Matemática Caderno 5

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1 FUNÇÃO LOGARÍTMICA: Dado um número real a positivo e diferente de um (a > 0 e a 1), denominados função logarítmica de base a à função f() = log a definida para todo real positivo. D (f) = IR * + Im (f) = IR Domínio e Imagem: 3. Este é o gráfico da função f: IR* + IR, definida por log 1/ : CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 1

2 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS log a b = b = a NOMENCLATURA Elementos/ Operação Potenciação Logaritmação a base base do logaritmo b potência logaritmando epoente Logaritmo P1. log b (a.c) = log b a + log b c P. log b = log b a - log b c P3. log b = log b =. log b a P4. log b a n = n. log b a P5. = b P6. log a 1 = 0 P7. log a a = 1 P8. log a a m = m P9. log b = log b y = y, (,y,b) IR * +, e b 1 Cologaritmo de um número colog a b = - log a b = log a b 1 Mudança de base log a b = consequências log a b. log b a = 1 e log a b. log c a = log c b Equações logarítmicas Equações com logaritmos, em que as variáveis podem aparecer no logaritmando ou na base, são chamadas equações logarítmicas. CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos

3 Para resolvê-las, aplicamos a definição, as condições de eistência e as propriedades dos logaritmos. Eemplos: Resolva em IR as equações: a) log ( + 15) = b) log ( +3) = log Eercícios O logaritmo de um certo número numa certa base é 3. O logaritmo desse mesmo número numa base igual a metade da anterior é 6. Determinar o número procurado. 0. A solução da equação = é um número k. Determine o logaritmo de k na base. 03. Calcule o valor da epressão log 1/ 3 + log 10 0,001 log 0,1. 04.(Mús/Saúde) Sabendo que log P = 3Log a 4Log b + o valor de P. (dados: a = 4, b = e c = 16) a) 1 b) 5 c) 1 6 d) 4 e) 73 log c, assinale a alternativa que representa 05. Resolva a equação log ( + ) + log ( - ) = Resolva a equação log ( 1) + 1 = log ( + ) + log (7 - ) - log (URI) Considere a epressão A = - log 0,1 - (- log + log 6 36). O valor de A é: 08. Sabendo que log b a = 4, calcular b Resolva a equação: log 5 + log 5 = Sendo log a = 6, e log b = 4 e log c =, calcular log c a b. c.. CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 3

4 11. Calcule o valor de em cada uma das equações: a) log (3 1) + log = b) log 3 ( 6) = log log 3 ( 3) c) log 16 + log 4 + log = 7 d) log 1/3 ( + ) + log 3 ( 1) = 0 Gab: 1)64 )8 3)-13/ 4) 5)6 6)4 7) -7/6 8)3/4 9) 5 10) 3 11)a.1 b.{} c.16 d (PUC) Se log 51 =, então vale: a) 6 b) 3/ c)9 d)3 e)/3 Eercícios 0. (UFRGS) O valor de log log log 3 1 é: a) 1 b) c)1 log 34 d) log 31 e) log 31 a 03. (UFRGS) Se log a = 4, então log é: 1000 a) b) 1 c) 0 d) -1 e) (UFSM) Se log 5 = a e log 7 = b, então log 1,5 é: a) a + b b) a + b + 1 c) a + b 1 d) a + b -1 e) a + b CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 4

5 05. (PEIES) Supondo satisfeitas as condições de eistência dos logaritmos e sendo log c a = b e log c d =, a epressão log d dc a é equivalente a: a) b - 1 b) 4 b - 1 c) 4 b - 3 d) 4 b + 1 b 3 e) - 3 4log 3log log 06. (UFSM) Se IR e > 1, então a epressão y = é equivalente 5 4 4log 4log log a) 9/10 b)15/1 c) 1/ d) -0 log e) 1 log (PUC) A potência 9 é igual a: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) (PUC) Se log m = k, então log 8 m será: a) k b) k/3 c) 3k d) k/ e) k (PEIES) Sabendo que log 10 3 = 0,4771 e log 10 6 = 0,7781, a solução da equação 10 = 9.16 é: a) 1,518 b),518 c),815 d),158 e) 1,158 log7 5 log7 10. (PUC-RS) Na igualdade = 7, o valor de é: a) 7 b) 10 c) 14 d) 35 e) (UFSM) Se log m = log 4, então m é: a) 0,04 b) 1,5 c) 0 d) 5 e) 96 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 5

