Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião. Relações X Funções Considere a equação x + y = 5.

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1 Relações X Funções Considere a equação + =. Embora esta equação tenha duas variáveis, ela possui um número finito de soluções naturais. O conjunto solução desta equação, no universo dos números naturais, é: S = {(,), (,), (,), (,), (,), (,)} Mas, considerando-a no universo dos números reais, seu conjunto solução não pode ser escrito de forma eplícita como acima. Isto não se deve somente pelo fato do número de soluções reais da equação + = ser infinito, mas também porque fica impossível estabelecer qualquer tipo de ordem para escrever as soluções uma a uma. Embora seja possível representar o conjunto solução desta equação, no universo dos números reais, de forma descritiva como {(k, k), k R}, isso não é lá muito esclarecedor. Afinal a proposta do conjunto solução é que ele sirva como resposta à pergunta epressa pela equação. A geometria analítica propõe que se interprete cada solução de uma equação desse tipo como um ponto no plano cartesiano, para que a curva formada pelos pontos que representam todas as soluções apresente, de maneira gráfica, o conjunto solução da equação. Observe também este princípio aplicado à equação + =, cujo conjunto solução no universo dos inteiros é: S={(,), (,), (,), (,), (,-), (,-), (,-), (-,), (-,), (-,), (-,-), (-,-)} Universo natural Universo real Universo inteiro Universo real - Em algumas relações de igualdade entre duas variáveis é possível determinar um único valor de uma delas sabendo-se o valor da outra. Estas relações são chamadas de funções, e representadas por: F: Observe que a relação + = satisfaz essa condição que caracteriza uma função, mas isso não acontece na relação + =, uma vez que para = temos duas possibilidades para o valor de que são os números e. Além disso não eiste real quando = 6, por eemplo. A importância do estudo das funções deve-se em grande parte pela sua aplicação à Física. Nela, muitos dos estudos gráficos tomam o eio das abscissas para representação do tempo, e como no estudo de determinados fenômenos só pode haver uma única manifestação () para cada instante (), seus gráficos não apresentam mais de um ponto com a mesma abscissa. Se isso acontecesse estaríamos estudando um fenômeno que regride no tempo. É função de em Não é função de em

2 Álgebra Geometria Cada par ordenado (,) que satisfaz uma relação, seja ela epressa na forma de uma equação ou inequação entre essas variáveis pode ser interpretado como um ponto no plano cartesiano e desenhando-se todos estes pontos obtém-se a curva que representa o conjunto solução da relação. Este princípio admite duas importantes propriedades analíticas: Relação (; ) Solução ( ; ) Solução ( ; ) Solução ( ; ) Curva Ponto A Ponto B Ponto C Propriedade I - Um ponto pertence a uma curva se, e somente se, suas coordenadas satisfazem à relação algébrica que representa essa curva. Eemplo: Seja λ a curva de equação: + =. A(,) λ, pois: + = é uma sentença verdadeira. B(,) λ, pois: + = é uma sentença falsa. Propriedade II - Se um ponto pertence a duas curvas distintas então suas coordenadas satisfazem às relações de ambas as curvas. Sendo assim, para determinar as coordenadas dos pontos de intersecção de duas curvas basta resolver o sistema formado pelas relações que representam essas curvas. Intersecção Sistema Eemplo: {P, Q} = + = + = (,) e (,) P Q Quando uma relação entre duas variáveis e caracteriza uma função de em, pode-se escrevê-la com a variável isolada num dos membros, deiando-a em sua forma eplicita: = f(). Neste caso dizemos que fica epresso em função de, e assim o símbolo f( ) passa a representar a sucessão das operações aritméticas efetuadas com a variável apresentadas pela função eplícita. A relação - + =, por eemplo, representa uma função implícita de em, que pode ser + reescrita eplicitamente como: =. Agora podemos determinar o valor de para qualquer valor escolhido para dentre os elementos de um conjunto numérico chamado domínio da função. O domínio de uma função pode ser imposto para o problema por elementos que fogem à álgebra como uma limitação geométrica ou o próprio conteto do problema. Mas há também uma maneira de descobrirmos dentro dos números reais o mais abrangente domínio possível para uma função. Basta verificar todas as condições de eistência da epressão algébrica apresentada pela forma eplícita da função. Escolhemos também uma letra, em geral f, para representar a transformação numérica que ocorre com o valor de, escolhido no domínio, no valor que será chamado de imagem de. f : + para todo Na notação das funções, deve-se compreender que a letra f não representa número, constante ou variável, mas uma transformação definida algebricamente por uma sucessão de operações. E toda vez que essa transformação f for associada a um número ou epressão algébrica cercada por parênteses ela gera um novo número ou uma nova epressão algébrica, que são chamados de imagens, de acordo com as operações que compõem e definem a forma eplicita de f. Assim, a função f definida acima é tal que: f() = f() = f() = f( 6) = ( + f(+) = )

