EXPONENCIAL E LOGARITMO

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1 EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) (ENEM) Suponha que o modelo exponencial y = 363 e 0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima- se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre (A) 490 e 510 milhões. (B) 550 e 620 milhões. (C) 780 e 800 milhões. (D) 810 e 860 milhões. (E) 870 e 910 milhões. 2) (VUNESP) O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de Sr radioativo, cuja meia- vida é de 28 anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o local poderá ser considerado seguro se a quantidade de 90 38Sr se reduzir por desintegração a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a partir do ano de (A) 2014 (B) 2098 (C) 2266 (D) 2986 (E) ) (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação I = I!. 0,8!!" na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I! é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a (A) 0,64. (B) 1,8. (C) 2,0. (D) 3,2. (E) 4,0. 4) (FATEC) No início de uma temporada de calor, já havia em certo lago uma formação de algas. Observações anteriores indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas algas cresce 5% a cada dia, em relação à área do dia anterior. Nessas condições, se, em certo dia denominado dia zero, as algas ocupam 1000 m 2, aproximadamente em quantos dias elas cobririam toda a superfície de m 2 do lago? (Use em seus cálculos: log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30) (A) 20. (B) 60. (C) 80. (D) 100. (E) ) (UFU) Admitindo- se que a luminosidade L(x) da luz solar a x metros abaixo do nível do oceano seja dada, em luxes, pela função L(x) = 1000 e - x/10 e que um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade fica inferior a 10% de seu valor na superfície, então a maior profundidade, em metros, que o mergulhador pode atingir sem ter de usar luz artificial é igual a

2 (A) 2 ln 10. (B) ln100. (C) ln20. (D) 10 ln10. (E) ln10 6) (UERJ) A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta ph = 2,3. Considerando log 2 = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol L - 1, equivale a: (A) 0,001 (B) 0,003 (C) 0,005 (D) 0,007 (E) 0,008 7) (EFES) As magnitudes R 1 e R 2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R 1 - R 2 = 2 3 log E 1 10, sendo E 1 e E2 E 2 as energias liberadas pelos terremotos, respectivamente. Considere dois terremotos, um primeiro com magnitude R 1, com R 1 > 0, e um segundo com a metade dessa magnitude, ambos na escala Richter. Sabendo- se que E 1 e E 2 são as energias liberadas pelo primeiro e pelo segundo terremoto, respectivamente, então a razão E 1 /E 2 vale R 1 4 (A) 10 3R 1 4 (B) 10 (C) 10 R1 (D) 10 2R1 (E) 10 3R1 8) (CESGRANRIO) As indicações R 1 e R 2, na escala Ritcher, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R 1 - R 2 = log(m 1 /M 2 ), onde M 1 e M 2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R 1 = 8 e outro correspondente a R 2 = 6. Então, a razão (M 1 /M 2 ) vale: (A) 100. (B) 2. (C) 4/3. (D) 10. (E) 1. 9) (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M w ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escola de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M W e M 0 se relacionam pela 2 fórmula: MW = 10,7 + log10(m0) 3 Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M W = 7,3. U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe (em dina cm)? (A) 10 5,10 (B) 10 0,73 (C) 10 12,00 (D) 10 21,65 (E) 10 27,00 10) (ENEM) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio- 137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia- vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia- vida do césio- 137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela

3 expressão M(t) = A (2,7) kt, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio- 137 se reduza a 10% da quantidade inicial? (A) 27. (B) 36. (C) 50. (D) 54. (E) 100. (E) 4 13) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos. Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser expresso pela função f x = e!!!!,!!!, em que x representa o número de anos transcorridos desde Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante (FEPECS- DF 2011) Com base em uma pesquisa, obteve- se o gráfico abaixo, que indica o crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função k e p são constantes reais. N(t) = k p t, onde Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é: (A) 1800; (B) 2400; (C) 3000; (D) 3200; (E) ) (UNIFOR- CE 2011) Certa substância radioativa de massa M 0 (no instante t = 0) se desintegra (perde massa) ao longo do tempo. Em cada instante t 0 em segundos, a massa M(t) da substância restante é dada por M(t) = M 0 3-2t. O tempo transcorrido, em segundos, para que a massa desintegrada da substância seja dois terços da massa inicial M 0 é: (A) 0,5 (B) 1 (C) 1,5 (D) 2 A) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais? B) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005? C) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005? 14) (UFJF- MG 2005) A função c(t) = kt, com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, bactérias, está no intervalo: (A) [0, 4]. (B) [4, 12]. (C) [12, 36]. (D) [36, 72]. (E) [72, 108]. 15) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes.

4 Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: P(t) = [ e - 0,019 (t ) ] Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural ln ,9 A população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de: (A) (B) (C) (D) (E) Com base nesse gráfico, sobre o valor de mercado projetado v(t), foram feitas as seguintes afirmativas 01. Aos dez anos de construído, o imóvel terá valor máximo. 02. No vigésimo quinto ano de construído, o imóvel terá um valor maior que o inicial. 04. Em alguma data, o valor do imóvel corresponderá a 37,5% do seu valor inicial. 08. Ao completar vinte anos de construído, o imóvel voltará a ter o mesmo valor inicial. 16. Se v t = !(!!!")!!"", então, ao completar trinta anos de construído, o valor do imóvel será igual a um oitavo do seu valor inicial. A soma dos valores atribuídos às afirmativas que estão corretas é igual a (A) 31. (B) 30. (C) 29. (D) 28. (E) ) 16) O gráfico representa uma projeção do valor de mercado, v(t), de um imóvel, em função do tempo t, contado a partir da data de conclusão de sua construção, considerada como a data inicial t = 0. O valor v(t) é expresso em milhares de reais, e o tempo t, em anos. As pesquisas de um antropólogo revelaram que as populações indígenas de duas reservas, A e B, variam de acordo com as funções f(t) = 2 t+2 + C 1 e g(t) = 2 t+1 + C 2, em que t é o tempo, em anos, e as expressões f(t) e g(t) representam o número de indivíduos dessas reservas, respectivamente. Os gráficos em evidência mostram o comportamento dessas funções. Nessas condições, as duas reservas terão o mesmo número de indivíduos daqui a (A) 4 anos. (B) 5 anos. (C) 6 anos. (D) 7 anos. (E) 8 anos.

5 18) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente, com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de hoje, as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações ln(1,03/1,02) 0,01 e ln(11/9) 0,20. (A) 2 anos. (B) 6 anos. (C) 10 anos. (D) 15 anos. (E) 20 anos. 19) O Sr. Nicolau comprou um carro novo (zero quilômetro) e observou que, após n anos de uso, valia 25% do seu valor quando novo. Admitindo um decrescimento exponencial do valor do carro ao longo do tempo, com uma taxa de desvalorização de 20% ao ano e adotando para log 2 o valor 0,30, podemos afirmar que (D) n é maior que 8. (E) n é primo. 20) Uma universidade tem 5000 alunos e uma estimativa de crescimento do número de alunos de 10% ao ano. Com base nessas informações, o tempo previsto para que a população estudantil da universidade ultrapasse alunos é de Dados: log 10 2 = 0,30; log 10 1,1 = 0,04 (A) 6 anos. (B) 7 anos. (C) 8 anos. (D) 9 anos. (E) 10 anos. (A) n é ímpar. (B) n é divisor de 18. (C) n é múltiplo de 5. GABRITO E B C B D C B A E E B A - C B C B E B C 13) A) R$ ,00 B) No ano 2009 C) No ano 2010