6 1. (UFSM) O valor de log 3 4 log 4 5 log 5 7 é: a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) e) (UFRGS) O valor de log (17,) log (1,7) é: a) -1 b) 0 c) 1 d) log (17, 1,7) log (17,) e) log( 1,7) 14. (UFRGS) O logaritmo de um número na base 16 é 3/. Então, o logaritmo deste número na base 1/4 é: a) -4/3 b) -3/4 c) 3/8 d) -3 e) (EsPCE). Na figura abaio, está representado o gráfico da função y=log. Nesta representação estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é Igual a: a) log + log3 + log5 b)log30 c) 1+log30 d) 1 + log 30 e) 1 + log (UFSM) Seja k a solução da equação log 4 (log ) = -1. O valor de k 4 é : a) 1/8 b) 1/ c) 1 d) 4 e) (UPF) A epressão + log é igual a: log 1 a) 1 log 1 log b) log 1 log c) log CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 6

7 1 d) log e) log 18. (EsPCE) A figura abaio fornece a representação gráfica da função y = log b y Nestas condições, o valor de b é: a) 1/4 b) c) 3 d) 4 e) (UNICRUZ) Dados log = a e log 3 = b, encontrar o valor de log 15 =?. a) a + b b) a + b + 1 c) a b + 1 d) a b 1 e) 1 a + b 0. (EsPCEX) Seja O conjunto solução da desigualdade ( ) no intervalo [, é igual a: a) [0, ). b) * + c) [. d) [ ). e) [ ) 1 f log tem por domínio:. (EsPCE) A função a), 1 b) c), 1 d) 1,, e) n 3. (EsPCE) Considere a soma S = log log log... log, em que n é um 3 4 n 1 numero natural. O menor valor de n para o qual S > 1 é: a) 0 b) 1 c) d) 5 e) 9 4. (EsPCE) Há números reais para os quais o quadrado de seu logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal de seu quadrado. A soma dos números que satisfazem essa igualdade é: a) 90 b) 99 c) 100 d) 101 e) (ESPCE) Acrescentando 48 unidades a um numero, seu logaritmo na base 5 aumenta de unidades. Esse número é: a) 1 b) c) 3 d) 6 e) 1 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 7

8 6. (EsPCE) Um satélite será levado ao espaço por um foguete que tem seu consumo de combustível calculado pela função C(t) = log (t + 7) + log 7 1, em que C é o consumo em toneladas e t é o tempo em horas. Para colocar o satélite em órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de Km a uma velocidade média de 8.000Km/h. Com base nessas informações, o físico responsável pelo cálculo chegou a conclusão de que o foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível igual a: a) 1 tonelada d) 7 toneladas b) toneladas e) 8 toneladas c) 6 toneladas 7. (EsPCE) A curva da figura representa o gráfico da função f() = log. Dados log 10 = 0,30 e log 101 = 1,08. Com base nesses dados, as somas das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproimadamente, a) 1,60 b),10 c),08 d),60 e) 3,60 8 (EsPCE) A figura abaio representa o gráfico f : tal que f() = log a, onde a > 1. Estão locados no gráfico os logaritmos de três abscissas: a (que é a própria base), b e c. Sabendo que OA = BC, podemos afirmar que a) log a b = c b) a c = b c) a.b = c d) a + b = c e) 10 a + 10 b = 10 c 9. (EEAR) Se e y são números reais positivos, co =, e 56 = 4, então + y é igual a a) b) 4 c) 7 d) 9 e)1 30. (EEAR) Sejam, y e b números reais maiores que 1. Se = e y = 3, então o valor de (² y³) é a) 13 b) 11 c) 10 d) 8 e) 15 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 8

