Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

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1 Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com

2 Conteúdo da unidade Introdução Definição da Transformada de Laplace Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Função de Transferência Conceito de pólos e zeros Estabilidade de sistemas Sistemas com atraso de transporte Análise da resposta transitória Análise da resposta em regime permanente Resposta em frequência e Diagrama de Bode Aulas 1 e 2 Aula 3 Aula 4 Aulas 5 e 6 2

3 Aula 1 Introdução Definição da Transformada de Laplace Condição de existência da Transformada de Laplace Transformada de Laplace de funções do tempo Propriedades Teoremas Quadro de Transformadas de Laplace Quadro de Propriedades e Teoremas 3

4 Introdução Marquis Pierre Simon de Laplace Francês ( ) Contemporâneo de Lagrande e Fourrier Astrônomo e matemático Estudou a aplicação das Leis de Newton da gravitação ao sistema solar Pesquisou a Teoria da Probabilidade Origem da Transformada de Laplace Oliver Heaviside (Inglês, ) empregou a Transformada de Laplace na solução de equações diferenciais O que nós sabemos não é muito. O que nós não sabemos é imenso. (Laplace) 4

5 Introdução Transformada de Laplace Método empregado na solução de equações diferenciais lineares Resposta transitória Resposta em regime permanente Funções no domínio t Polinômios no domínio s Derivação e integração em t Operações algébricas no domínio s Métodos gráficos Prever o desempenho do sistema sem resolver as equações diferenciais 5

6 Definição Sejam f(t) = uma função da variável t tal que f(t) = para t < s = uma variável complexa s σ jω Definição st Lf t F s f t e dt 6

7 Condição de existência Exigência: A integral de Laplace deve convergir f t e st Condições de convergência f(t) deve ser seccionalmente contínua em todo o intervalo de tempo finito na faixa t > f(t) deve ser de ordem exponencial quando t tende ao infinito f(t) éde ordem exponencial se existir um número real positivo σ tal que dt lim e t σt f t 7

8 Condição de existência Ou seja A função f(t) deve apresentar uma taxa de crescimento inferior à parcela exponencial da integral de Laplace Abscissa de convergência Valor limite σ = σ c para o qual lim σt e f t, σ σ t lim σt e f t, σ σ t c c 8

9 Condição de existência Exemplo: f(t) = A e αt σ α t lim σt σt αt e f t lim e Ae Alim e t t t σ α σ α σ c α f(t) A = 1 α = σ c =,5 σ = σ c /2 f(t) A = 1 α = σ c =,5 σ = 2σ c Tempo (s) Tempo (s) 9

10 Condição de existência Funções do tipo t, sen ωt, t sen ωt σ c = Funções do tipo e ct, t e ct, e ct sen ωt σ c = c Funções do tipo e t², t e t² Não possuem Tranf. de Laplace OBS f t 2 t e, para tt, para t, tt Possui Transformada de Laplace Todos sinais que podem ser gerados fisicamente possuem Transformada de Laplace 1

11 Aplicação a funções do tempo Função exponencial Sejam A e α constantes f t Transformada de Laplace αt αt st, para t αt Ae, para t αst LAe Ae e dt A e dt αt A L Ae s α 11

12 Aplicação a funções do tempo Função degrau Seja A constante f t, para t A, para t Transformada de Laplace st st LA L A Ae dt A e dt A s Observar que éum caso particular da função exponencial, com α = A função degrau não é definida para t = A função degrau unitário f(t) = 1(t) éum caso particular, onde A = 1 12

13 Aplicação a funções do tempo Função rampa Seja A constante f t, para t At, para t Transformada de Laplace st st st e Ae A st L At Ate dt At dt e dt s s s 2 LAt A s 13

14 Aplicação a funções do tempo Função senoidal Sejam A e ω constantes f t, para t Asen ωt, para t Transformada de Laplace jωt jωt e e st A 1 1 LAsenωt A e dt j j s jω s jω 2 2 A s j ω s j ω Aω LAsenωt j s jωs jω s ω 14

15 Aplicação a funções do tempo Função cossenoidal Sejam A e ω constantes f t, para t Acos ωt, para t Transformada de Laplace As LAcosωt 2 2 s ω 15

16 Aplicação a funções do tempo Função transladada Seja α constante f t f t α t α

17 Aplicação a funções do tempo Transformada de Laplace 1 1 Como f(t) = para t <, então f(τ) = para τ < Mudança do limite de integração st Lf t α t α A f t α t α e dt t τ α τ t α t τ s τα s τα s τα A f τ 1 τ e dτ A f τ 1 τ e dτ A f τ e dτ α sα sτ αs Ae f τ e dτ L f t α 1 t α e F s, α 17

