtenha a parte real e imaginária do número complexo logo ou seja, há infinitas soluções para a parte real e imaginária! Em geral, chamamos de primeira determinação quando. 4

5 Função Complexa de 1 variável complexa A função complexa da variável complexa é um mapa de pontos do domínio, isto é, do plano complexo para pontos da imagem, isto é, para pontos no plano complexo. Observe que não existe gráfico de função complexa, pois se colocarmos o domínio e a imagem imersos no mesmo espaço precisaríamos de 4 dimensões! y v(x,y) x u(x,y) plano complexo z = x+iy plano complexo f(z) = u(x,y)+iv(x,y) Exemplo: Logo, Funções Elementares: 1) Exponencial A função é periódica ao longo do eixo y. 2) Trigonométricas da fórmula de Euler - mas logo que é periódica ao longo do eixo x. De maneira análoga obtemos daqui seguem as outras funções: Note que não é mais obrigatório que complexo, teremos..na verdade, na maior parte do plano 5

6 Funções Ramificadas Como acontece com variáveis reais, podemos perguntar se uma função complexa é contínua em torno de um ponto. Para isso, deve existir um disco arbitrariamente pequeno que leve todos os seus pontos para dentro do disco. Muitas vezes isso não acontece. Teremos então as chamadas funções ramificadas. A função tem 2 ramos, pois, gerando 2 ramos Se fizermos o mapa utilizando somente o primeiro ramo então 2 pontos muito próximos no plano complexo : são mapeados em pontos muito distantes no plano complexo Logo,para que seja contínua, usando apenas 1 ramo,temos que fazer um corte no plano complexo. O domínio passa a ser composto por todos os pontos do plano complexo z menos aqueles situados no corte. No caso em que, o corte estará sobre o semi-eixo real negativo; se, o corte estará sobre o semi-eixo real positivo; se, o corte estará sobre o semi-eixo imaginário negativo, etc. Se utilizarmos os 2 ramos: então o domínio, isto é, o plano complexo, tem que ter 2 folhas de Riemann (veja fig 2.6 e 2.7 do Butkov). Na 1ª folha atua e na 2ª. folha atua. 6

7 Funções com infinitos ramos Seja. Como, então tem infinitos ramos. O ramo é chamado de ramo principal. É fácil ver que, se, qualquer ramo terá o corte no semi-eixo real negativo (como a função de 2 ramos vista anteriormente). A superfície de Riemann tem infinitas folhas. Seja. Então. Com 2 soluções. Tomando o logaritmo de, as expressões diferem apenas de um sinal (pois a função cos(z) é par, cos(z) = cos(-z), de modo que define-se A função potência terá número finito de ramos se for racional e infinito se for irracional. 7

8 Derivadas de Funções Complexas Da mesma maneira que se deriva função real em relação à variável real, pode-se derivar uma função complexa em relação à. A diferença é que o incremento a partir de um ponto qualquer e arbitrário pode-se realizar em qualquer uma das infinitas direções possíveis no plano complexo. Para que a derivada exista no ponto é necessário que todas as infinitas direções tenham o limite exatamente igual. Vejamos em quais condições uma função complexa ponto qualquer. tem derivada num O incremento da variável independente a partir de será. O incremento de será Como e são funções reais teremos (para incrementos infinitesimais) Como qualquer direção tem que dar o mesmo limite, vamos escolher 2 direções independentes: 1) ao longo do eixo real, portanto e e 2) ao longo do eixo imaginário, portanto e. 1) e ; e 2) e ; e 8

9 Igualando (1) e (2) teremos as condições necessárias e suficientes para que exista a derivada de no ponto que são conhecidas como as Condições de Cauchy-Riemann (CCR) Exemplo 1: e. Logo das CCR, temos (para qualquer ponto ) Logo, a função tem derivada e todos os pontos do plano complexo. Exemplo 2: Logo, essa função só tem derivada num único ponto: Exemplo 3: Donde Logo, é diferenciável em todo o plano complexo. 9

10 As propriedades usuais de derivadas continuam valendo: 1) Regra da Soma: 2) Regra do Produto: 3) Regra da Divisão: 4) Regra da Cadeia: Funções Analíticas Definição: Uma função complexa é analítica em se ela tem derivada nesse ponto e em todos os pontos de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de. A função tem derivada em, mas não é analítica em nenhum ponto. Definições: Curva simples não tem auto-cruzamento em nenhum ponto. Curva simples fechada suave por pedaços tem derivada em todos os seus pontos exceto em um número finito onde os pedaços se juntam. Domínio simplesmente, duplamente, triplamente,... conexo não tem nenhum buraco, tem 1 buraco, tem 2 buracos,... respectivamente. simplesmente conexo duplamente conexo triplamente conexo 10

11 O Teorema de Cauchy Se é uma função analítica em um domínio simplesmente conexo D e C é uma curva simples fechada por pedaços, então A demonstração do Teorema de Cauchy se baseia inteiramente no Teorema de Stokes, que envolve integral de linha e de superfície onde é um vetor qualquer, é o vetor deslocamento, uma curva simples fechada, uma superfície qualquer que se apoia nessa curva, é um vetor infinitesimal de área cujo módulo é, direção perpendicular ao plano que oscula a superfície no ponto e sentindo exterior ( para fora ) da superfície e Para o plano complexo (2 dimensões) teremos,,,. Logo, Por outro lado, e. Logo, Se, na parte real de (5), identificarmos e, o Teorema de Stokes (4) nos fornece Se, na parte imaginária de (5), identificarmos e, o Teorema de Stokes (4) nos fornece 11

