Efeitos da filtragem sobre sinais de onda quadrada

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1 Efeitos da filtragem sobre sinais de onda quadrada Autores: Pedro Rodrigues e André F. Kohn Introdução O texto a seguir ilustra efeitos que diferentes sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) podem ter sobre uma onda quadrada. Um exemplo real de tal tipo de situação seria pensar em um fluxo de bits 1, 0, 1, 0, 1, etc., e considerar que este tipo de sinal seria passado por um sistema de transmissão de sinais até um receptor remoto. Este sistema nos exemplos abaixo será modelado como um sistema linear invariante no tempo (SLIT). Nos exemplos a seguir, consideraremos 4 tipos de sistemas : um sistema de primeira ordem, um filtro do tipo Butterworth, outro do tipo Elíptico e outro do tipo Bessel. Todos estes filtros serão passa-baixa e terão frequências de corte escolhidas de modo a terem módulos da resposta em frequência aproximadamente semelhantes na banda de passagem. Com tais exemplos, esperamos mostrar como diferentes características da resposta em frequência de um SLIT podem determinar o formato do sinal no tempo à saída do sistema, bem como seu respectivo espectro. Vale dizer que sistemas físicos da vida real, como cabos Ethernet, pares trançados da rede de telefonia ou trilhas de cobre em placas de circuito impressos, podem ser modelados via equações diferenciais e terem suas respostas em frequência determinadas. Deste modo, embora os exemplos mostrados aqui se restrinjam a sistemas relativamente simples, com parâmetros escolhidos sem uma inspiração direta do mundo real, as considerações a respeito da diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída podem ser extrapoladas para o caso de transmissões de dados em sistemas como os mencionados acima. Revisão teórica O sinal de entrada que consideraremos será geralmente uma onda quadrada s(t) com período T0, amplitude A e simetria ímpar. Neste caso, os coeficientes ck da série de Fourier de s(t) podem ser calculados a partir das fórmulas disponíveis no Capítulo 3 da apostila de Sistemas e Sinais. Quando s(t) é usado como entrada de um SLIT, cada uma das exponenciais complexas da SF de s(t) é afetada pela resposta em frequência H(j ) do sistema, gerando, então, um novo sinal chamado y(t) com coeficientes dk. De forma analítica, temos:

2 Exemplos de filtros analógicos Os quatro sistemas usados nos exemplos foram: Filtro de 1a ordem com frequência de corte 200 MHz e ganho DC unitário Filtro Butterworth passa-baixas de ordem 4 e frequência de corte 200 MHz. Este filtro apresenta uma curva de ganho (módulo da resposta em frequência) que é bem plana e suave na faixa de passagem. Filtro Elíptico passa-baixas de ordem 4, com 0.5 db de ripple pico a pico na faixa de passagem, 20 db de atenuação mínima na faixa de rejeição e frequência de corte 200 MHz. Este filtro tem uma transição bem abrupta entre a faixa de passagem e a faixa de rejeição. Filtro Bessel passa-baixas de ordem 16 e frequência de corte 400 MHz (a ordem deste filtro foi tomada muito grande pois o módulo de sua resposta em frequência decai muito mais lentamente do que dos demais tipos de filtros). Este filtro apresenta uma curva de defasagem da resposta em frequência que aproxima muito bem uma reta passando pela origem (em uma certa faixa de frequência). A figura abaixo compara os gráficos de módulo (em db) e defasagem da resposta em frequência de cada sistema. Note que a curva de defasagem do filtro elíptico apresenta um salto de π pois a parte real da resposta em frequência se anula em uma dada frequência (perto de 350 Hz na figura) e se torna negativa para frequências maiores. Figura 1: Gráficos da resposta em frequência dos diferentes tipos de filtro usados nos exemplos.

3 Comparações de entrada e saída em filtros analógicos Feita a revisão teórica da série de Fourier de ondas quadradas e a devida apresentação das respostas em frequência dos filtros considerados, podemos comparar a saídas y(t) de cada sistema com diferentes valores da frequência fundamental. Nas Figuras 2 e 3, vemos a diferença entre os sinais de entrada e saída para cada tipo de SLIT quando ondas quadradas com frequências fundamentais de 30 MHz e de 150 MHz são usadas como entrada em filtros com frequência de corte em 200 MHz. No primeiro caso (fundamental a 30 MHz), nota-se que as saídas preservam uma forma bastante próxima daquela do sinal de entrada, embora alguns dos sinais apresentem pequenas oscilações (particularmente no caso dos filtros Butterworth e Elíptico). Com a frequência fundamental de s(t) sendo 30 MHz, pode-se esperar que apenas os 6 primeiros harmônicos do sinal de entrada saiam praticamente sem alterações do filtro no que tange o módulo espectral. Portanto, deste ponto de vista uma das origens das oscilações observadas em alguns dos sinais seja por conta da atenuação das componentes da série de Fourier de s(t) com frequências superiores a 200 MHz, isto é, oscilações em 210 MHz, 240 MHz, etc. Com esta atenuação, ocorre uma espécie de desbalanço na soma final de cossenos do sinal, que pode contribuir com pequenas oscilações nas regiões em que a onda deveria ser constante. Por outro lado, as curvas de defasagem são uma outra causa importante de distorção nos sinais de saída. Vide a seção 2.13 da apostila do Capítulo 2 da matéria sobre transmissão sem distorção de sinais. Por exemplo, na Fig. 2 vemos que o sinal de saída do filtro de Bessel não apresenta ondulações, o que pode ser atribuído à curva de defasagem que aproxima bem uma reta passando pela origem do eixo de frequências. Por outro lado, a curva de defasagem do filtro elíptico é muito diferente de uma reta passando pela origem, e pode-se esperar maiores distorções de fase no sinal de saída. As diferenças nas formas de onda de y(t) para cada exemplo de SLIT apresentado estão associadas basicamente às diferenças nas suas respostas em frequência em módulo e defasagem, em função da identidade.

