Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2

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1 Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2. Verifique se os sinais abaixo têm ou não transformada de Fourier. Em caso positivo, calcule a transformada correspondente: a) x[n] 2δ[n+2]+3δ[n] δ[n 3] Solução: O sinal tem transformada, pois é um sinal finito. X(ω) 2e 2jω +3 e 3jω b) x[n] 3δ[n+2]+2δ[n] δ[n ]+2δ[n 2] Solução: O sinal tem transformada, pois é um sinal finito. X(ω) 3e 2jω +2 e jω +2e 2jω c) x[n] a n u[n], para a < Solução: O sinal tem transformada, pois x[n] a n u[n] n X(ω) n a n n0 a a n u[n]e jωn n a n e jωn n0 (ae jω ) n n0 ae jω d) x[n] a n u[ n], para a > Solução: O sinal tem transformada, pois n x[n] n 0 a n n a n n0 (a ) n n0 a a n u[ n]

2 2 X(ω) a n u[ n]e jωn n 0 a n e jωn n a n e jωn n0 (a e jω ) n n0 a e jω e) x[n] a n (u[n] u[n N]) f) x[n] e n Solução: O sinal tem transformada pois é um sinal finito no tempo. X(ω) a n (u[n] u[n N])e jωn n N n0 a n e jωn N (ae jω ) n n0 (ae jω ) N ae jω Solução: O sinal não tem transformada, pois não é absolutamente somável. Em particular, e n e n n g) x[n] 3 n 2u[n+2] n Solução: O sinal tem transformada, pois x[n] 3 n n 2 n 2 3 n0 n n0 n 8 / Sua transformada de Fourier é X(ω) 3 n 2 n 2e jωn 3 n 4e jω(n+2) n0 3 4e 2jω n0 8e 2jω /3e jω 3 ne jωn

3 3 h) x[n] n+ u[n] Solução: O sinal não tem somatório finito, portanto, não tem transformada de Fourier. Este sinal é a conhecida série harmônica. A demonstração da divergência de seu somatório pode ser feita por comparação: x[n] n+ u[n] n n n+ n Essa série pode ser comparada termo a termo conforme abaixo. Pode-se notar que cada termo da série harmônia é maior ou igual à série na linha abaixo: > Agrupando-se os termos da segunda série, temos ) ( ( ) ( ) Essa soma claramente diverge, portanto, a série harmônica também divergirá. Portanto, o sinal não tem transformada de Fourier. { i) x[n] n, se n < N N 0, fora do intervalo Solução: Esta é uma sequência triangular de largura 2N. Sua transformada de Fourier pode ser calculada facilmente, se levarmos em consideração que um pulso triangular de largura 2N é a convolução entre dois pulsos retangulares de largura N. O pulso retangular tem transformada de Fourier dada por Rect N (ω) e jωn e jω então, pelo teorema da convolução, X(ω) Rect 2 N (ω) ( e jωn ) 2 e jω Esse resultado pode ser melhorado desenvolvendo-se os quadrados: X(ω) 2e jωn +e 2jωN 2e jω +e 2jω Multiplicando-se essa fração no numerador por e jωn e jωn e no denominador por e jω e jω, obtemos X(ω) ejωn 2+e jωn e jωn e jω 2+e jω e jω e utilizando a definição exponencial do cosseno, ( 2π j) x[n] cos N n X(ω) 2e jωn (cos(ωn) ) 2e jω (cos(ω) ) cos(ωn) jω(n ) e cos(ω) ), para 0 n < N Solução: Este sinal tem transformada de Fourier pois é um sinal finito. Para calcular sua transformada, notamos que ( ) 2π x[n] cos N n (u[n] u[n N])

