FUNÇÃO MODULAR, FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

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1 FUNÇÃO MODULAR, FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA Função Modular Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. De maneira mais formal, podemos definir função modular como: f(x) = x ou y = x A função f(x) = x apresenta as seguintes características: f(x) = x, se x 0 ou f(x) = x, se x < 0 Essas características decorrem da definição de módulo. Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = x Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = x. O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x reflita no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = x fica: A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = x 2 3x Solução: pela definição de módulo, temos que: f(x) = x 2 3x, se x 0 e f(x) = (x 2 3x), se x<0

2 Daí, segue que: x 2 3x = 0 x = 0 ou x = 3, logo : Temos também que: (x 2 3x) = 0 x = 0 ou x = 3 Daí, segue que: Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = x 2 3x Função Exponencial Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x

3 y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas: Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais. Exemplo 1: (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v 0 * 2 0,2t, em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. Solução: Temos que v(10) = , então: v(10) = v 0 * 2 0,2* = v 0 * = v 0 * ¼ : 1/ 4 = v 0 v 0 = * 4 v 0 = A máquina foi comprada pelo valor de R$ ,00.

4 Exemplo 2: (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1,80. Solução: Temos a seguinte função exponencial P(x) = P 0 * (1 + i) t P(x) = 500 * (1 + 0,03) 20 P(x) = 500 * 1,03 20 P(x) = 500 * 1,80 P(x) = 900 O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. Função Logarítmica As funções na forma f(x) = log a x são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a 1, sendo f : R*+ R. Exemplos: f(x) = log 2 x f(x) = log 5 (x 2) f(x) = log (a 2) 4 f(x) = log 0,5 x O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições: Crescente: base maior que 1. Decrescente: base maior que zero e menor que 1. Função crescente

5 Função decrescente As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas propriedades. Na equação: Q = Q 0 * e r * t, Q representa a massa final da substância, Q 0, a massa inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.

6 O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.