9 b 31. Os pontos 0,3 e 1,5 pertencem ao gráfico da função f c, onde b e c são naturais. Então o valor de 1 b c é: a) b) c) d) e) 0 3. Se log a = M e log a 3 = N, então log a 1 é: a) M + N b) M² + N c) M²N d) MN e) Nda 33. Se log 3 4 = a e log 4 5 = b, então o valor de log 3 5 em função de a e b é: 1 b 1 a a) b) c) d) a.b e) a b a ab b 34. Sejam, y e b números reais maiores que 1. Se = e y = 3, então o valor de (² y³) é a) 13 b) 11 c) 10 d) A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo 0 < b 1, é a) 1/4. b) 1/. c) 4. d) 36. Considerando n > 1, se log a n = n, então o valor de a é a) n b) n n c) d) 37. (EsSA) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a mesma base. Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada. a) log b (a.c) = log b a + log b c b) log b (a.c) = log b (a +c) c) log b (a+ c) = (log b a). (log b c) d) log b (a+ c) = log b (a.c) e) log e (a.c) = log b a + log f c 38. (EsSA) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p() = ³ - 11² , e que a > b. Nessas condições, o valor de a b + log b a é a) 49/3 b) 67 c) 193/3 d) 19 e) (EsSA) Aumentando-se um número em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em unidades. Pode-se afirmar que é um número a) irracional b) maior que 4 c) divisor de 8 d) menor que 1 e) múltiplo de (EsSA) Se f() =, com real e maior que zero, qual o valor de f(f(5))? a) b) c) d) e) 41. (EsSA) Se 5 + = 100 então 5 é igual a: a) 16 b) 100 c) 8 d) 10 e) 4 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 9

10 Matemática Caderno 5 4. (EsSA) Se log 3 = a e log 5 =b Então o valor de log 0,5 75 é: a) a b b) a b c) -a + b d) a - b e) a + b 43.( Mús/Saúde) O conjunto solução da equação eponencial 4- = 56 é a) { - 7, 8 } b) { 3, 8 } c) { 3 } d) {, 3 } e) {8} 44. (UFRGS) Aproimadamente a) 109 e b) 1010 e c) 1011 e 101. d) 101 e e) 1013 e (UFRGS) O número a) 0 e 1 b) 1 e c) e 3 d) 3 e 4 e) 4 e 5 por 0,301, verificamos que o número 1610 está entre: está entre: 46. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura. Para que o ponto A (log10 ( + 1) + 1, log10 ( + 35)) tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que a) > -1. b) = 5. c) < -1. d) = -5. e) > (EsSA) Dados log 3 = a e log = b, a solução de 4=30 é a) (a+1)/b b) (a+)/b c) (b+1)/a 48. Se o gráfico da função f() = log b passa pelo ponto ( a: a) 3 b) c) d) (a+1)/b e) (b+)/a ), então o valor da epressão d) (UPF) Dado loga =, logb = 3 e log c a) 0/3 b) 30/31 c) 8 é igual e) -4 = 5, então podemos dizer que log abc vale: d) 14/5 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos e) 5 10

11 50. (EsPCE) Um dos modelos matemáticos de crescimento populacional é conhecido como Modelo Malthusiano (Thomas Malthus, ). Neste modelo, a evolução de uma população é dada pela função P(t) = P o. K t em que P o é a população inicial, k indica a taa de crescimento (considerada constante e não negativa neste modelo) e t é o tempo decorrido. Um biólogo que estudava uma cultura de bactérias observou que, oito horas após o início do eperimento, a população era de 8000 indivíduos e que, duas horas depois dessa observação, a população era de indivíduos. Podemos afirmar que a população inicial era de: a) 50. b) 500. c) 51. d) e) (EsPCE) O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula N(t)=(,5) 1,t. Considere log 10 =0,3, o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha bactérias é: a) 10 b) 150 c) 175 d)185 e)05 5. Daqui a y anos o valor de uma motocicleta será de V = 000.(0,75) Y dólares. A partir de hoje, daqui a quantos anos ela valerá a metade do que vale hoje? (Adote log = 0,3 e log 3 = 0,48) a) 3 anos b),5 anos c) anos d) 4,5 anos e) 6 anos 53. (EsSA). Utilizando os valores aproimados log = 0,30 e log 3 = 0,48, encontramos para log o valor de: a) 0,3 b) 0,35 c) 0,31 d) 0,33 e) 0,36 Gabarito: 1)a )b 3)d 4)d 5)c 6)c 7)c 8)b 9)d 10)b 11)d 1)e 13)c 14)d 15)e 16)e 17)b 18)d 19)e 0)b 1)b )a 3)b 4)d 5)b 6)c 7)d 8)c 9)d 30)a 31)d 3)a 33)d 34)a 35)d 36)d 37)a 38)b 39)b 40)a 41)a 4)b 43)c 44)d 45)c 46)b 47)d 48)e 49)b 50)b 51)c 5)b 53)b Eercícios de Log Enem 01. (Enem 11) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. e se relacionam pela fórmula: = -10,7 + ( ) Onde é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude = 7,3. Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico do terremoto de Kobe (em dina.cm)? (e) a) b) c) d) e) 0. (Enem 13) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela epressão M(t) = A. (,7) kt, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproimação para log 10. CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 11

12 Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? (e) a) 7 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 / (Enem 15) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (), conforme a figura. (e) A forma do vidro foi concebida de modo que o eio sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eio. obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma epressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A epressão algébrica que determina a altura do vidro é (e) CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 1

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14 Inequação Logarítmica: Chama-se inequação logarítmica aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. Eemplos a) log (3 1) > 3 b) log 1/ ( 1) + log 1/ ( +5) -4 c) log 9 > 1 As inequações logarítmicas são resolvidas por meio das seguintes propriedades: P1. Sendo ( 1,, b) IR * +, log b > log b > 1, com b > 1. P. Sendo ( 1,, a) IR * +, log b > log b < 1, com 0< b < 1. Determinação do Domínio de Funções Inequações Inequações são sentenças matemáticas do tipo: f ( ) g( ); f ( ) g( ); f ( ) g( ); f ( ) g( ); Resolver uma inequacão significa determinar os valores de que satisfazem tal desigualdade. Para facilitar sua aprendizagem, vamos separar as inequações em dois tipos diferentes. 1º Tipo: Inequações do 1º Grau e do º Grau 1) Resolva a seguinte inequacão: - < 90 ) Resolva a seguinte inequacão: ) Resolva a seguinte inequacão: < 0 º Tipo: Inequações Produto ou Quociente 4) Resolva a seguinte inequacão: ( ). ( 4 + 3) 0 5) Resolva a seguinte inequacão: ² 0 ² 3 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 14

15 MATEMÁTICA MÓDULO II Domínio Determinar o domínio de uma função f() significa achar os valores de para os quais a função eiste. É importante lembrar da aritmética dos números reais que um denominador nunca poderá se anular e que não eiste raiz com índice par de um número negativo. Em resumo a b 0 par coisa coisa 0 b par log b a a 0, b 0 e b 1 fração fração 0 1) Determine o domínio da seguinte Função: f() = ) Determine o domínio da seguinte Função: f() = 3) Determine o domínio da seguinte Função: f() = ² ² 100 ² 11 8 Testes 1 o intervalo que corresponde à solução da inequação ² - - >0 é: a) (-1; ) b) (-; 1) c) (- ; -1) ( ; ) ; 1; e) (-; ) d) As soluções de < 0 são valores de pertencentes ao conjunto: a) (0,) b) (-, 0) c) (, ) d) (-,0) (, ) e) (0, ) 3 (UFRGS) As soluções reais da desigualdade +1 > são os números, tais que. a) 0 b) 1 c) > 1 d) 1 e) < A menor solução inteira de 35 < 0 a) -5 b) -4 c) -3 d) - e) -1 5 O Conjunto solução de é : a) / 0 b) / c) { } d) { 4 } e) {/ CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 15