4 4 ou seja, um janelamento, cuja resposta pode ser dada na forma de uma convolução no domínio da frequência. Pela Tabela 2., a transformada de Fourier do cosseno é dada por { ( )} 2π F cos N n δ (ω 2πN ) +2kπ k Para simplificar, consideremos apenas o valor principal de ω. { ( )} ( 2π F cos N n δ ω + 2π ) ( +δ ω 2π ) N N A transformada de Fourier do pulso retangular é dada por F {u[n] u[n N]} e jωn e jω Com alguma manipulação (veja a Seção 6.6), podemos escrever como N jω sen(ωn/2) Φ(ω) e 2 N sen(ω/2) ( ( F {x[n]} δ ω + 2π ) ( +δ ω 2π )) Φ(ω) N N ( Φ ω + 2π ) ( +Φ ω 2π ) N N k) x[n] senπn πn Solução: Ver Exemplo Sejam X (ω) a transformada de Fourier do sinal discreto x [n], e X 2 (ω) a transformada do sinal x 2 [n]. Calcule, em função dessas duas transformadas, as transformadas abaixo: a) y[n] 3x [n] 2x 2 [n] Solução: Y(ω) 3X (ω) 2X 2 (ω) b) y[n] x [n 2]+x 2 [n+2] Solução: c) y[n] x [n] x [n ] d) y[n] Solução: n k Y(ω) e 2jω X (ω)+e 2jω X 2 (ω) Y(ω) ( e jω )X (ω) x [k] Solução: Basta notar que x [n] y[n] y[n ], assim, Portanto e) y[n] x 2 [ n 2 ( e jω )Y(ω) X (ω) Y(ω) ] e jωx (ω) Solução: Veja a Seção 5. f) y[n] x [ n] x 2 [+n] Solução: Veja que y[n] x [ (n )] x 2 [n+] aplicando-se primeiro o deslocamento, e depois a reversão, temos Y(ω) e jω X (ω) e jω X 2 (ω)

5 5 g) y[n] x [n]+( ) n x [n] Solução: Veja que y[n] x [n]+e jπn x 2 [n] Y(ω) X (ω)+x 2 (ω π) h) y[n] x 2 [n] x 2 [ n] Y(ω) X 2 (ω)x 2 ω X 2 (ω) 2 3. Calcule a transformada de Fourier inversa das expressões abaixo: a) X(ω) b) X(ω) ae jω Solução: Utilizando os resultados do exercício d), obtemos x[n] a n u[ n], para a < ( ae jω ) 2 Solução: Seja x [n] a n u[n], com a <. Portanto X (ω) ae jω A derivada de X (ω) pode ser obtida facilmente como sendo Portanto d dω X (ω) jae jω ( ae jω ) 2 j d dω X ae jω (ω) ( ae jω ) 2 Como, por inspeção, X(ω) a ejω X (ω) então, pela propriedade da diferenciação em frequência, combinada ao deslocamento no tempo, temos c) X(ω) 4 ejω 8 ejω x[n] a (n+)an+ u[n+] a n (n+)u[n+] Solução: A transformada X(ω) pode ser decomposta em duas partes: X(ω) 4 ejω 8 ejω 8 ejω A primeira fração pode ser obtida por inspeção, conforme exercício d), e a segunda fração é a mesma transformada com um deslocamento aplicado no tempo. x[n] 8 n u[ n] 4 8n+ u[ (n+)] 8 n u[ n] 4 8n+ u[ n ] d) X(ω) {, se ω < ω0 0, se ω 0 ω < π Solução: Veja Exemplo 2.8 { 0, se ω < ω0 e) X(ω), se ω 0 ω < π

