FUNÇÃO EXPONENCIAL. Chama-se função exponencial de base a, com a Є f: R definida por f(x) =

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1 Matemática Matemática Avançada 3 o ano João mar/11 Nome: FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição Chama-se função exponencial de base a, com a Є f: R definida por f(x) = - {1}, a função Definições - O gráfico da função exponencial f(x) = está sempre acima do eixo das abscissas, pois > 0, para todo x Є R. - O gráfico da função exponencial f(x) = sempre intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), pois = 1, para todo a Є - {1}. - Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente. - Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente. - A função exponencial f(x) = é bijetora. - Se = x1 = x2 - Se a > 1 então > x1 > x2, pois a função exponencial é estritamente crescente. - Se 0 < a < 1 então > x1 < x2, pois a função exponencial é estritamente decrescente. a > 1 0 < a < 1 y y x 0 x

2 FUNÇÃO LOGARITMICA Definição de logaritmo - Chama-se logaritmo de um número a > 0 numa base b, com b > 0 e b 1, o expoente c a que se deve elevar a base para que a potência obtida seja igual a a. Simbolicamente a = c = a - O número a chama-se logaritmando, b é a base e c é o logaritmo. Consequências da definição - 1 = 0, pois = 1 - a = 1, pois = a - ( ) = α, pois = - = a, pois a = a Propriedades dos logaritmos - Se M > 0, n > 0 e a 1 então: (M. N) = M + N = M - N ( ) = m. N, para todo m Є R ( ) =. N, m Є N* N = Definição de função logarítmica - Chama-se função logarítmica de base b, com b > 0 e b 1, a função f: R definida por f(x) = x 2

3 Propriedades - O gráfico da função f(x) = x está sempre à direita do eixo das ordenadas, pois seu domínio é. - O gráfico da função f(x) = x sempre intercepta o eixo das abscissas no ponto (1, 0), pois 1 = 0, para todo b Є - {1}. - Se b > 1 a função logarítmica é estritamente crescente. - Se 0 < b < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente. - A função logarítmica é sobrejetora. - A função exponencial de R em e a função logarítmica de em R são inversas uma da outra, pois y = x = y - = =, para todo b Є - {1}. - > > > 0, para b > 1. - > 0 < <, para 0 < b < 1. a > 1 0 < a < 1 y y 1 x 1 x 3

4 1. (Unicamp) Resolva o sistema: log 2 x + log 4 y = 4 xy = 8 2. (Unicamp) As populações de duas cidades (A e B) são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 (1+ t) 6 e B(t) = log 2 (4t + 4), onde a variável t representa o tempo em anos. a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. 3. (Unicamp) Dada a função f(x) = log 10 a) Os valores de x para o qual f(x) = 1. 2x 4, encontre: 3x b) Os valores de x R para os quais f(x) é um número real < (Unesp) Sejam x e y números reais, com x > y. Se log 3 (x y) = m e x + y = 9, determine: a) O valor de log 3 (x + y). b) log 3 (x 2 y 2 ), em função de m. 5. (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) = k + log 10 (100 + x), com k constante real. a) Sabendo que se não existe produção não há lucro, determine k. b) Determine o número de peças necessário a se produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 6. (Unesp) Seja f(x) = log 1/2 (x 2 1). Determine os valores reais de x para os quais: a) f(x) existe. b) f(x) < Dê o conjunto solução das expressões: a) log 1/2 x > 3 b) log 1/3 (x - 1) < 4 4

5 8. (Fuvest) É dada a função f definida por f (x) = log 2 x log 4 (x 3). Determine os valores de x para os quais a) f (x) 2. b) f (x) > (Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão: Q (t) = log 10 (10 k / (t + 1)), com k uma constante positiva e t em horas. a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k. b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? 10. (Unesp) Sejam a e b números reais > 0 e tais que ab = 1. Se a 1 e log a x = log b y, determine o valor de xy. 11. (FGV) O preço p de um terreno daqui a t anos é estimado pela relação p = a. (b) t. a) Se hoje o terreno vale R$ ,00 e o valor estimado daqui a 10 anos é R$ ,00, obtenha a e b. b) Se a estimativa fosse dada por p = a. (1,02) t, daqui a quantos anos o preço do terreno dobraria? 12. (FGV) Sendo f(x) = e k.x e f (2) = 5, (e = número de Neper) a) Calcule f (6). b) Prove que, para a e b reais, f (a + b) = f (a). f (b). 13. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a) A expressão para p (t). b) O tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 0,301 e log 3 0, (FGV) Resolva a inequação log 2 x + log 2 (x + 1) > 1. 5

6 15. (Unesp) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m 0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: M (t) = m o. 10 -t/70, onde m (t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 = 0,3, determine: a) log 8. b) Quantos anos se passarão para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial? 16. As soluções da equação 3 x x 36 = 0 são a e b, sendo a<b. Qual é o valor de log 3 (a+b) + log 3 (b a)? 17. (Fuvest) Os números reais x e y são solução do sistema 2log2 x log2(y 1) 1 1 log2 (x 4) log2y 2 2 Então, qual o valor de 7( y x)? 18. (Unesp) Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no tempo inicial (t = 0) existiam nessa cidade ratos e habitantes, que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce habitantes por ano. Pede-se: a) As expressões matemáticas das funções f(t) e g(t). b) O número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos. 19. (UFF) Resolva o sistema: x y xy

7 20. (UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções f e g, definidas no intervalo ]0, 4] por: x f(x) = 2 - ln x e g(x) = x 2 - (ln x) 2, onde ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e 2,7). Sejam M, N os pontos de interseção dos dois gráficos e P, Q suas respectivas projeções sobre o eixo x. Determine a área do trapézio MNQP. 21. (Uerj) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o gráfico abaixo. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 7

8 Gabarito 1 1. S = 32, 4 2. a) A (1) = 2, A (7) = 6, B (1) = 3, B (7) = 5. b) O instante procurado é t = 3 anos, a cidade A terá população maior que a cidade B. 3. a) x = 1/7 b) x < 0 ou x > 1/7 4. a) 2 b) m a) k = 2 b) 900 peças 6. a) x < 1 ou x > 1 b) S = {x R 3 < x < 1 ou 1 < x < 3} 7. a) 0 < x < 1/8 b) x > 82/81 8. a) 4 x 12 b) 3 < x < 4 ou x > a) k = 1 b) t = 9 h 10. xy = a) a = e b = 10 3/2 b) t = log 2 / log 1,02 anos 12. a) f (6) = 125 b) Demonstração individual 13. a) p (t) = F. (0,81) t b) 15 anos 14. S = {x R x > 1} 15. a) log 8 0,9 b) t 63 anos a) f(t) = t e g(t) = t b) 40 ratos por habitante 19. x = 2, y = 3 ou x = 3, y = e taxa de inflação = 60% Q:\editoracao\2011\Ped2011\Matemática\EM\Matemática Avançada - Logaritmo e Exponencial.docx 8