16 MATEMÁTICA MÓDULO II 6 O conjunto solução da inequacão ( ). ( 16) < 0 é: a) (-4,3) b) (-,3) ( 4, ) c)3, d)3,4 e)4, Os valores de que satisfazem a inequação 0são: 7 1 a) 3 b) 4 c) 3 4 d) 3 e) < 3 OU > 4 8 (PEIES) A solução da inequação ( 3 ) ( - 3 ) < 0 é o conjunto 3 a),3 3 b),3 3 c), 3, ) ( 3 d) ( -, 3, ) 3 e) (,3] 9 O conjunto solução da inequacão ( + 3 ) ( ) 0 a) { / 3 b) { / 3 c) { / ou 3 d) { / e) { / O número de soluções inteiras da inequação ( 7)( 7 6) 0é : a)6 b)5 c)4 d)7 e) (PUC) Os valores de que verificam 0 são: a) < 3 b) < < 3 c) < ou > 3 d) e) < 3 e CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 16

17 MATEMÁTICA MÓDULO II 5 1 (UFSM) Seja a inequação 0, com. Sua solução é : a) ] -, 5 ] ], 5 ] b) ] -,-5] ],5 ] c) ],+ [ d) [ -5,5 ] e) 9 13 O conjunto solução da inequação 0 é : a) 3 b) 3 3e 0 c) d) os reais negativos e) 3 ou O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequação 1é : 1 a) { 0 } b) {0, 1 } c), 1 1 d) {, 0} e) {, 1ou 3} 15 (PEIES) Dadas as funções reais epressas por: f() = -4 e g() = - + 4, a intersecção dos intervalos tais que f() > 0 e g() 0 é: * a) ={/ 0 b) ],4] * c) ={/ 0 d) [,4[ e) ],4[ 16 O domínio da função f()= 9 é dado por : a) / 3 ou 3 b) / 3 3 c) / 3 d) / 3 e) 17 (FURG) O domínio da função f()= a) (1,] b) (-, 5] c) (-, -5) (1,) d) (-, -5) e) (-, -5] (1,] 310 é: 1 CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 17

18 MATEMÁTICA MÓDULO II 18 - Dada a função f()= a) / 0ou 1 b) / 0ou 1 c) / 0 ou 1 d) { IR/ 0 1 / 0 1 e) 1 o seu domínio é: 19 (URI) Se f()= 1. 3, a) / 1 b) / 3 1 c) / 3 d) / 3 e 1 e) / 3 e 1 0 (PEIES-95)O domínio da função f()= a) ]-, 1[ b) ]0, [ c) [-, 1[ d) ]-, -[ [1, [ e) ]-, -[ ]1, [ o domínio de f() será: 1 1 (PEIES-96)O domínio da função f()= é 1 a) (-1,) b) [-1,] c) (-, 1] [, ] d) (-, -1] (, ) e) (-, -1) [, ) é (PEIES-97)O domínio da função f()= a) ]- 3,1[ b) (-, 3 [ ]1, ) c) (-,- [ [1,) 3 d) [- 3,1] e) (-, - 3 ] [1, ) 1 ( 1).( 3) é (PEIES) O domínio da função f()=log 10 é o conjunto de números reais dado por a) ]-, [ b) ]-3, -[ [-1,3] c) ]-3, -[ ]-1,+ [ d) ]-3, -1] [3,+ [ e) ]-,+ [ CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 18