6 6 Solução: Seja X (ω) definido conforme no exercício anterior. para este exercício, X(ω) X (ω) Aplicando-se os teoremas da transformada inversa de Fourier, temos x[n] δ[n] senω 0n πn f) X(ω) senωn senω Solução: Veja Seção 6.6 g) X(ω) cos 2 ω Solução: Desenvolvendo X(ω), temos X(ω) cos 2 ω ( e 2jω +2+e 2jω) 4 Pode-se aplicar a linearidade da transformada, além do deslocamento no tempo. e F { e 2jω} δ[n+2] F { e 2jω} δ[n 2] x[n] 4 δ[n+2] δ[n 2] 4. Calcule a convolução entre as sequências abaixo utilizando o teorema da convolução para as transformadas de Fourier a) x[n] 2δ[n+2]+δ[n+]+3δ[n]+δ[n ]+2δ[n 2] h[n] δ[n]+0,5δ[n ] 0,25δ[n 2] Solução: X(ω) 2e 2jω +e jω +3+e jω +2e 2jω H(ω) +0,5e jω 0,25e 2jω X(ω)H(ω) 2e 2jω +2e jω +4+2,75e jω +3,25e 2jω +,25e 3jω +0,5e 4jω Calculando a transformada inversa: b) x[n] u[n] u[n N] h[n] δ[n] δ[n ] Solução: x[n] h[n] 2δ[n+2]+2δ[n +]+4δ[n]+2,75δ[n ]+3,25δ[n 2]+,25δ[n 3]+0,5δ[n 4] X(ω) ejωn e jω H(ω) e jω X(ω)H(ω) ( e jω ) ejωn e jω e jωn Calculando a transformada inversa: x[n] h[n] δ[n] δ[n N] c) x[n] n N, se 0 n < N h[n] δ[n 4] Solução: Neste exercício em particular, não existe a necessidade de calcular a transformada de x[n]. H(ω) e 4jω X(ω)H(ω) e 4jω X(ω) Calculando a transformada inversa: x[n] h[n] x[n 4] n 4,se 4 n < N +4 N

7 7 d) x[n] α n u[n] h[n] β n u[n] para α < e β <. Solução: Pela tabela das transformadas de Fourier, X(ω) H(ω) αe jω βe jω X(ω)H(ω) αe jω βe jω ( αe jω )( βe jω ) Para encontrarmos a resposta no domínio do tempo, precisamos calcular a transformada inversa. Para isso, fazemos a decomposição da expressão acima em frações parciais (veja a Seção 3.5.3). Escrevemos X(ω)H(ω) A αe jω + B βe jω As constantes A e B podem ser encontradas realizando a soma entre as duas frações e igualando o resultado à expressão anterior. Disso, tiramos duas equações: { A+B βa+αb 0 Resolvendo essa equação, temos e A α α β B β α β X(ω)H(ω) α α β Calculando a transformada inversa, x[n] h[n] αe jω β α β βe jω α α β αn u[n] β α β βn u[n] αn+ β n+ u[n] α β 5. O sinal de entrada x[n] de um sistema é dado por ( π ) ( 3π x[n] 2cos 4 n +3sen 4 n+ π ) 8 Encontre a resposta do sistema a esse sinal, se a resposta ao impulso é dada por h[n] 2 senπn/2 πn Solução: O problema pode ser resolvido facilmente, desde que se perceba que h[n] é, na verdade, a resposta ao impulso de um filtro ideal com frequência de corte π/2. as componentes abaixo dessa frequência serão mantidas sem alteração, enquanto as componentes acima dessa frequência serão cortadas. O sinal x[n] possui duas componentes, uma em ω π/4, e outra em ω 3π/4. A primeira componente possui frequência abaixo de π/2, e portanto será mantida; a segunda componente possui frequência acima de π/2, portanto, será eliminada. ( π ) x[n] h[n] 2cos 4 n 6. Se x[n] é dado como na Figura 2.9, calcule, sem avaliar explicitamente a transformada de Fourier: a) X(0)

8 8 Solução: X(0) pode ser calculado diretamente pela substituição de ω na equação de análise de transformada de Fourier: X(0) x[n]e j0n x[n] n n Pela inspeção direta dos valores de x[n] no gráfico, X(0) 0,2. b) Θ(ω) Solução: x[n] é uma função par. Como toda função par gera uma transformada de Fourier real, o espectro de fase terá valores iguais a 0 ou π para todos os valores de ω. c) X(π) d) e) f) π π π Solução: Pela substituição direta de ω por π, temos X(0) x[n]e jπn ( ) n x[n] n n Ou seja, alternam-se os sinais das amostras sobre n ímpar. Aplicando esse resultado ao x[n] da figura, temos X(π) 3,4. X(ω) dω Solução: Substituindo n 0 na definição da transformada inversa de Fourier, temos x[0] X(ω)e jω0 dω X(ω) dω 2π π 2π π Portanto, π X(ω)dω 2πx[0] 2π 2π π X(ω) 2 dω Solução: Pela relação de Parseval (veja a Seção 2.2.2): π X(ω) 2 dω x[n] 2 2π π n Portanto, X(ω) 2 dω 2π x[n] 2 2π 2,2 4,24π π n d dω X(ω) 2 dω Solução: Aplicando-se a propriedade da diferenciação em frequência, e tomando-se o valor absoluto, concluímos que para realizar essa integral basta fazermos: d π dω X(ω) 2 dω 2π nx[n] 2 n Portanto, d π dω X(ω) 2 dω 2,72 2π 5,44π 7. Um sinal x[n] é alimentado a um sistema com resposta ao impulso h [n] 0,5 n u[n], e a resposta desse sistema é alimentada a um outro sistema com resposta ao impulso h 2 [n] 0,2 n (u[n] u[n 3]). Encontre a resposta em frequência dos dois sistemas encadeados e sua resposta ao impulso. Solução: Podemos encontrar facilmente: e H (ω) 0,5e jω H 2 (ω) 0,008e 3jω 0,2e jω

9 9 A resposta em frequência do sistema encadeado é dada pelo produto entre essas duas transformadas de Fourier, ou seja: H(ω) H (ω)h 2 (ω) 0,008e 3jω ( 0,5e jω )( 0,2e jω ) Para encontrarmos a resposta ao impulso do sistema, podemos calcular a transformada inversa de H(ω). Para isso, reescrevemos como H(ω) ( 0,5e jω )( 0,2e jω ) 0,008e 3jω ( 0,5e jω )( 0,2e jω ) A segunda fração nessa expressão corresponde simplesmente ao mesmo sinal da primeira fração, com um atraso de 3 amostras. Calculamos, portanto, a transformada inversa da primeira fração, que chamaremos de H s(ω). Para isso, realizamos a decomposição em frações parciais (veja a Seção 3.5.3). Uma maneira simples de realizar essa decomposição é separar cada fator em uma fração e calcular as constantes correspondentes: H s(ω) A 0,5e jω + B 0,2e jω Para calcular as constantes A e B, somamos as duas frações e resolvemos o sistema linear formado pela igualdade que resulta no numerador (pois a expressão obtida no numerador de H s(ω) deve ser igual a. descobrimos que H s(ω) 5/3 0,5e jω 2/3 0,2e jω Por inspeção direta à tabela de transformadas, encontramos h s[n] 5 3 0,5n u[n] 2 3 0,2n u[n] A resposta ao impulso é encontrada fazendo: h[n] h s[n] 0,008h s[n 3] 8. Um sinal x[n] é alimentado simultaneamente a dois sistemas cujas respostas ao impulso são respectivamente h [n] 0.5 n u[n] e h 2 [n] 0.2 n (u[n] u[n 2]). As saídas dos sistemas são combinadas. Encontre a resposta em frequência dos dois sistemas combinados e sua resposta ao impulso. Solução: Podemos encontrar facilmente: e H (ω) 0,5e jω H 2 (ω) 0,008e 3jω 0,2e jω A resposta em frequência do sistema encadeado é dada pela soma entre essas duas transformadas de Fourier, ou seja: H(ω) H (ω)+h 2 (ω) Realizando a soma, obtemos 0,008e 3jω + 0,5e jω 0,2e jω H(ω) 2 0,7e jω 0,008e 3jω +0,004e 4jω ( 0,5e jω )( 0,2e jω ) Para encontrarmos a resposta ao impulso do sistema, podemos calcular a transformada inversa de H(ω). Uma vez, no entanto, que a resposta em frequência é obtida por uma combinação, e a transformada de Fourier é linear, a resposta ao impulso é dada simplesmente por h[n] 0,5 n u[n]+0,2 n (u[n] u[n 3]) 9. Por meio da transformada de Fourier, mostre que, se m x é o valor médio de x[n] e m y é o valor médio de y[n], então m x +m y é o valor médio de x[n]+y[n]. Solução: Consideremos o valor médio do sinal em um intervalo que vai de N a N. Esse valor pode ser calculado pela expressão: m x 2N + N n N x[n] Esse resultado pode ser mapeado sobre a transformada de Fourier, fazendo ω 0, e dividindo-se o resultado por 2N +: m x 2N + N n N 2N + X(0) x[n]e jω0

10 0 O mesmo raciocínio pode ser feito para m y, e o valor médio do sinal pode ser calculado em todo o intervalo fazendo N. Seja agora o sinal w[n] dado pela soma de x[n] e y[n]. Seu valor médio no intervalo que vai de N a N é calculado de maneira semelhante: m w 2N + W(0) No entanto, como W(ω) X(ω) +Y(ω), m w (X(0) +Y(0)) 2N + 2N + X(0)+ 2N + Y(0) m x +m y 0. Demonstre que a energia de um sinal discreto x[n] pode ser encontrado pela expressão E n Solução: Seja x[n]x [ n] y[n] x[n] x [ n] x[k]x [ n k] n O domínio em x [k n] se justifica pela reversão do sinal. A transformada de Fourier de y[n] é dada por Y(ω) X(ω)X (ω) X(ω) 2 A energia do sinal x[n], portanto, é calculada por E Y(ω)dω 2π π Esse valor pode ser calculado fazendo n 0 na definição da transformada de Fourier de y[n], ou seja π E 2π π π 2π π y[0] Y(ω)dω Y(ω)e jω0 dω Substituindo n 0 em y[n], obtemos E x[k]x [ k] k Basta agora trocar k por n para obter a expressão original.. Mostre que, se y[n] é a saída de um sistema linear invariante com o tempo com resposta ao impulso h[n] quando a entrada é x[n], então Y(ω) 2 (X 2 R(ω)+X 2 I(ω))(H 2 R(ω)+H 2 I(ω)) em que X(ω) X R (ω)+jx I (ω) e H(ω) H R (ω)+jh I (ω) Solução: O espectro de y[n] é dado pelo produto de x[n] e h[n], ou seja, e portanto Y(ω) X(ω)H(ω) Y(ω) 2 X(ω) 2 H(ω) 2 O espectro de magnitude de X(ω) pode ser encontrado por X(ω) 2 X 2 R (ω)+x2 I (ω) em que X(ω) X R (ω)+jx I (ω). O mesmo raciocínio pode ser feito para H(ω). Y(ω) 2 (X 2 R (ω)+x2 I (ω))(h2 R (ω)+h2 I (ω))

11 2. Demonstre que, se x[n] é um sinal par, então X(ω) x[0]+2 x[n]cosωn n Solução: Pela definição da transformada de Fourier: X(ω) n n x[n]e jωn x[n]e jωn +x[0]e jω0 + x[n]e jωn n Mudando o sinal de n no primeiro somatório, temos X(ω) x[0]+ x[ n]e jωn + x[n]e jωn n n Como x[ n] x[n], pois o sinal é par X(ω) x[0] + x[n]e jωn + x[n]e jωn n n x[0] + x[n](e jωn +e jωn ) n x[0]+2 x[n]cosωn n 3. Demonstre que, se x[n] é um sinal ímpar, então X(ω) 2j x[n]senωn n Solução: Pela definição da transformada de Fourier: X(ω) n n x[n]e jωn x[n]e jωn +x[0]e jω0 + x[n]e jωn n Mudando o sinal de n no primeiro somatório, temos X(ω) x[0]+ x[ n]e jωn + x[n]e jωn n n Como x[0] 0 e x[ n] x[n], pois o sinal é ímpar X(ω) x[n]e jωn + x[n]e jωn n n x[n](e jωn e jωn ) n 2j x[n]senωn n