Capítulo 3 Equações Diferenciais. O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, )

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1 Capítulo 3 Equações Diferenciais O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, ) Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação não homogênea Claro, na divisão por especial. os zeros dessa função terão papel e tratamento À equação (1) temos associada a equação homogênea A linearidade da equação acima tem uma propriedade fundamental - o Princípio da Superposição: se duas funções linearmente independentes, e são soluções de (2) então, qualquer combinação linear será também solução de (2), isto é, a função satisfaz identicamente a equação (2). Chamamos de funções linearmente independentes, duas funções que satisfazem e em outras palavras, não podemos escrever. Se fosse possível escrever as 2 soluções seriam linearmente dependentes e teríamos o sistema de equações diferenciais ( ) cuja solução é 1

2 Definimos o Wonskiano de 2 funções e da equação (5) vemos que se e são linearmente independentes então, O Wronskiano da equação homogênea (2) pode ser obtido simplesmente a partir da função. Senão, vejamos. Substituindo as soluções e, temos Multiplicando (6a) por, (6b) por e subtraindo (6a) de (6b) teremos ou Integrando (7) e incorporando a constante de integração onde é o valor de calculado num valor arbitrariamente escolhido. Para 2 funções linearmente independentes, consequentemente. A solução geral da homogênea (3), será a combinação linear das 2 soluções linearmente independentes As constantes e são determinadas pelas condições iniciais em Vamos agora demonstrar que se conhecemos uma solução da homogênea, então, a segunda solução linearmente independente,, pode ser obtida a partir do conhecimento de. Essa técnica é batizada de Método da Variação das Constantes. 2

3 Método da Variação das Constantes Vamos supor, onde é uma função inicialmente desconhecida. Derivando uma e duas vezes teremos Substituindo (9a) e (9b) em (6b), temos ou, por hipótese, o 1º. termo entre colchetes em (10) é nulo. Logo, Integrando a equação acima Ou seja, Portanto, obtivemos a função Solução da Não Homogênea A equação não homogênea para tem como solução geral, a soma da solução geral da homogênea uma solução particular da não homogênea com com 3

4 A solução particular solução da homogênea também é conhecida como integral particular e a é também chamada de função complementar. Obs. As soluções independentes da homogênea, menos de uma constante multiplicativa arbitrária! ( ), são obtidas a Podemos, novamente, utilizar o Método da Variação das Constantes para obter a solução particular da não homogênea. onde e são 2 funções arbitrárias a serem determinadas. Derivando (14) Podemos impor que ( e são 2 funções arbitrárias) Então Derivando mais uma vez (17) Substituindo (14), (17), (18) em (12), temos Colocando e em evidência Como os termos entre colchetes se anulam, teremos o sistema linear de 2 equações para 4

5 cuja solução é. Portanto, Resumindo, basta apenas determinar uma solução da homogênea que a 2ª. solução independente e a solução particular da não homogênea podem ser obtidas. O Método de Frobenius (Ferdinand Georg Frobenius, alemão, ) As soluções da equação homogênea, em geral, podem ser obtidas utilizando a expansão de Frobenius (Laurent) em torno da origem ou Frobenius Generalizado Observe que sempre podemos escolher, já que os números racionais serão obtidos para serem solução da equação homogênea (20). Mais forte ainda, temos sempre que assumir. Se na origem,, as funções forem analíticas então a origem é chamada de ponto ordinário, caso contrário, ponto singular. Há 2 tipos de pontos singulares: regular e irregular. Chamamos a origem de ponto singular regular se a função tem, no máximo, um polo simples na origem e a função tem, no máximo, um polo de ordem 2 na origem, isto é, Os métodos de Frobenius e Frobenius Generalizado sempre funcionarão quando as condições acima estiverem satisfeitas e podem funcionar ou não, caso contrário. 5

6 Exemplo 1: A Equação de Bessel de ordem - funções esféricas de Bessel Analisaremos o caso, Bessel esférica de ordem 1. Vamos tentar o Frobenius padrão Substituindo em (24), temos Ou, coletando termos de mesma potência Simplificando, A equação (26) pode ser reescrita, explicitando os 2 primeiros termos da 1ª série, rerotulando os restantes e juntando-os com a 2ª. série O primeiro termo de (27) é chamado de equação indicial. Como termo tem que ser igual a zero para qualquer, teremos e o O segundo termo de (27) também tem que se anular para qualquer. Se substituirmos, obtemos. Se substituirmos, obtemos. 6

7 Logo, em ambos os casos, O último termo de (27) se anula para todo Ou, gera a assim chamada fórmula de recorrência Escolhendo, temos Para os índices pares, teremos Como. Toda a série ímpar se anula. Logo, para, temos uma solução em série de Frobenius Que, obviamente, tem um polo de ordem 2 na origem. Note que função par. é uma Escolhendo, (como é outra série com outro valor de, utilizaremos coeficientes de Frobenius ) temos Para os índices pares, teremos 7

8 Como. Toda a série ímpar se anula. Logo, para, temos uma segunda solução em série de Frobenius Que, obviamente, tem um zero de ordem 1 na origem. Note que função ímpar. é uma Portanto, a solução geral de (24) tem expansão em série de Frobenius Se fizermos, a função pode ser escrita Se fizermos, a função pode ser escrita Exemplo 2: A Equação de Bessel de ordem funções cilíndricas de Bessel Analisaremos o caso, Bessel esférica de ordem. Vamos tentar o Frobenius padrão 8

9 Substituindo em (31) Procedendo de maneira análoga ao exemplo 1, teremos A equação indicial fornece e. Substituindo esses valores no 2º. termo concluímos que se e se. Começaremos por. A fórmula de recorrência fica Série par: Logo a série par fica Série ímpar: Logo a série ímpar fica 9

