Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 1

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1 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Os estados de um sistema podem ser definidos como o conjunto mínimo de sinais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema. Sendo assim, dado o valor dos estados em um instante n 0 (ou t 0 ) e a entrada para n n 0 (ou t t 0 ), pode-se determinar os valores de todos os estados para n n 0 (ou t t 0 ). Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

2 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado A descrição por variáveis de estado para um sistema LTI consiste em uma série de equações diferenciais ou de diferenças de primeira ordem que descrevem como os estados do sistema e a entrada se relacionam, e uma equação que descreve a saída do sistema como função das variáveis de estado e de entrada do sistema no instante atual. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

3 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 3

4 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 4

5 Para o sistema de tempo discreto representado pelo diagrama de blocos abaixo, obter a representação por variáveis de estado. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 5

6 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Admitindo como estados do sistema os sinais de saída de cada elemento de deslocamento no tempo, q [n] e q [n]. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 6

7 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Representação do sistema na forma matricial de equações de estado. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 7

8 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 8

9 Exemplo.: Para o sistema de tempo discreto representado pelo diagrama de blocos abaixo, obter a representação por variáveis de estado. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 9

10 Exercício.5: Encontre a descrição por variáveis de estado correspondente ao diagrama de blocos apresentado a seguir. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 0

11 Para sistemas de tempo contínuo, a forma de representação por variáveis de estado é análoga àquela de tempo discreto, e é representada na forma Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

12 Para o circuito elétrico apresentado a seguir obter a representação por variáveis de estado. Após obter esta representação, obter o diagrama de blocos equivalente. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

13 Para o circuito elétrico apresentado a seguir obter a representação por variáveis de estado. Após obter esta representação, obter o diagrama de blocos equivalente. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 3

14 Transformação de Estados Suponha que um mesmo sistema possa ser descrito por um outro conjunto de variáveis de estado tal que Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 4

15 Exemplo.4: Um sistema LTI de tempo discreto é representado pelas seguintes matrizes: Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 5

16 Admitindo que este sistema vai ser representado por novos estados determinar as matrizes. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 6

17 Exercício.: Um sistema LTI de tempo contínuo é descrito pelas seguintes matrizes: Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 7

18 Admitindo que este sistema vai ser representado por novos estados determinar as matrizes. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 8

19 Para os dois circuitos elétricos anteriores, determinar as matrizes de transformação de similaridade T, de forma que as novas variáveis de estado sejam as cargas nos capacitores e os fluxos nos indutores. Obter as novas realizações na forma de espaço de estados. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 9

20 Exercícios: Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 0

21 Hipóteses: Relação Linear Vazões Q (t) e Q (t) Alturas das colunas de líquido H (t) e H (t) R e R resistências ao fluxo A e A áreas uniformes Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

22 Equações fundamentais do processo: Q (t) H (t) R H (t) Q (t) H R (t) Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados

23 Equações dinâmicas do processo: A dh dt (t) Q (t) i H (t) - H R (t) A dh dt (t) H (t) - H R (t) H R (t) Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 3

24 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 4 Sistemas e Sinais Mostre que a equação diferencial homogênea de ordem n: 0 n n n n n n d y d y dy a a a y dt dt dt x a. a a a x n n n Pode ser representada na forma de espaço de estados por:

25 Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 5 Sistemas e Sinais Determine a representação na forma de espaço de estados do seguinte sistema multivariável: u d u b y a y a y c y c y u d b u y c y c y a y a y

26 A partir dos diagramas de fluxo, obter as representações por variáveis de estados. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 6

27 A partir dos diagramas de fluxo, obter as representações por variáveis de estados. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 7

28 A partir dos diagramas de fluxo, obter as representações por variáveis de estados. Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 8

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