12 Portanto, se uma função é analítica no interior de uma curva simples fechada então vale o Teorema de Cauchy:. Se é analítica então a sua primitiva também será analítica, pois donde: e. Logo, satisfazem as CCR. Exemplo:, então, onde é uma constante complexa. Teorema de Morera Se é contínua em um domínio e se para todo caminho simples e fechado em, com interior também em, então é analítica em. Claro, o teorema acima não é a melhor maneira de se analisar analiticidade de uma função. Considere a integral. Chamando, será que satisfaz o Teorema de Cauchy? (isto é, a integral se anula?). A resposta depende da curva fechada. Se essa curva envolver o ponto, a função não será analítica no interior da curva (na verdade, a própria função não existe nesse ponto, nem tampouco a sua derivada) de modo que o Teorema de Cauchy não se aplica. Por outro lado, se essa curva não envolver o ponto, a função será analítica e o Teorema de Cauchy terá validade. plano complexo z a C plano complexo z a C Obs: A menos que se diga o contrário, a curva sentido anti-horário!! será percorrida no 12

13 para fazer a integral no 2º. caso, vamos escolher uma circunferência de raio (de valor constante e arbitrário) centrada em. Então e. Donde Será que o valor obtido acima depende da forma da curva C? Na figura abaixo as curvas formam uma curva fechada que não contém. Logo, pelo Teorema de Cauchy a integral se anula. Na figura representam canais que vão e voltam praticamente pelo mesmo caminho (podemos fazer tão próximos quanto queiramos) de modo que se cancelam mutuamente Com os canais tão próximos quanto queiramos, as curvas se transformam em curvas fechadas percorridas anti-horária e horariamente, respectivamente. ou Portanto,o resultado é sempre o mesmo, independentemente da forma da curva fechada, desde que ela envolva o ponto. Em resumo, 13

14 Consideremos agora a integral Se Caso contrário, chamando Consideremos agora a integral Se utilizarmos o ramo principal. Note que para, há um corte no semi-eixo real negativo, onde a função ramificada não é nem sequer contínua quanto mais analítica o Teorema de Cauchy não pode ser aplicado. Por outro lado, a integral pelo Teorema de Cauchy. A Fórmula Integral de Cauchy Se é analítica no interior e sobre uma curva, e se o ponto está no interior de, então A expressão acima é conhecida como a Fórmula Integral de Cauchy. 14

15 Demonstração: Vemos que o integrando só tem singularidade em posto que, por hipótese é analítica. Qualquer que seja a forma curva fechada (percorrida no sentido anti-horário), sempre podemos deformá-la até se transformar numa circunferência de raio (percorrida no sentido horário), arbitrariamente pequeno, em torno de (usando a idéia dos canais ). Mas, Como onde. Como é contínua (é até mais que isso, analítica) na circunferência de raio R, então para R suficiente e arbitrariamente pequeno teremos ou seja, vale a fórmula integral de Cauchy Se derivarmos a expressão acima n vezes teremos Seja uma série qualquer Séries de Números Complexos Ela será convergente se for finito. Dizemos que a série é absolutamente convergente se Claro, toda série que é absolutamente convergente converge. 15

16 Muitas vezes pode ser difícil provar se uma série converge ou não. Três testes são bastante úteis: 1) Teste da Comparação Se converge então converge absolutamente. 2) Teste da Razão Se para suficientemente grande então converge (diverge) absolutamente. 3) Teste da Raiz Se para suficientemente grande então converge (diverge) absolutamente. 4) Teste do n-ésimo termo Se não tende a zero então a série diverge. A série geométrica Pelo teste da razão vemos que a série converge para e diverge para. Quando temos o raio de convergência da série. Pelo teste do n- ésimo termo concluímos que a série diverge em. Para a série geométrica pode ser somada, pois O 2º. termo do 2º. membro da eq. (4) tem, para constante e o numerador indo a zero com. Logo,, o denominador Fazendo, temos 16

17 Série de funções A soma parcial define uma sequência de funções. Dizemos que essa sequência converge uniformemente se existe tal que, para, existe tal que Série de Taylor Toda função analítica em potências pode ser desenvolvida em uma série de chamada de série de Taylor, válida em uma certa vizinhança do ponto coeficientes de Taylor dados por e Demonstração: Seja uma circunferência, centrada em, e raio arbitrariamente pequeno onde é analítica. Seja um ponto qualquer interior a. Pela fórmula integral de Cauchy, temos Podemos reescrever Substituindo em (5), temos Portanto, onde 17

18 Série de Laurent Toda função analítica num anel pode ser desenvolvida em Série de Laurent com Demonstração Seja analítica no anel. Podemos percorrer o anel em 2 circunferências (anti-horário) e (horário) de maneira que, usando os canais que ligam, a curva resultante será fechada e o ponto está no seu interior (veja figura) Como as integrais sobre os canais se anulam, da integral fechada envolvendo só sobrevivem 2 integrais Para a primeira integral temos, como na série de Taylor, Logo, Para a segunda integral temos, 18

19 Mas, Logo Fazendo a integral anti-horária (trocando o sinal) e renomeando Somando (6) e (7) teremos Com Q.E.D A parte da série de Laurent com é chamada parte principal. é chamada parte regular e a parte com Uma função pode ter diferentes séries de Laurent para diferentes regiões. Vejamos um exemplo: Ela não é analítica em 2 pontos e. na região, teremos na região, teremos 19

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