4 Figura 2: Saídas dos SLITs para entrada com onda quadrada em frequência 30 MHz. Em cinza o sinal de entrada e em preto a saída do filtro. No segundo exemplo, em que os sinais de entrada têm frequência fundamental 150 MHz, nota-se uma diferença significativa nas ondas na saída de cada filtro em relação à entrada. Ora, se os filtros considerados têm frequência de corte em 200 MHz, apenas a frequência fundamental de cada s(t) sai sem atenuação, com todas os outros harmônicos sofrendo atenuações e defasagens importantes. Note que, exceto para o sistema de primeira ordem, a saída é praticamente uma senóide. Figura 3: Saídas dos SLITs para entrada com onda quadrada em frequência 150 MHz. Em cinza a entrada e em preto a saída do filtro.

5 Por fim, consideremos o caso específico de uma onda quadrada com frequência fundamental 50 MHz passando por um filtro Butterworth com frequência de corte em 200 MHz. A Figura 4 compara o sinal de entrada com o sinal de saída, sendo possível notar algumas diferenças entre os sinais. Se pensarmos que se trata da transmissão de uma sequência o sinal de saída com certeza permite que se recupere sem erro a informação transmitida através do sistema (representado por um filtro Butterworth neste exemplo). Figura 4: Comparação entrada-saída para um filtro Butterworth com frequência de corte em 200 MHz. A entrada é uma onda quadrada com frequência fundamental 50 MHz. Em cinza a entrada e em preto a saída do filtro. A Figura 5 compara os módulos dos coeficientes ck de s(t) e dk de y(t). Seguindo o mesmo raciocínio de antes, para um sinal de onda quadrada com frequência fundamental 50 MHz passando por um filtro com frequência de corte 200 MHz, pode-se esperar que apenas o primeiro e terceiro harmônicos (o segundo é sempre nulo) saiam sem alterações do filtro. É exatamente isto que vemos na Figura 5, em que e. Figura 5: Comparação dos módulos dos coeficientes dos sinais de entrda e saída quando usamos o filtro Butterworth com frequência de corte em 200 MHz.

6 Filtrando a componente DC Considere agora que usemos um filtro elíptico com características semelhantes às dos exemplos anteriores, mas com comportamento passa-banda, em que a frequência de corte inferior é 10 MHz e a superior é 200 MHz. Neste caso, se colocarmos um sinal de onda quadrada s(t) com frequência fundamental 50 MHz na entrada do filtro, a saída y(t) será uma versão filtrada contendo uma predominância da fundamental e terceira harmônica do sinal de entrada, com nível DC praticamente nulo (associado ao coeficiente d0). As Figuras 6 e 7 mostram os resultados. Figura 6: Comparação dos sinais de entrada e saída em um filtro elíptico passa banda. O sinal de entrada está representado em cinza e tem frequência fundamental 50 MHz. Figura 7: Comparação dos módulos dos coeficientes dos sinais de entrada e saída quando usamos o filtro Elíptico passabandas com frequências de corte em 10 MHz e 200 MHz. Exemplo de sequência binária aleatória Visando mimetizar melhor o que poderia sair de um computador, mostramos abaixo como uma sequência aleatória de bits 1 e 0 apareceria na saída de um sistema representado por um filtro Butterworth. Veja resultados nas

7 Figs 8 e 9. Na Fig. 8, a fundamental está em 50 MHz enquanto na Fig. 9 está em 100 MHz, em ambos os casos o filtro estando com corte em 200 MHz. Note que em ambos os casos, mesmo com sinal de saída bastante distorcido (Fig. 9) seria possível com eletrônica apropriada recuperar a sequência de bits transmitida. Figura 8: Comparação entre os sinais de entrada e saída num filtro Butterworth com frequência de corte em 200 MHz. O sinal de cima é uma onda quadrada determinística ao passo que o sinal de baixo retrata uma sequência aleatória de bits enviados no tempo. Ambos os sinais têm frequência fundamental 50 MHz Figura 9: Sinais nas mesmas condições da Figura 8 mas com frequência fundamental 100 MHz

8 Considerações finais Os exemplos deste texto serviram para dar uma visão geral sobre possíveis distorções que sinais digitais podem sofrer ao passar por diferentes tipos de sistemas lineares invariantes no tempo. Há alterações no formato do sinal de saída que são mais fortes em associação ao módulo do espectro do sinal de saída (ou seja, o módulo da resposta em frequência tem efeito substancial) e outras alterações que são mais afetadas pela curva de defasagem do sistema, ou seja, afetam fortemente as fases espectrais do sinal de saída. Em situações reais, há complicações adicionais, pois podem ser utilizados métodos de modulação e há ruído em sistemas de transmissão de sinais.

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