10 Ambas têm um ponto de ramificação na origem. A solução geral é, portanto, Se tivéssemos escolhido, teríamos, e a fórmula de recorrência e Ou seja, De modo que, não é uma nova solução (e nem poderia, senão a eq. de 2ª. ordem teria 3 soluções L.I.). Esse resultado é válido sempre: Se a equação indicial gera 2 soluções que diferem por um número inteiro, então a solução com o menor valor de já é a solução geral. Obviamente, a solução geral (35) pode ser reescrita Onde são constantes e são as funções de Bessel de ordem, respectivamente. Exemplo 3: A equação diferencial de Legendre A série de Fourier, fornece 10

11 A equação indicial nos dá Para o 2º termo temos. Escolhendo, o valor de é arbitrário. A equação de recorrência é A série de Frobenius gerada a partir de (39) converge? Pelo teste da razão, devemos ter. Para suficientemente grande isso é sempre verdade para, mas para a série diverge. Existe, porém, uma solução finita para qualquer, basta que. Em geral, condições físicas exigem que a solução seja analítica em. Como a recorrência morre quando, como, o resultado será um Polinômio de grau!! Esse polinômio é chamado de Polinômio de Legendre,. Eles são obtidos de Usualmente, eles são escolhidos de sorte que. Obs.: uma vez fixado o valor de, a série par será polinomial se for par e a série ímpar será não polinomial e vice-versa. A série não polinomial corresponde à solução L.I. da equação de Legendre,, chamada de função de Legendre de 2ª. espécie. Abaixo, listamos os primeiros polinômios de Legendre Observe que a paridade do polinômio de Legendre depende de 11

12 As funções de Legendre de 2ª. espécie, (que convergem para, mas divergem para ) podem ser obtidas da equação de Legendre via método da variação das constantes As primeiras funções de Legendre de 2ª. espécie são Observe que a paridade de é dada por Exemplo 4: A Equação de Bessel de ordem indicial - A raiz dupla na equação Substituindo a série Frobenius, temos Simplificando, Ou, Donde, temos uma única raiz dupla e 12

13 A fórmula de recorrência fica Portanto, o Frobenius usual só fornece uma única solução, a série par onde é a função de Bessel de ordem zero Falta a 2ª. solução L.I. Vamos tentar Frobenius generalizado Substituindo essas expressões em (40) temos O termo entre colchetes é nulo (sumindo com o logaritmo), 2 termos se cancelam e o resultado final é uma equação não homogênea Simplificando, Ou, 13

14 Mas, os coeficientes podem facilmente ser obtidos. Voltando à (43), temos (44) Donde, ; ; ; ; A fórmula de recorrência fica Exemplo 5: A Equação de Euler Raízes complexas da equação indicial Seja a equação de Euler A série de Frobenius, fornece Ou, A equação indicial é. Obviamente,. Então, Mas. Escolhendo o ramo principal. Para real. Escrevendo 14

15 Exemplo 6: A Equação de Bessel de ordem - Raízes diferem por inteiro Substituindo a série Frobenius, os 2 primeiros termos são a equação indicial e e fórmula de recorrência Desse modo em ambos os casos. As 2 raízes, fornecem e respectivamente. A equação (49 a) para explode e não pode ser utilizada. A equação (49 b) não tem problema e gera a Função de Bessel de ordem 1. Para obter a 2ª. solução, vamos usar Frobenius generalizado Que substituída em (47) nos dá Mas que substituída em (51) fornece Simplificando, 15

16 Da equação indicial de (52) vemos que. Se escolhêssemos, o 1º. termo zeraria e os próximos termos seriam e nunca seria possível igualar com o 2º. membro de (52) que começa com. Logo, escolhemos. Isso implica que e que Exemplo 7: Fórmula de recorrência de 3 termos Substituindo a série Frobenius teremos A equação indicial é com soluções e. A equação seguinte é. Portanto, escolhendo, teremos com valor arbitrário. Para os 2 primeiros termos de (55), temos ( ) Ou, Para a situação com todos os 3 termos, fazemos ( ) no 1º. termo e( ) no 2º. termo de (55) Ou, Portanto, a solução geral será 16

17 Resumo: Se a equação indicial tem 1) Duas Raízes Distintas Cada uma delas fornece uma solução L.I. da equação diferencial homogênea. 2) Duas Raízes Distintas que diferem por um inteiro a) A menor raiz fornece a solução geral. b) A menor raiz fornece não fornece solução (coeficientes infinitos), a maior raiz fornece uma única solução e Frobenius Generalizado fornece a 2ª. solução L.I. 3) Raiz Dupla Frobenius fornece uma única solução e Frobenius Generalizado fornece a 2ª. solução L.I. Outros Métodos 1) Expansão em torno do infinito: A equação diferencial fica, Chamando e temos Exemplo: Reescrevendo 17

18 Pelos critérios discutidos tem um polo simples e um polo de ordem 4 na origem. Usando e as expressões acima temos Com soluções 2) Mudança da Variável Dependente Se mudarmos da função para a função através da equação, onde está à nossa disposição. A equação diferencial Pode ser reescrita a) Podemos impor Donde b) A equação diferencial Descreve um oscilador harmônico quântico unidimensional. Para, ele recai no exemplo 7 discutido acima, com solução. Chamando Obtemos Cuja solução leva aos Polinômios de Hermite 18

19 3) Mudança da Variável Independente Definindo uma nova variável, uma função arbitrária de, teremos, E a equação fica Exemplo: na equação de Euler, se substituirmos, temos Com solução 19