3 Função estruturada de uma variável Chamaremos de estruturadas às funções nas quais se pode estabelecer uma sucessão ordenada de operações aritméticas de forma que o resultado obtido na primeira operação seja usado para a segunda operação, gerando um novo resultado que será usado na terceira operação e assim por diante. Eemplos: A função f() = indica uma transformação que duplica o valor da variável e depois subtrai três unidade do resultado obtido. A função g() = + indica uma transformação eleva a variável à segunda potência depois acrescenta cinco unidades ao resultado obtido. A função h() = log indica uma transformação que primeiro multiplica por o valor da - variável, depois soma cinco unidades ao resultado obtido, depois inverte o valor dessa soma para finalmente etrair o logaritmo decimal do valor invertido. Se a forma eplícita da função apresentar a variável escrita uma só vez, então estamos diante de uma função estruturada composta por uma ou mais funções tarefas. Em f() =, por eemplo, a primeira tarefa é duplicar o valor da variável e a segunda tarefa é subtrair três unidades do resultado obtido na primeira tarefa. Assim, pode-se decompor essa função em duas funções tarefas. Indicando a primeira tarefa por p() = e a segunda tarefa por s() =, temos que f() é o resultado da composição s(p()) que pode ser indicado na forma f = s p. A composição de duas funções pode ser obtida de duas formas: De dentro para fora Se p() = e s() =, então: f() = s p () = s( p() ) = s() =. De fora para dentro Se p() = e s() =, então: f() = s p () = s( p() ) = p() =. Note que a composição de funções, indicada pelo símbolo, não é uma operação comutativa, uma vez que, nesse mesmo eemplo, temos: Se p() = e s() =, então: g() = p s () = p( s()) = s() = ( ) = 6 f(). Numa situação como essa, é relativamente fácil obter a relação inversa de uma função, mas deve-se atentar ao fato de que a relação inversa de uma função pode ou não ser também uma função. Os maiores cuidados que devem ser tomados estão ligados às potências de epoente par, à presença do operador de módulo ou de outras transformações não injetoras como as trigonométricas. Pode-se obter a relação inversa de uma função estruturada identificando-se quais as funções tarefas que a compõem, e a ordem em que são aplicadas. Depois, invertendo-se as operações presentes nessas funções tarefas e invertendo-se também a ordem de aplicação, efetua-se a composição da relação inversa. Por eemplo: A relação inversa da função tarefa p() = é a função p () =. A relação inversa da função tarefa s() = é a função s () = +. Como a ordem de composição da função f() é s p, temos que a ordem da composição de sua relação - inversa deve ser p s, assim: f - s () + ()= p s = =. Em outras palavras, o que uma função faz a função inversa desfaz, de modo que a primeira tarefa de uma função deve ser desfeita pela última tarefa de sua função inversa, bem como a última tarefa de uma função deve desfeita pela primeira tarefa de sua função inversa. Eercício : Decomponha as funções g() e h() dos eemplos acima em funções tarefas, e determine a relação inversa de cada uma.

