Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial

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1 Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace uís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace Região de convergência Propriedades da transformada de aplace Sistemas caracterizados por equações diferenciais Estabilidade e causalidade Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de pólos e zeros Diagramas de Bode Sinais e Sistemas p/50 Sinais e Sistemas p2/50 Resposta ao Sinal Exponencial Transformada de aplace Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo ao sinal exponencial complexo: t, x(t) = e jωt y(t) = H( jω)e jωt A transformada de aplace bi-lateral define-se como: s, X(s) = + x(t)e st dt Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial: t, x(t) = e st y(t) = H(s)e st ou seja: x(t) X(s) Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva: s, H(s) = + h(t)e st dt Sinais e Sistemas p3/50 Sinais e Sistemas p4/50

2 Transformada de Fourier A transformada de Fourier: ω, X( jω) = + x(t)e jωt dt É um caso particular da transformada de Fourier para s = jω: X(s) s= jω = X( jω) Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t) = e at u(t) em que a, a > 0 e u(t) é a função escalão unitário s {s Re(s) > a}, X(s) = s + a Sinais e Sistemas p5/50 Sinais e Sistemas p6/50 Região de Convergência Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t) = e at u( t) em que a, a > 0 e u(t) é a função escalão unitário A região de convergência (ROC) da transformada de aplace consiste nos valores de s = σ + jω para os quais o integral da definição converge Plano s Im s {s Re(s) < a}, X(s) = s + a a Re Sinais e Sistemas p7/50 Sinais e Sistemas p8/50

3 Pólos e Zeros Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t) = e 2t u(t) + e t cos(3t)u(t) s {s Re(s) > }, X(s) = 2s 2 + 5s + 2 (s 2 + 2s + 0)(s + 2) Nos exemplos anteriores, a transformada de aplace é racional, ou seja é um quociente de polinómios em s : X(s) = N(s) D(s) Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do numerador Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do denominador À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s, chama-se mapa de pólos e zeros de X(s) Sinais e Sistemas p9/50 Sinais e Sistemas p0/50 Pólos e Zeros no Infinito Transformada de Fourier Se a ordem do polinómio do denominador exceder a do numerador: Ordem(D(s)) = Ordem(N(s)) + k a transformada X(s) tem k zeros no infinito Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do denominador: Se a região de convergência (ROC) da transformada de Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s) = 0 ou s = jω), a transformada de Fourier não converge x(t) = e t u(t) X(s) =, Re(s) > s + x(t) tem transformada de Fourier Ordem(N(s)) = Ordem(D(s)) + k a transformada X(s) tem k pólos no infinito x(t) = e t u( t) X(s) =, Re(s) < s + x(t) não tem transformada de Fourier Sinais e Sistemas p/50 Sinais e Sistemas p2/50

4 Propriedades da ROC Propriedade : a ROC é composta por faixas paralelas ao eixo imaginário Propriedade 2: para transformadas de aplace racionais, a ROC não contém pólos Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e absolutamente integrável, a ROC da sua transformada é todo o plano s Calcular a transformada de aplace do sinal: t, x(t) = s, X(s) = { e at, 0 < t < T 0, caso contrário { e (s+a)t s+a, s a T, s = a Sinais e Sistemas p3/50 Sinais e Sistemas p4/50 Propriedades da ROC Propriedades da ROC Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se a linha Re(s) = σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s) > σ 0 também pertencem à ROC Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e se a linha Re(s) = σ 0 pertencer à ROC, então todos os valores de s tal que Re(s) < σ 0 também pertencem à ROC Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se a linha Re(s) = σ 0 pertencer à ROC, então a ROC consistirá numa faixa que inclui a linha Re(s) = σ 0 Propriedade 7: se a transformada de aplace for racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou se estende até ao infinito Propriedade 8: se a transformada de aplace for racional, então se x(t) for lateral direito a ROC será a região à direita do pólo mais à direita, se x(t) for lateral esquerdo a ROC será a região à esquerda do pólo mais à esquerda Sinais e Sistemas p5/50 Sinais e Sistemas p6/50

5 Transformada de aplace Inversa Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada de aplace: s, X(s) = (s + )(s + 2) Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral esquerdo e um lateral direito No caso geral a inversão da transformada de aplace exige o recurso a um integral de circulação No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: X(s) = m i= A s + a i Em função da região de convergência, o sinal x(t) será uma soma de exponenciais na forma A i e a it u(t) ou A i e a it u( t) Sinais e Sistemas p7/50 Sinais e Sistemas p8/50 Solução Considere a equação de uma transformada de aplace: s X(s) = (s + )(s + 2) Determine os sinais correspondentes à sua transformada inversa considerando as seguintes regiões de convergência: Re(s) > 2 Re(s) < < Re(s) < x (t) x 2 (t) x 3 (t) = e t u(t) e 2t u(t) = e t u( t) + e 2t u( t) = e t u( t) e 2t u(t) Sinais e Sistemas p9/50 Sinais e Sistemas p20/50

6 inearidade Deslocamento Temporal ax (t) + bx 2 (t) ax (s) + bax 2 (s), ROC R R 2 A transformada de aplace é uma operação linear x(t t 0 ) e st 0 X(s), ROC = R Sinais e Sistemas p2/50 Sinais e Sistemas p22/50 Deslocamento no Domínio S Escalamento Temporal e s 0t x(t) X(s s 0 ), ROC = R + Re(s 0 ) A ROC também é deslocada x(at) a X( s a ), ROC = R a Sinais e Sistemas p23/50 Sinais e Sistemas p24/50

7 Conjugado Convolução x(t) X (s ), ROC = R x (t) x 2 (t) X (s)x 2 (s), ROC R R 2 Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamento de pólos com zeros Sinais e Sistemas p25/50 Sinais e Sistemas p26/50 Diferenciação no Tempo Diferenciação no Domínio S dx(t) dt sx(s), ROC R tx(t) dx(s), ROC = R ds Sinais e Sistemas p27/50 Sinais e Sistemas p28/50

8 Determinar a transformada de aplace de: Determinar a transformada de aplace inversa de: X(s) = t, x(t) = te at u(t), ROC = Re(s) > a (s + a) 2 s Re(s) >, X(s) = 2s2 + 5s + 5 (s + ) 2 (s + 2) t, x(t) = [2te t e t + 3e 2t ]u(t) Sinais e Sistemas p29/50 Sinais e Sistemas p30/50 Integração no Tempo Valor Inicial e Final t x(τ)dτ X(s), ROC R {Re(s) > 0} s Se x(t) = 0 para t < 0 e se x(t) não tiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem: teorema do valor inicial: teorema do valor final: x(0 + ) = lim s sx(s) lim x(t) = lim sx(s) t s 0 Sinais e Sistemas p3/50 Sinais e Sistemas p32/50

9 Função de Transferência Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as seguintes funções constituem um par de aplace: As transformadas de aplace da entrada e da saída de um sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por: t, x(t) = e 2t u(t) + e t cos(3t)u(t) s, Y(s) = H(s)X(s) s Re(s) >, X(s) = 2s 2 + 5s + 2 (s 2 + 2s + 0)(s + 2) A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada de aplace da resposta impulsiva do sistema x(0 + ) = 2 lim s 2s 2 + 5s + 2 s (s 2 + 2s + 0)(s + 2) = 2 Sinais e Sistemas p33/50 Sinais e Sistemas p34/50 Pares de Transformadas de aplace Pares de Transformadas de aplace δ(t), s δ(t t 0 ) e st 0, s u(t) s, Re(s) > 0 u( t) s, Re(s) < 0 tu(t) s 2, Re(s) > 0 tu( t) s 2, Re(s) < 0 e at u(t), Re(s) > a s + a e at u( t), Re(s) < a s + a te at u(t), Re(s) > a (s + a) 2 te at u( t), Re(s) < a (s + a) 2 Sinais e Sistemas p35/50 Sinais e Sistemas p36/50