18 Aplicação a funções do tempo Função pulso retangular Sejam A e t constantes f t A, para t t, para, Transformada de Laplace A A st A A LftA 1t 1tte dtl 1tL 1tt t t t t Lf t A ts st 1e t t t t 18

19 Aplicação a funções do tempo Função impulso Caso limite da função pulso retangular t gt A lim, para t t, para, Observar que a área A sob o impulso permanece a mesma Transformada de Laplace (regra de L Hopital) t t t t A st Lgt lim 1 e ts t L g t A 19

20 Aplicação a funções do tempo A função Delta de Dirac ou impulso unitário éum caso particular da função impulso, quando A = 1 Muito útil na descrição de funções descontínuas δ t, para, para t t t t t δ t t dt 1 Pode ser obtida a partir da derivação da função degrau unitário d δ t t t t dt 1 2

21 Propriedades Multiplicação por constante L A f t ALf t Propriedade distributiva L f t f t Lf t Lf t

22 Propriedades Multiplicação de f(t) por e at Descolamento na frequência αt αt st sα t Le f t e f t e dt f t e dt αt L e f t F s α Exemplo αt L e senωt F s α ω 2 2 s α ω 22

23 Propriedades Mudança de escala de tempo t é substituído por t/α, onde α éuma constante positiva t t st Lf f e dt α α t t1 α αs s t Lf f t e d αt α f t e dt αf s α st 1 1 st Lf t α αf αs Expansão no tempo equivale a compreensão na frequência, e vice-versa 23

24 Propriedades Exemplo Seja a função t 1 LftL e Fs s 1 A mudança na escala de tempo por um fator 5 resulta t t 5 L f Le 5 5F5s 5 5s 1 24

25 Propriedades Limite inferior da Transformada Em alguns casos, f(t) possui uma função impulso em t = Logo, o limite inferior da integral de Laplace deve ser claramente especificado se diz respeito a ou a + st L f t f t e dt st st Lf t f t e dt f t e dt Lf t Obviamente, se f(t) não possuir impulso em t = L f t Lf t 25

26 Teoremas Teorema da derivação real A Transformada de Laplace da derivada de uma função é Prova d L f t sf s f dt Resolvendo a integral de Laplace por partes, tem se st st st e d e F s f t e dt f t f t dt s dt s f 1 d d Fs L f t L f t sf s f s s dt dt 26

27 Teoremas Derivada de segunda ordem 2 d L f t s F s sf f 2 dt 2 Pode ser estendido à derivada de ordem n OBS Em controle, diz se que o sistema encontra se relaxado Logo, todas as condições iniciais são nulas 27

28 Teoremas Teorema do valor final Se f(t) e df(t)/dt forem transformáveis por Laplace e se lim f t existir (convergir para algum valor), então t lim t f t lim s sf s O teorema do valor final relaciona o comportamento de regime estacionário (permanente) de f(t) ao comportamento de sf(s) nas vizinhanças de s = 28

29 Teoremas Prova Tomando o limite quando s tende a zero na equação da Transformada de Laplace da derivada de f(t) d lim f t e dt lim sf s f lim sf s f s dt s s Mas lim lim s e st st 1, logo d d f t e dt f t dt f t f f dt dt st lim s s A partir daí resulta f lim f t lim sf s t s 29

30 Teoremas Teorema do valor inicial Se f(t) e df(t)/dt forem transformáveis por Laplace e se lim sf s existir, então s f lim sfs s Através deste teorema é possível obter o valor de f(t) em + diretamente a partir da Transformada de Laplace de f(t) 3

31 Teoremas Teorema da integração real Se f(t) éde ordem exponencial, então a transformada de ftdt existe e édada por F s L ftdt s 1 f s Onde 1 F s Lf t e f f t dt para t A integração no domínio do tempo éconvertida em divisão no domínio s 31

32 Quadro de Transformadas 32

33 Quadro de Transformadas (Continuação) 33

34 Quadro de Transformadas (Continuação) 34

35 Quadro de Transformadas (Continuação) 35

36 Quadro de Transformadas (Continuação) 36

37 Quadro de Transformadas (Continuação) 37

38 Quadro de Propriedades e Teoremas 38

39 Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação) 39

40 Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação) 4

41 Bibliografia [1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 2. [2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier,