Técnicas de Desenho de Filtros Digitais
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- William Figueiroa Lacerda
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1 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais Luís Caldas de Oliveira Instituto Superior Técnico Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p1/38
2 Resumo Desenho de filtros discretos com base em filtros contínuos Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p2/38
3 Resumo Desenho de filtros discretos com base em filtros contínuos Transformações em frequência Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p2/38
4 Resumo Desenho de filtros discretos com base em filtros contínuos Transformações em frequência Desenho de filtros usando janelas Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p2/38
5 Objectivo Problema: Dimensionar sistemas que eliminem componentes do sinal de entrada com frequências indesejadas Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p3/38
6 Objectivo Problema: Dimensionar sistemas que eliminem componentes do sinal de entrada com frequências indesejadas Solução: para filtros IIR iremos converter filtros contínuos em filtros discretos, para filtros FIR faremos a truncatura da resposta impulsiva ideal Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p3/38
7 Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p4/38
8 Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Cálculo dos coeficientes adequados Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p4/38
9 Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Cálculo dos coeficientes adequados Representação do filtro numa estrutura adequada Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p4/38
10 Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Cálculo dos coeficientes adequados Representação do filtro numa estrutura adequada Análise dos efeitos de precisão finita Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p4/38
11 Passos do Processo de Desenho de Filtros Especificação dos requisitos do filtro Cálculo dos coeficientes adequados Representação do filtro numa estrutura adequada Análise dos efeitos de precisão finita Realização do sistema em hardware ou software Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p4/38
12 Especificações do Filtro Digital 1+δ 1 1 δ p p δ s 1+δ 1 1 δ 0 Ωp Ωs π Ω T p p δ s 0 ω ω π ω passagem p transição s atenuação δ p desvio na banda de passagem δ s desvio na banda de atenuação (stopband) ω p frequência limite da banda de passagem (frequência de corte) ω s frequência limite da banda de atenuação Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p5/38
13 Desenho de Filtros Discretos com Base em Filtros Contínuos Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenho de filtros analógicos Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p6/38
14 Desenho de Filtros Discretos com Base em Filtros Contínuos Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenho de filtros analógicos Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuos têm fórmulas relativamente simples para obter os parâmetros a partir das especificações Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p6/38
15 Desenho de Filtros Discretos com Base em Filtros Contínuos Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenho de filtros analógicos Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuos têm fórmulas relativamente simples para obter os parâmetros a partir das especificações A transposição destes métodos para o desenho de filtros discretos conduzem a relações complexas entre as especificações e os parâmetros do sistema discreto Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p6/38
16 Método da Invariância da Resposta Impulsiva Pretende-se igualar a resposta impulsiva do sistema discreto à discretização da resposta impulsiva do sistema contínuo: h(n) = k h c (nt ) h c (t): é a resposta impulsiva do sistema contínuo h(n): é a resposta impulsiva do sistema discreto T : é o intervalo de amostragem k: uma constante de proporcionalidade tradicionalmente de valor igual a T Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p7/38
17 Mapeamento dos Pólos h(n) = H c (s) = N k=1 A k s s k h c (t) = N A k e s kt n u(n) H(z) = k=1 s = s k z = e s kt N A k e skt u(t) k=1 N k=1 A k 1 e s kt z 1 π/τ Im Plano s Im Plano z π/τ Re Re Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p8/38
18 Relação Entre as Funções de Transferência H(e jω ) = + k= H c (j ω T + j 2πk T ) Banda de H c (jω) limitada: H c (jω) = 0 Ω π/t H(e jω ) = H c (j ω T ) No caso contrário haverá interferência das imagens da resposta em frequência: H c H 0 Ω π 0 π ω Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p9/38
19 Método da Invariância da Resposta Impulsiva 1 Determinar o filtro analógico H c (s) que satisfaz as especificações Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p10/38
20 Método da Invariância da Resposta Impulsiva 1 Determinar o filtro analógico H c (s) que satisfaz as especificações 2 Expandir H c (s) em fracções simples Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p10/38
21 Método da Invariância da Resposta Impulsiva 1 Determinar o filtro analógico H c (s) que satisfaz as especificações 2 Expandir H c (s) em fracções simples 3 Obter a transformada z de cada fracção Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p10/38
22 Método da Invariância da Resposta Impulsiva 1 Determinar o filtro analógico H c (s) que satisfaz as especificações 2 Expandir H c (s) em fracções simples 3 Obter a transformada z de cada fracção 4 Combinar as transformadas z das fracções simples em secções de primeira e segunda ordem Se necessário multiplicar H(z) por T Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p10/38
23 Transformação Bilinear Objectivo: mapear todo o semi-plano s no interior do círculo unitário no plano z Im Plano s Im Plano z Re 1 1 Re Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p11/38
24 Mapeamento dos Pólos na Transformação Bilinear z = 1 + ks 1 ks s = 1 k 1 z z 1 k é um factor de escala, tradicionalmente com o valor k = T/2 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p12/38
25 Relação Entre Frequências Contínuas e Discretas { s = jω z = e jω { Ω = 2 tan ( ) ω T 2 ω = 2 arctan ( ΩT 2 ) π ω Im Ω 1 1 Re π Im Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p13/38
26 Vantagens e Inconvenientes da Transformação Bilinear Vantagens: Filtros analógicos estáveis transformam-se em filtros digitais estáveis Não há aliasing: Ω = ± ω = ±π Inconveniente: Distorção no eixo das frequências: { Ω = 2 tan ( ) ω T 2 ω = 2 arctan ( ΩT 2 ) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p14/38
27 Método da Transformação Bilinear 1 Determinar a função de transferência normalizada H c (s) que satisfaz as especificações 2 Determinar a frequência de corte do filtro digital: ω p 3 Obter a correspondente frequência de corte do filtro analógico: Ω p = 1 tan ( ω p ) k 2 4 Desnormalizar o filtro analógico escalando H c (s) na frequência fazendo s = s/ω p 5 Aplicar a transformação bilinear para obter a desejada função de transferência discreta, H(z), substituindo s = 1 1 z 1 k 1+z 1 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p15/38
28 Filtros de Butterworth Η c 2 N=8 1/2 N=2 Ω p Ω H c (jω) 2 = ( ) 2N jω jω p Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p16/38
29 Características dos filtros de Butterworth Amplitude maximamente plana na banda de passagem: as derivadas de ordem 2N 1 são nulas em Ω = 0 (N é a ordem do filtro) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p17/38
30 Características dos filtros de Butterworth Amplitude maximamente plana na banda de passagem: as derivadas de ordem 2N 1 são nulas em Ω = 0 (N é a ordem do filtro) Monotónico na banda de passagem e de atenuação Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p17/38
31 Características dos filtros de Butterworth Amplitude maximamente plana na banda de passagem: as derivadas de ordem 2N 1 são nulas em Ω = 0 (N é a ordem do filtro) Monotónico na banda de passagem e de atenuação Atenuação na frequência Ω s : 20 log 10 (δ s ) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p17/38
32 Características dos filtros de Butterworth Amplitude maximamente plana na banda de passagem: as derivadas de ordem 2N 1 são nulas em Ω = 0 (N é a ordem do filtro) Monotónico na banda de passagem e de atenuação Atenuação na frequência Ω s : 20 log 10 (δ s ) Ordem do filtro: N log 10 [( 1 δs 2 ) 1] 2 log 10 (Ω s /Ω p ) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p17/38
33 Pólos do Filtro de Butterworth Im Plano s π/ν Ω p Re s p = ( 1) 1 2N jω p 2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência de raio Ω p : apenas se utilizam os do semi-plano R(s p ) < 0 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p18/38
34 Pólos do Filtro de Butterworth Im Plano s π/ν Ω p Re s p = ( 1) 1 2N jω p 2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência de raio Ω p : apenas se utilizam os do semi-plano R(s p ) < 0 Não tem pólos sobre o eixo imaginário Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p18/38
35 Pólos do Filtro de Butterworth Im Plano s π/ν Ω p Re s p = ( 1) 1 2N jω p 2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência de raio Ω p : apenas se utilizam os do semi-plano R(s p ) < 0 Não tem pólos sobre o eixo imaginário N ímpar tem pólos reais Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p18/38
36 Pólos do Filtro de Butterworth Im Plano s π/ν Ω p Re s p = ( 1) 1 2N jω p 2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência de raio Ω p : apenas se utilizam os do semi-plano R(s p ) < 0 Não tem pólos sobre o eixo imaginário N ímpar tem pólos reais N par não tem pólos reais Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p18/38
37 Mapeamento dos Pólos do Filtro de Butterworth Im Plano z zeros no infinito Re 1 Ω pτ 1+Ω Τ p 1+Ω pτ 1 Ω Τ p Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p19/38
38 Transformação Bilinear do Filtro de Butterworth 1 Dados Ω p e N determinar os pólos no plano s Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p20/38
39 Transformação Bilinear do Filtro de Butterworth 1 Dados Ω p e N determinar os pólos no plano s 2 Mapear os pólos para o plano z Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p20/38
40 Transformação Bilinear do Filtro de Butterworth 1 Dados Ω p e N determinar os pólos no plano s 2 Mapear os pólos para o plano z 3 Acrescentar N zeros em z = 1 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p20/38
41 Transformação Bilinear do Filtro de Butterworth 1 Dados Ω p e N determinar os pólos no plano s 2 Mapear os pólos para o plano z 3 Acrescentar N zeros em z = 1 4 Calcular o ganho estático Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p20/38
42 Filtro de Chebyshev tipo I: equi-ripple na banda de passagem e monotónico na banda de atenuação; tipo II: equi-ripple na banda de atenuação e monotónico na banda de passagem Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p21/38
43 Filtro Chebyshev do Tipo I H c (jω) 2 = K 1 + ε 2 V 2 N ( ) Ω Ω p em que V N (x) é um polinómio de Chebyshev: V N (x) = cos(n cos 1 (x)) ripple na banda de passagem 10 log 10 (1+ε 2 ) = 20 log 10 (δ s ) atenuação na banda de corte 20 log 10 (δ s ) N cosh 1 ( δ 2 s 1/ε cosh 1 (Ω s /Ω p ) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p22/38
44 Filtro Elíptico H c (jω) 2 = K 1 + ε 2 U 2 N (Ω) em que U N (x) é um função racional de Chebyshev Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem e de atenuação Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p23/38
45 Filtro Elíptico H c (jω) 2 = K 1 + ε 2 U 2 N (Ω) em que U N (x) é um função racional de Chebyshev Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem e de atenuação Não existe expressão simples para a localização dos pólos Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p23/38
46 Filtro Elíptico H c (jω) 2 = K 1 + ε 2 U 2 N (Ω) em que U N (x) é um função racional de Chebyshev Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem e de atenuação Não existe expressão simples para a localização dos pólos Os filtros elípticos são os mais eficientes em termos de resposta de amplitude: cumprem um conjunto de especificações com a menor ordem Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p23/38
47 Filtro Elíptico H c (jω) 2 = K 1 + ε 2 U 2 N (Ω) em que U N (x) é um função racional de Chebyshev Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem e de atenuação Não existe expressão simples para a localização dos pólos Os filtros elípticos são os mais eficientes em termos de resposta de amplitude: cumprem um conjunto de especificações com a menor ordem São desaconselhados quando existem restrições de fase Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p23/38
48 Transformações em Frequência Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através de uma transformação em z: H(z) = H l (Z) Z 1 =G(z 1 ) G(z 1 ) é uma função racional de z 1 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p24/38
49 Transformações em Frequência Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através de uma transformação em z: H(z) = H l (Z) Z 1 =G(z 1 ) G(z 1 ) é uma função racional de z 1 O interior do círculo unitário no plano Z tem de se mapear no interior do círculo unitário no plano z Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p24/38
50 Transformações em Frequência Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através de uma transformação em z: H(z) = H l (Z) Z 1 =G(z 1 ) G(z 1 ) é uma função racional de z 1 O interior do círculo unitário no plano Z tem de se mapear no interior do círculo unitário no plano z A circunferência de raio unitário no plano Z tem de se mapear na circunferência de raio unitário no plano z Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p24/38
51 Transformações de Filtros Passa-Baixo Passa-baixo Z 1 = z 1 α 1 αz 1 α = sin( θp ωp 2 ) sin( θ p+ωp 2 ) Passa-alto Z 1 = z 1 +α 1+αz 1 α = cos( θp+ωp 2 ) cos( θ p ωp 2 ) θ p frequência de corte do filtro original ω p frequência de corte desejada Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p25/38
52 Transformações de Filtros Passa-Baixo Passa-banda Z 1 = z 2 2αk k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk k+1 z 1 +1 k = cot( ω p2 ω p1 2 ) tan(θ p /2) α = cos( ω p2 +ω p1 2 ) cos( ω p2 ω p1 2 ) Rejeita-banda Z 1 = z 2 2α 1+k z k 1+k 1 k 1+k z 2 2α 1+k z 1 +1 k = tan( ω p2 ω p1 2 ) tan(θ p /2) α = cos( ω p2 +ω p1 2 ) cos( ω p2 ω p1 2 ) θ p frequência de corte do filtro original ω p1 frequência de corte inferior desejada ω p2 frequência de corte superior desejada Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p26/38
53 Transformações de Frequência no Plano s A função de transferência normalizada do filtro passa-baixo (Θ p = 1) pode ser convertida directamente: Passa-baixo Passa-alto Passa-banda s = s Ω p s = Ω p s s = s2 +Ω 2 p1 Ω2 p2 (Ω p2 Ω p1 )s Rejeita-banda s = (Ω p2 Ω p1 )s s 2 +Ω 2 p1 Ω2 p2 Θ p frequência de corte do filtro original Ω p1 frequência de corte inferior desejada Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p27/38
54 Desenho de Filtros Usando Janelas Se H d (e jω ) for a resposta em frequência ideal desejada, a resposta impulsiva: h d (n) = 1 2π π π H d (e jω )e jωn dω poderá ser não causal ou ter comprimento infinito Solução: truncar a resposta impulsiva: h(n) = h d (n)w(n) em que w(n) é uma janela: { 0 0 n M w(n) = 0 caso contráriotécnicas de Desenho de Filtros Digitais p28/38
55 Respostas Impulsivas Ideais h d (n), n 0 h d (0) Passa-baixo Passa-alto ω c π sin(nω c ) nω c ω c π sin(nω c ) nω c ω c π ω c π Passa-banda ω 2 sin(nω 2 ) π nω 2 ω 1 sin(nω 1 ) ω 2 ω 1 π nω 1 π Rejeita-banda ω 1 sin(nω 1 ) π nω 1 ω 2 sin(nω 2 ) π nω 2 ω 2 ω 1 π Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p29/38
56 Efeito da Janela na Frequência h(n) = h d (n)w(n) H(e jω ) = H d (e jω ) W (e jω ) π H π d(e jθ )W (e j(ω θ) )dω = 1 2π Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p30/38
57 Funções Habitualmente Usadas como Janelas Rectangular w(n) = Hanning w(n) = Hamming w(n) = Blackman w(n) = { 1 0 n M 0 caso contrário { ( cos 2πn ) 0 n M M 0 caso contrário { ( cos 2πn ) 0 n M M 0 caso contrário { ( cos 2πn ) ( M cos 4πn ) M 0 Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p31/38
58 Janela Rectangular w(n) 06 W(e^jw) (db) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p32/38
59 Janela Hanning w(n) 06 W(e^jw) (db) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p33/38
60 Janela Hamming w(n) 06 W(e^jw) (db) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p34/38
61 Janela Blackman w(n) 06 W(e^jw) (db) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p35/38
62 Características das Principais Janelas Amplitude Largura Largura da Ripple na Atenuação na Tipo do Lóbulo do Lóbulo Transição Banda de Banda de Secundário Principal (Hz) Passagem Corte Rectangular -13 db 4π/(M + 1) 09/(MT) db >21 db Hanning -31 db 8π/M 31/(MT) db >44 db Hamming -41 db 8π/M 33/(MT) db >53 db Blackman -74 db 12π/M 55/(MT) db >74 db Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p36/38
63 Desenho de Filtros FIR Usando Janelas 1 Especificar a resposta em frequência desejada ou ideal, H d (e jω ) 2 Obter a resposta impulsiva do filtro desejado h d (n) 3 Escolher uma janela que satisfaça as especificações da largura da banda de passagem ou da atenuação na banda de corte 4 Dimensionar a ordem do filtro de acordo com a largura da banda de transição desejada 5 Obter as amostras da janela escolhida, w(n), e calcular a resposta impulsiva do filtro FIR: h(n) = h d (n)w(n) Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p37/38
64 FIM Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p38/38
Resumo. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p.4/37. Passos do Processo de Desenho de Filtros. Objectivo
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