10 Pares de Transformadas de aplace Causalidade s cos(ω 0 t)u(t), Re(s) > 0 s 2 + ω 2 0 ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s) > 0 s 2 + ω 2 0 e at s + a cos(ω 0 t)u(t), Re(s) > a (s + a) 2 + ω 2 0 e at ω 0 sin(ω 0 t)u(t), Re(s) > a (s + a) 2 + ω 2 0 A reposta impulsiva de um SIT causal é um função lateral direita, então Num SIT com função de transferência racional, a causalidade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano à direita do pólo mais à direita Sinais e Sistemas p37/50 Sinais e Sistemas p38/50 Estabilidade Causalidade e Estabilidade Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável Nesse caso sua a transformada de Fourier converge Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada de aplace tem de incluir o eixo imaginário (s = jω) Um sistema causal com função de transferência H(s) racional é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa) Um SIT é estável se e só se a ROC da função de transferência H(s) incluir o eixo imaginário Sinais e Sistemas p39/50 Sinais e Sistemas p40/50

11 Equações Diferenciais Muitos SITs podem ser caracterizados por uma equação diferencial de coeficientes constantes: Considere que se conhecem os seguintes factos acerca de um SIT: N k=0 a k d k y(t) dt k = M k=0 b k d k x(t) dt k o sistema é causal; 2 a função de transferência é racional e tem dois pólos em s = 2 e s = 4; Aplicando a propriedade da diferenciação: H(s) = Y(s) M X(s) = k=0 b k s k N k=0 a ks k 3 se x(t) = então y(t) = 0; 4 a resposta impulsiva em t = 0 + vale 4 H(s) = 4s (s + 2)(s 4), Re(s) > 4 Sinais e Sistemas p4/50 Sinais e Sistemas p42/50 Representação da Amplitude da TF Décibel (db) A propriedade da transformada de Fourier da convolução aplicada a um sistema linear e invariante no tempo: Y( jω) = H( jω)x( jω) H( jω) db = 20 log 0 ( H( jω) ) 0 db correspondem à resposta em frequência com amplitude Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier representa-se muitas vezes na forma logarítmica: +20 db corresponde a um ganho de 0 vezes 20 db corresponde a uma atenuação de 0, 6 db corresponde a uma atenuação aproximada 0,5 20 log 0 ( Y( jω) ) = 20 log 0 ( H( jω) ) + 20 log 0 ( X( jω) ) +6 db corresponde a um ganho aproximada de 2 Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel (db) Sinais e Sistemas p43/50 Sinais e Sistemas p44/50

12 Escala de Frequências ogarítmica Determinação Geométrica da CTFT A representação da escala de frequências numa escala logarítmica na forma log 0 (ω) ou log 0 ( f ) é comum em sistema contínuos Esta representação permite uma visualização mais compacta de uma gama de frequências do que a representação linear A escala logarítmica de frequências permite uma aproximação assimptótica de sistemas contínuos, lineares e invariantes definidos por uma equação diferencial Aos gráficos de H( jω) db e H( jω) numa escala de frequências logarítmica dá-se o nome de diagramas de Bode As transformada de aplace racionais podem ser representadas na forma: Fazendo s = jω: X(s) = M ΠR i= (s β i) Π P i= (s α i) X( jω) = M ΠR i= jω β i Π P i= jω α i R P X( jω) = ( jω β i ) ( jω α i ) i= i= Sinais e Sistemas p45/50 Sinais e Sistemas p46/50 Avaliação vectorial jω β i é o módulo do vector desde o zero β i ao ponto s = jω; jω α i é o módulo do vector desde o pólo α i ao ponto s = jω; ( jω β i ) é ângulo que o vector desde o zero β i ao ponto s = jω faz com o eixo real; ( jω α i ) é o ângulo que o vector desde o pólo α i ao ponto s = jω faz com o eixo real Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao sinal com transformafa de aplace: X(s) =, Re(s) > s + X( jω) 2 = ω 2 +() 2 X( jω) = tan (ω) Sinais e Sistemas p47/50 Sinais e Sistemas p48/50

13 Sistema de a Ordem Conclusões h(t) = τ e t/τ u(t) A transformada de aplace pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier A transformada de aplace: Pólo: H(s) = sτ +, Re(s) > τ Os sistemas e os sinais com transformada de aplace racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de pólos e zeros A localização dos pólos e da região de convergência permitem determinar características como a causalidade e a estabilidade s = τ A partir do mapa de pólos e zeros permite obter geometricamente a transformada de Fourier à parte um factor de escala Sinais e Sistemas p49/50 Sinais e Sistemas p50/50