Processamento Digital de Sinais - ENG420

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1 Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 24 de setembro de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

2 1 Transformada Z - Conceito 2 Transformada Z - Propriedades 3 Transformada Z - Equação a Diferenças Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

3 Transformada de Fourier Transformada de Fourier - Vantagem Análise direta do espectro (componentes de freqüência) do sinal discreto; Transformada de Fourier - Desvantagem Não é adequado ao projeto de Filtros e Controladores Digitais Existem muitos sinais e sistemas discretos cuja transformada de Fourier não existe. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

4 Transformada Z A Transformada de Fourier para sinais/sistemas discretos é um caso específico da Transformada Z. X (z) = x[n]z n n= X (z) = X d (ω) z=e jω Critério de convergência das Transformadas de Fourier e Z. x[n] < n= x[n] r n < n= A convergência depende também dos valores de r, ou seja do z. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

5 Região de Convergência - ROC Qual o intervalo de valores de r que garante a convergência da Transformada Z? Exemplo: Determinar a Transformada Z e a região de convergência (ROC) do degrau unitário u[n]. X (z) = = X (z) = n= n=0 z n z z 1 u[n]z n (1) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

6 Região de Convergência n= u[n]z n < Im ROC r n e jωn < n=0 Re n=0 ( ) 1 n < r circunferência unitária Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

7 Função Racional X (z) = (z z 1)(z z 2 )... (z z M ) (z z p1 )(z z p2 )... (z z pn ) z i, i-ésimo zero de X (z), ou seja, as raízes do polinômio do numerador N(z). z p,i, i-ésimo pólo de X (z), ou seja, as raízes do polinômio do denominador D(z). Exercício Determine a Transformada Z do sinal x[n] = a n u[n] E os pólos e zeros? X (z) = a n u[n]z n n= Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

8 Região de Convergência - Propriedades A região de convergência pode ser um disco ou um anel centrado na origem; A região de convergência não contém pólos; Se a região de convergência contém a circunferência unitária (r = 1) existe a transformada de Fourier. A região de convergência pode ser definida a partir do comportamento da função (sinal ou sistema). Para isso, as funções são classificadas como : Sequência Unilateral a Direita; Sequência Unilateral a Esquerda; Sequência Bilateral; Sequência de Duração Finita. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

9 Sequência Unilateral a Direita Sinal de duração ilimitada que progride em direção a valores positivos de n x[n] Direção do sinal 1... n Região de Convergência A região de convergência (ROC) é composta pela área externa ao pólo de maior valor absoluto. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

10 Exemplo 1 Im ROC x[n] = X (z) = ( ) 1 n u[n] 2 z z 1/2 zero O X 1/2 Re pólo circunferência unitária Região de Convergência ROC : r > 1/2 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

11 Sequência Unilateral a Esquerda Sinal de duração ilimitada que progride em direção a valores negativos de n Direção do sinal x[n]... 1 n Região de Convergência A região de convergência (ROC) é composta pela área interna ao pólo de menor valor absoluto. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

12 Exemplo 2 x[n] = (2 n +3 n )u[ n] Im ROC X (z) = 2 5z/6 (1 z/2)(1 z/3) Pólos: p 1 = 2 e p 2 = 3; Zeros: z 1 = 12/5 zero O 12/5 Re X X 2 3 circunferência unitária Região de Convergência ROC : r < 2 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

13 Sequência Bilateral Sinal de duração ilimitada que progride em direção aos valores negativos e positivos de n. Direção do sinal x[n] Direção do sinal n Região de Convergência ROC: p 1 < r < p 2 ; p 1 pólo de maior absoluto que contribui para n > 0; p 2 pólo de menor absoluto que contribui para n < 0. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

14 Exemplo 3 ( x[n] = 1 n ( ) 1 n u[n] u[ n 1] 3) 2 X (z) = 2z(z 1/12) ( ) ( ) z z 1 2 1/12 1/3 X Im O O X ROC 1/2 Re Pólos: p 1 = 1/3 e p 2 = 1/2; Zeros: z 1 = 0 e z 2 = 1/12 circunferência unitária Região de Convergência ROC : 1/2 < r < 1/3 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

15 Sequência de Duração Finita Sinal de duração limitada. x[n] 1... N 1 n Região de Convergência A ROC contém todo plano z, exceto possivelmente em z = 0 e/ou z =. Exemplo 3 x[n] = δ[n], ROC contém todos os valores de z, incluindo z = 0 e z = Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

16 Estabilidade O sistema é estável se n= h[n] < Critério de Estabilidade Um sistema é estável se a ROC contém a circunferência unitária. Um sistema Causal é Estável se todos os pólos estiverem dentro do círculo unitário Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

17 Propriedades da Transformada Z Linearidade Z[x 1 [n]] = X 1 (z), ROC : R 1 Z[x 2 [n]] = X 2 (z), ROC : R 2 Z[α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]] = α 1 X 1 (z) + α 2 X 2 (z), ROC : R 1 R 2 Deslocamento no Tempo Z[x[n]] = X (z), ROC : R x Z[x[n n o ]] = X (z)z no ROC : R x A região de convergência ROC do sinal/sistema com deslocamento é igual a R x, exceto pela inserção ou retirada de z = 0 ou z = Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

18 Propriedades da Transformada Z Deslocamento no Tempo - Exemplo Z[δ[n]] = 1, ROC : z Z[δ[n n o ]] = z no, ROC : z, exceto z = 0 Convolução no Tempo Z[x 1 [n]] = X 1 (z), ROC : R 1 Z[x 2 [n]] = X 2 (z), ROC : R 2 Z[x 1 [n] x 2 [n]] = X 1 (z)x 2 (z), ROC : R 1 R 2 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

19 Relação Equação a Diferenças e Transformada Z Aplicando Transformada Z sobre a Equação a Diferenças [ N ] [ M ] Z a k y[n k] = Z b m x[n m] k=0 N a k Z [y[n k]] = k=0 N a k Y (z)z k = k=0 Função de Transferência H(z) = Y (z) X (z) = m=0 M b m Z [x[n m]] m=0 M b m X (z)z m m=0 M m=0 b mz m N k=0 a kz k Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG de setembro de / 19

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