4 Domínio e imagem de uma função Quando escrevemos f : A B estamos definindo uma função que transforma todos os elementos do conjunto A em elementos do conjunto B. Neste caso, chamamos o conjunto A de domínio da função f e o conjunto B de contra-domínio de f. O conjunto imagem de uma função e formado por todos os elementos do contra-domínio B que resultam da transformação aritmética imposta por f para cada um dos elementos do seu domínio A. Em outras palavras a imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis resultados da aplicação dessa função. Em alguns casos, quando não se sabe quais são todos os possíveis resultados, deve-se definir o contradomínio da função da forma mais abrangente possível na tentativa de garantir que ele contenha todos os elementos necessários para que a função fique bem definida. Fazendo-se isso, podem-se incluir elementos desnecessários no contradomínio. Sendo assim, o conjunto imagem de ima função sempre será subconjunto do seu contradomínio. Eemplo: Sendo A = {, {,, } e B = {,,,, }, considere a função f : A B tal que f() =. O domínio de f é o conjunto A, o contradomínio de f é o conjunto B e, como f( ) =, f() =, f() = e f() =, temos que a imagem dessa função f é o conjunto {,, } contido no contradomínio. O quadro a seguir apresenta outras formas de representação dessa mesma função: Forma descritiva: f = {(,) A B tal que = } Como um conjunto de pontos: f = {(, ), (, ), (, ), (, )} Como um diagrama de setas: A B Imagem de f Im( f ) = {,, } Forma gráfica: O conhecimento prévio da imagem de uma função pode evitar uma série frustrante de tentativas para se resolver equações impossíveis. Isto se deve ao fato de que toda equação algébrica pode ser epressa na forma f() = k em que k é uma constante numérica e, sendo assim, a equação só admitirá solução se essa constante k for um elemento do conjunto imagem da função f. Caso contrário, a equação é impossível e seu conjunto solução é vazio. f() = k, k Im( f ) S = Eemplos: O conjunto solução da equação + = é, uma vez que essa equação pode ser escrita na forma = - e, como a imagem da função f() = é o conjunto dos números reais positivos, temos que o número não pertence à imagem da função f(). O conjunto solução da equação sen -= é, uma vez que essa equação pode ser escrita na forma sen =, e, como a imagem da função f() =sen é o intervalo [,], temos que o número, não pertence à imagem da função f(). Eercício : Obtenha as imagens das seguintes funções. a) f() = a+b, a b) f() = a +b+c, a > c) f() = a +b+c, a < d) f() = n com n par n e) f() = com n par f) f() = g) f() = / h) f() = b, b > e b i) f() = log j) f () = sen l) f() = cos m) f() = tg n) f() = sec

5 Propriedades das funções Há duas propriedades que são válidas para todo tipo de função algébrica: Propriedade I - A variável de uma função f() assume o valor que quisermos dentre os elementos do domínio da função. E, se este domínio não for imposto pelo enunciado ou pelo conteto do problema então, deve-se considerá-lo como o mais abrangente subconjunto de R cujos elementos satisfaçam todas as condições de eistência impostas pela epressão algébrica que define a função em sua forma eplicita. Domínio R Condições de eistência Denominadores Radicandos (em radicais de índice par) Logaritmandos > Bases > Bases Propriedade II I - Se o ponto de coordenadas (a, b) pertence ao gráfico de uma função f, então f(a ) = b e, sendo assim, todo ponto do gráfico de uma função f pode ser representado na forma: (, f()). f > f() P(, ) b (a, b ) f f( a ) = b = f() G(, f() ) a < f() Q(, ) Analisando-se simultaneamente os gráficos de duas funções f e g pode-se observar, por eemplo, que cada solução da equação f() = g() é a abscissa de um ponto que os gráficos interceptam-se. = g() f(a) = g(a) = b = f() r a s No eemplo acima, pode-se concluir que: Para = a temos f() = g(), pois: f( a ) = g( a ). Para = r temos f() > g(), pois: f( r ) > g( r ). Para = s temos f() < g(), pois: f( s ) < g( s ). E, como r < a < s, ainda pode-se observar que: f() = g() = a. f() < g() > a, pois o gráfico de f está abaio do gráfico de g nos pontos cujas abscissas estão a direita de a. f() > g() < a, pois o gráfico de f está acima do gráfico de g nos pontos cujas abscissas estão a esquerda de a.