Centro de Estudos Gilberto Gualberto Ancorando a sua aprendizagem LISTA FUNÇÕES

Transcrição

1 Questão 01 - A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, relaciona-se com seu preço por tonelada p, em reais, através da equação p = ,5x. O custo de produção mensal em reais desse produto é função da quantidade em toneladas produzidas x, mediante a relação C = x. O preço p que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal é: a) b) c) d) e) Questão 02 - Uma editora tem preços promocionais de venda de um livro para escolas. A tabela de preços é: P (n) 12n, se1 n 24 11n, se25 n 48 10n, sen 49 onde n é a quantidade encomendada de livros, e P(n) o preço total dos n exemplares. Analisando a tabela de preços praticada pela editora, é correto concluir que, para x valores de n, pode ser mais barato comprar mais do que n livros do que exatamente n livros. Sendo assim, x é igual a a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 8. Questão 03 - Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a 20% da receita. A soma dos algarismos de x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Questão 04 - A área de um segmento parabólico, sombreado na figura a seguir, pode ser calculada por meio da fórmula 2.PV.AB 3 parábola., sendo V o vértice da Sendo b um número real positivo, a parábola de equação y = 0,5x 2 + bx determina, com o eixo x do plano cartesiano, um segmento parabólico de área igual a 18. Sendo assim, b é igual a a) 2. b) 3. c) 4.

2 d) 5. e) 6. Questão 05 - A figura abaixo mostra os gráficos de duas funções quadráticas f e g que são simétricos em relação ao ponto P = (1, 1). Sabendo que f (x) = x 2, determine uma expressão para g(x). Considere a aproximação: log 2 = 0,3. É correto afirmar que a soma das raízes da equação 2 2x 6 2 x + 5 = 0 é: a) 7 3 b) 2 c) d) e) 1 Questão 09 - Questão 06 - A raiz da equação 3 x x + 3 x + 1 = 3 22 é um número a) inteiro positivo. b) inteiro negativo. c) irracional. d) racional positivo não inteiro. e) racional negativo não inteiro. Questão 07 - Se m n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9 x 9 x 1 = 1944, então, m-n é igual a a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Questão 08 - Um carro 0 km vale hoje R$ ,00 e seu valor decresce exponencialmente de modo que, daqui a t anos, seu valor será V = a.b t, onde a e b são constantes. Se o valor do carro daqui a 5 anos for R$ ,00, seu valor daqui a 12 anos será, aproximadamente, a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 7 600,00 d) R$ 5 200,00 e) R$ 4 820,00 Questão 10 - Sendo p e q números reais, com p>q e p+q>0, definiremos a operação # entre p e q da seguinte forma: p#q=p 2 q 2 +log(p+q), com log(p+q) sendo o logaritmo na base 10 de (p+q). Utilizando- se essa definição, o valor de 10#( 5) é igual a a) 176 log 2 b) 174 log 2 c) 76 log 2

3 d) 74 + log 2 e) 74 log 2 tais dados obedeçam, ainda que aproximadamente, à lei de Benford. Questão 11 - A lei de Benford, também chamada de lei do primeiro dígito, sugere que, em vários conjuntos de dados numéricos, a ocorrência dos algarismos de 1 a 9 no início dos números (da esquerda para a direita em cada número) do conjunto de dados não é igualmente provável. A lei se verifica em diversos conjuntos de dados reais como, por exemplo, o conjunto das populações dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados numéricos contidos nas contas de energia elétrica da população de um município, o conjunto dos comprimentos dos rios de um país etc. Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro algarismo em um dado numérico qualquer do conjunto de dados será n 1 P (n) log. n Por exemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo 1 (n=1) seja o primeiro (da esquerda para a direita) em um número sorteado ao acaso do conjunto de dados é igual a log 2, ou seja, aproximadamente 30%, já que log 2 0,30. Admita que os dados numéricos indicados na tabela 1 tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de um contribuinte. Também admita que a Receita Federal tenha a expectativa de que a) Complete a tabela na página de resolução e resposta, registrando a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) dos dados da tabela 1 para os casos em que n = 2, n = 3 e n = 4. Registre também a frequência relativa desses algarismos (ver exemplo para o caso em que n = 1). b) Admita que uma declaração de imposto de renda vai para a malha fina (análise mais detalhada da Receita Federal) se a diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a probabilidade dada pelo modelo da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos percentuais para algum n. Argumente, com dados numéricos, se a declaração analisada na tabela 1 deverá ou não ir para a malha fina. Adote nos cálculos log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Questão 12 - Um aluno precisava estimar a área V S da região sob o gráfico da função y = logx (logaritmo decimal

4 de x) entre as abscissas x = 3 e x = 6 que se vê na figura a seguir. Para obter um valor aproximado de S, o aluno pensou na estratégia que as figuras abaixo mostram. Ele calculou a área S 1 dos três retângulos da figura da esquerda, e calculou a área S 2 dos três retângulos da figura da direita. Ele imaginou que uma boa aproximação para a área que deseja obter é S1 S. 2 S 2 Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, obtenha um valor para S, usando a estratégia descrita acima. Questão 13 - Seja k um número real tal que os gráficos das funções reais dadas por y = x e y = x + k delimitem um polígono de área 16. Nas condições dadas, k é igual a a) 4 2 b) 6 2 c) 8 d) 7 2 e) 10 Questão 14 - O conjunto dos valores assumidos pela expressão algébrica a b ab a b ab sendo a e b dois números reais diferentes de zero, é: a) { 3, 1, 1, 3} b) { 1, 1} c) { 1, 3} d) { 3, 1} e) { 3, 3} Questão 15 - A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades: x 5 < 3 e x 4 1 é: a) 25 b) 13 c) 16 d) 18 e) 21 Questão 16 - O domínio da função real definida por f(x) 6 2x 7 é {x IR / m x n}. Em tal condição, a média aritmética simples entre o menor valor possível para m e o maior valor possível para n é igual a a) 5,8. b) 5,5. c) 5,0. d) 4,6. e) 4,8.

5 Questão 17 - Observe o gráfico da função f no plano cartesiano. Para alguns valores inteiros de n, o valor correspondente f(n) também é um número inteiro e, para outros, não. Por exemplo, para n = 1, tem- 3 ( 1) se f( 1) , mas, para n = 3, tem-se f(3) 3 3, que não é um número inteiro. O número de valores inteiros de n para os quais o valor de f (n) também é um número inteiro é a) 14. b) 12. c) 13. d) 10. e) 11. Questão 19 - Dentre as expressões apresentadas nas alternativas a seguir, a única que pode corresponder à lei da função f é a) f(x) = (x 1) 2 (x 2) 2 b) f(x) = (x 1) 2 (x 2) 2 (x + 1) (x + 2) c) f(x) = (x 2 1) (x 2 4) d) f(x) = (x 2 1) (x 2 4) (x 1) e) f(x) = (x 2 1) (x 2 4) (x + 1) Questão 18 - Dada a função f(x) = x 2 + 3, qual o valor da expressão a) 2x b) 2x + 1 c) 2x h d) 2x 1 e) 2x + h Questão 20 - f(x h) f(x) h A figura mostra o resultado expresso, em porcentagem, da pesquisa realizada por um jornal da cidade de São Paulo, em que o grupo consultado tinha de responder à pergunta: Com qual das afirmações você mais concorda?? Considere a função f, cujo domínio é o conjunto dos números inteiros não nulos, definida por 3n 98 f(n). n

6 1ª A democracia é sempre melhor. 2ª Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura. 3ª Tanto faz. entre as opções A democracia é sempre melhor e Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura, no intervalo 0 x 80meses? Utilize as aproximações que julgar necessárias. a 1 = 0,37; e 1,2 = 0,30; e 1,5 = 0,22; e 2 = 0,14 GABARITO: 1) Gab: A 2) Gab: D a) Considere que, a partir de fevereiro de 2014, o gráfico da opção A democracia é sempre melhor possa ser representado por uma função polinomial do 1º grau y = ax + b, em que x = 0 representa o mês fevereiro de 2014, x = 1, o mês março de 2014, e assim por diante. Determine a função y = ax + b. Utilize os valores de y na forma inteira, por exemplo, 62 e 66 ao invés de 0,62 e 0,66. b) Considere que, a partir de fevereiro de 2014, o gráfico da opção Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura possa ser expresso por uma função da forma y = a.e bx (e é o número de Euler), em que x = 0 representa fevereiro de 2014, x = 1, março de 2014, e assim por diante. Determine a função y = a.e bx. Se julgar necessário, use as aproximações: ln2 = 0,70; ln3 =1,10; ln7 =1,95. c) Qual é a maior diferença, expressa em porcentagem, 3) Gab: D 4) Gab: B 5) Gab: Os gráficos são simétricos então são congruentes. Como o coeficiente de x 2 em f é igual a 1 então o coeficiente de x 2 em g é igual a 1. Assim, g(x) = x 2 + bx + c. Como o vértice do gráfico de f é a origem então o vértice do gráfico de g é o ponto (2, 2). Assim b 2 2( 1) e, portanto, b = 4. Como o gráfico da função g(x) = x 2 + 4x + c passa pelo ponto P = (1, 1) conclui-se que c = 2. Assim, g(x) = x 2 + 4x 2. 6) Gab: D 7) Gab: D

7 8) Gab: A Portanto, 9) Gab: C 10) Gab: C 11) Gab: a) 13) Gab: A 14) Gab: D b) Pela lei de Benford, temos que: P(1) = log 2 = 0,30 30% P(2) = log 2 3 = log3 log2 = 0,48 0,30 = 0,18 18% P(3) = log 3 4 = 2 log2 log3 = 2.0,30 0,48 = 0,12 12% P(4) = log 4 5 = log5 2 log2 = log10 log2 2 log2 = 1 0,90 = 0,10 10% Os dados da tabela indicam que: 15) Gab: E 16) Gab: B 17) Gab: D 18) Gab: B 19) Gab: E A declaração deverá ir para a malha fina porque a frequência de n=4 (cerca de 17%) desvia-se mais do que quatro pontos percentuais da previsão da lei de Benford (10%). 12) Gab: Todos os retângulos possuem base igual a 1. Assim, 20) Gab: a) (0, 62); (10, 66) m = 4/10 = 0,4 y 62 = 0,4 (x 0) y = 0,4x + 62 b) Para x = 0, y = 14 y =14.e bx Para x = 10, y = =14.e 10b. Usamos logaritmos para determinar o valor de b: ln6 ln7 =10 b 0,70 + 1,10 1,95 = 10b b = 0,015 A função é y = 14.e 0,015x

8 c) A função linear é crescente e a função exponencial, decrescente. Portanto o maior valor ocorre para x = 80. Temos: 0,4 (80) + 62 (14.e 0,015(80) )= (14.e 0,015(80) ) = 94 (14.e 1,2 ) = 94 (14. 0,30) = 89,8. A maior diferença é 89,8%.