19 MATEMÁTICA MÓDULO II 4 (PEIES) O domino da função real f()= a) ]-,-3[ ]-3, 0] ] 3, [ b) ]-,-3[ ]3, [ c) ]3, [ d) : 9 0 e) ]-, [ é o conjunto: 1 5 (UFSM) Seja f:a tal que f()= 3 log Então o domínio da função é a) (-, -) [, ) b) (-,-) (, ) c) (-, ] d) (-, -] (, ) e) (-, -] [, ) 6 (PEIES) O domínio da função f()= 1 log ( ) em,é o subconjunto 1 a) ]-, -1[ [1,[ ]3,+ [ b) ]-,+ [ c) ]-,1] [,+ ) d) / 1 ou 1 / 1ou 3 e) 1 7 (UFSM) Seja f: A y = 3 onde A. 1 Então, o domínio da função f é: a) b) 4,, 1 c), 1 1 d), e),, 8. (EsSA) A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio da função definida por 1 g() = é: a) 3 b) 1 c) -1 d) 5 e) 7 9. (EsPCE) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função f () = a) ır [-, ] b)(- c)(- d)(- e)(-. CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 19

20 MATEMÁTICA MÓDULO II 30. (EsPCE 15) Considere as funções reais f e g, tais que f() = +4 e f(g()) = 5, onde g() é não negativa para todo real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de, que satisfazem os dados do enunciado. a) IR - ] -3, 3[ b) IR - ] -, [ c) ] -, [ d) ] -3, 3[ e) IR - ] -, 3[ GAB: 01)C 0)A 03)D 04)B 05)C 06)A 07)E 08)C 09)D 10)A 11)E 1)A 13)E 14)E 15)B 16)A 17)E 18)A 19)E 0)A 1)E )B 3)C 4)A 5)A 6)A 7)D 8)D 9)C 30)A Logaritmo natural Quando nos deparamos com logaritmos em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base e que é um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=,7188..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por; Ln() = log e Portanto, algumas consequências de sua definição podem ser representadas: Ln 1 = 0 Ln e = 1 Ln (e n ) = n Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes. 1. Logaritmo natural de um produto ln ( y) = ln + ln y. Logaritmo natural de um quociente ln (/y) = ln - ln y 3. Logaritmo natural de uma potência ln ( n ) = n. ln Muitos eercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidos a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos; Iremos transformar a base e para a base decimal (10) CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 0

21 MATEMÁTICA MÓDULO II Demonstração Ln = log e Fazendo a mudança de base para a base decimal Log e= Log 10 / log 10e Resolvendo Log e =Log 10 /0,434 Desmembrando Log e= 1 /0,434. Log 10 Log e =,31 Log 10 ( Obs: Valor aproimado, uma vez que o valor de log 10e foi truncado) Agora vejamos algumas aplicações em eercícios sobre o conceitos descritos acima. Eemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8). Resolução Ln8= Log e8 =,31 log 108 =,31 0,90=,1. Eemplo ) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18. Resolução Aplicando a regra do produto Ln 18= Ln(3. 6)= Ln 3+ Ln6 =,9 Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na qual sua base é denotada por a, onde se segue; log a (/10 7 ) a= ( ) 10^7 = lim n-> (1-1/n) n = 1/e 10 7.log 1/e (/10 7 ) Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base 1/e. CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 1

22 MATEMÁTICA MÓDULO II Eercícios 01. (Enem 009) Suponha o modelo eponencial y = 363 e 0,03, em que = 0 corresponde ao ano 000, = 1 corresponde ao ano 001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou m ais de idade nos países em desenvolvimento entre 010 e 050. Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 030, entre: (e) a) 490 e 510 milhões b) 550 e 60 milhões c) 780 e 800 milhões d) 810 e 860 milhões e) 870 e 910 milhões 0. O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce eponencialmente pode ser determinado pela equação e kt em que é a quantidade inicial, isto é, N= N (0), e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (c) (Dados: In = 0,69 In 5 = 1,61) a) 11 minutos e 5 segundos. b) 11 minutos e 15 segundos. c) 15 minutos. d) 5 minutos. e) 5 minutos e 30 segundos. 03.(EsPCE) Fazendo =ln5 temos que y = e e - = igual a: (b) a) 8 b) 9 c) 40 d) 51 e) 5, a ϵ Z e b ϵ Z *, a e b primos entre si. Logo a + b é 04. Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Ln 5 = 1,609 e Q = Qo.e -rt, em que Q é a massa da substância, r a taa e t é o tempo em anos. R: 53,63anos CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos